第五章
特殊的平行四边形
一、选择题
(每小题4分，共40分）
1.若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BC的长是（
）
A.
1cm
B.
cm
C.
3cm
D.
4cm
2.如果a表示一个菱形的对角线的平方和,b表示这个菱形的一边的平方,那么（
）
A.
a=4b
B.
a=2b
C.
a=b
D.
b=4a
3.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A.
AB=CD
B.
AC=BD
C.
当AC⊥BD时，它是菱形
D.
当∠ABC=90°时，它是矩形
4.如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是(
)
A.
7.5
B.
6
C.
10
D.
5
5.如图所示,过四边形ABCD的各顶点,作对角线BD、AC的平行线,围城四边形EFGH,若四边形EFGH是菱形,则原四边形一定是（
）
A.
菱形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
对角线相等的四边形
6.如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是(
)
A.
先向下移动1格，再向左移动1格
B.
先向下移动1格，再向左移动2格
C
先向下移动2格，再向左移动1格
D.
先向下移动2格，再向左移动2格
7.图中有8个完全相同的直角三角形，则图中矩形的个数是（
）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
8.如图,正方形中,∠,交对角线于点,那么∠等于（
）
A.
B.
C.
D.
9.Rt△ABC的两边长分别是3和4，若一个正方形的边长是△ABC的第三边，则这个正方形的面积是（
）
A.
25
B.
7
C.
12
D.
25或7
10.下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是
（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为
度．
12.M为矩形ABCD中AD的中点,P为BC上一点,PE⊥MC,PF⊥MB,当AB、BC满足_________时,四边形PEMF为矩形.
13.给定下列命题：（1）对角线相等四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________
14.如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EF⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为_________
15.现有一张长52cm,宽28cm的矩形纸片,要从中剪出长15cm宽、12cm的矩形小纸片（不能粘贴）,则最多能剪出__________张；
16.已知矩形的周长是40cm,被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm,则较长的边长为____；
17.已知菱形边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________．
18.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=4cm,∠AOB=60?,则这个矩形的对角线的长是__cm
三.解答题
（共56分)
19.如图，菱形ABCD中，点M、N分别在BC、CD上，且CM=CN，求证：
(1)△ABM≌△AND；
(2)∠AMN＝∠ANM.
20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠BAD，请你再添一个什么条件，就能推出四边形ABCD是菱形，并给出证明．
21.
某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．
(1)问长方形的长应为多少？
(2)请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
(3)请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的、
22.如图,已知在?ABCD中,对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.
求证:四边形AFCE菱形.
23.已知：如图,△和△顶点在边的同侧,,交于,∠的平分线交于,延长到,使.
求证：四边形是菱形.
24.如图，矩形ABCD中，AD=8，CD=6，△CED沿边CE翻折后D恰好落在对角线BD上的D’处，求CE的长.
25.如图，已知E是正方形ABCD的边CD外的一点，△DCE为等边三角形，BE交对角线AC于F
.
（1）求∠AFD的度数；
（2）求证：AF
=
EF.
26.如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE
=
4cm，∠A
=45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）第五章
特殊的平行四边形
一、选择题
(每小题4分，共40分）
1.若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BC的长是（
）
A.
1cm
B.
cm
C.
3cm
D.
4cm
【答案】B
【解析】
如图,因为AE垂直平分BC于E,所以AB=BC=2BE,∠AEB=90°,所以AE=BE,则BE=,所以BC=,故选.
2.如果a表示一个菱形的对角线的平方和,b表示这个菱形的一边的平方,那么（
）
A.
a=4b
B.
a=2b
C.
a=b
D.
b=4a
【答案】A
【解析】
设菱形的两条对角线分别为2m,2n,则a=(2m)2+(2n)2=4(m2+n2),则勾股定理得b=m2+n2，所以a=4b，故选A.
3.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A.
AB=CD
B.
AC=BD
C.
当AC⊥BD时，它是菱形
D.
当∠ABC=90°时，它是矩形
【答案】B
【解析】
根据平行四边形的性质可知A一定正确，由菱形判断定理可知C正确，由矩形判断可知D正确，而B选项只是可能故选B
4.如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是(
)
A.
7.5
B.
6
C.
10
D.
5
【答案】A
【解析】
试题分析：根据矩形的性质可得AC=10，根据折叠图形可得AE=FC=AF，AO=CO=5，然后设AE=x，则BF=8－x，根据直角△ABF的勾股定理求出x的值，然后计算EF的长度.
考点：勾股定理、折叠图形的性质.
5.如图所示,过四边形ABCD的各顶点,作对角线BD、AC的平行线,围城四边形EFGH,若四边形EFGH是菱形,则原四边形一定是（
）
A.
菱形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
对角线相等的四边形
【答案】D
【解析】
因为AC∥EF∥HG，BD∥HF∥GF，所以四边形EFGH是平行四边形，所以四边形AEFC，BDGF是平行四边形，所以AC=EF，BD=FG，所以BD=AC，即四边形ABCD是对角线相等，故选D.
6.如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是(
)
A.
先向下移动1格，再向左移动1格
B.
先向下移动1格，再向左移动2格
C.
先向下移动2格，再向左移动1格
D.
先向下移动2格，再向左移动2格
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,结合图形,由平移的概念求解.
【详解】由方格可知，在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是：先向下移动2格，再向左移动1格，故选C．
【点睛】本题考查平移的基本概念及平移规律,是比较简单的几何图形变换.关键是要观察比较平移前后物体的位置.
7.图中有8个完全相同的直角三角形，则图中矩形的个数是（
）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
【答案】C
【解析】
图中，长与宽不相等的矩形有4个，正方形有3个，所以矩形一共有4+3=7个，故选C.
8.如图,正方形中,∠,交对角线于点,那么∠等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∵AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE
∴△AED≌△CED
∴∠ECF=∠DAF=25°，
又∵在△DEC中，∠CDE=45°，
∴∠CED=180°-25°-45°=110°，
∴∠BEC=180°-110°=70°．
故选C．
考点：正方形的性质．
9.Rt△ABC的两边长分别是3和4，若一个正方形的边长是△ABC的第三边，则这个正方形的面积是（
）
A.
25
B.
7
C.
12
D.
25或7
【答案】D
【解析】
Rt△ABC的两边长分别是3和4，共两种情况：
(1)3和4是直角边的长，则一个正方形的边长是△ABC的第三边即斜边，其长根据勾股定理解直角三角形可求得是5，则这个正方形的面积是25.
(2)3和4是直角边与斜边,则4是斜边长;则一个正方形的边长是△ABC的第三边即另一直角边,根据勾股定理解直角三角形可求得是7√，故则这个正方形的面积是7；
故选D.
10.下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据正方体的侧面展开图的特点可知A、C、D均可折叠成正方体，而B不能．
故选B
考点：正方体的侧面展开图
二、填空题
11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为
度．
【答案】75°．
【解析】
试题分析：根据矩形的性质可得△BOA为等边三角形，得出BA=BO，又因为△BAE为等腰直角三角形，BA=BE，由此关系可求出∠BOE的度数．
解：在矩形ABCD中，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
又知∠EAO=15°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴△BOA等边三角形，
∴BA=BO，
∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，
∴△BAE等腰直角三角形，
∴BA=BE．
∴BE=BO，∠EBO=30°，
∠BOE=∠BEO，
此时∠BOE=75°．
故答案为75°．
考点：矩形性质；等边三角形的判定与性质．
12.M为矩形ABCD中AD的中点,P为BC上一点,PE⊥MC,PF⊥MB,当AB、BC满足_________时,四边形PEMF为矩形.
【答案】当AB=BC
【解析】
∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB=BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF是矩形．故答案为AB=BC.
13.给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________
【答案】（1）、（2）、（4）
【解析】
（1）对角线相等的平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）.
14.如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EF⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为_________
【答案】15
【解析】
因为EF⊥EC，所以∠FEC=90°，所以∠AEF+∠DEC=90°，因为∠AEF+∠AFE=90°，所以∠AFE=∠DEC，因为∠A=∠D，EF=CE，所以△AEF≌△DCE，所以AE=CD，AF=DE，设AB=CD=x，则AD=AE+DE=CD+DE=x+2，所以2（x+x+2）=16,解得x=3，所以AB×BC=3×（3+2）=15，故答案为15.
15.现有一张长52cm,宽28cm的矩形纸片,要从中剪出长15cm宽、12cm的矩形小纸片（不能粘贴）,则最多能剪出__________张；
【答案】7
【解析】
因为长15cm+宽12cm＜28cm，剩余1cm；而15+15＞28，不够；12+12＜28，剩余4cm．所以竖着剪一个矩形，再横着剪一个矩形，53÷12=4…5，53÷15=3…8，最多剪出4+3=7张．故答案为7.
16.已知矩形周长是40cm,被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm,则较长的边长为____；
【答案】14cm
【解析】
设矩形的长边为a，短边为b，则2（a+b）=40①，a-b=8②，联立①②，解得a=14，故答案为14cm.
17.已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__________．
【答案】
【解析】
当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角△ABM中，∠BAM=30°，
∴AM=AB?cos30°=3，BM=AB?sin30°=3，
∴PM==，
∴AP=AM+PM=4；
当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M
AP=AM-PM=2；
当P与M重合时，PD=PB=3，与PB="PD=2"
3
矛盾，舍去．
AP的长为4或2．
18.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=4cm,∠AOB=60?,则这个矩形的对角线的长是__cm
【答案】8
【解析】
因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB=OC=OD，AC=2OA，因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以OA=OB=AB=4，所以AC=2×4=8，故答案为8.
三.解答题
（共56分)
19.如图，菱形ABCD中，点M、N分别在BC、CD上，且CM=CN，求证：
(1)△ABM≌△AND；
(2)∠AMN＝∠ANM.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
整体分析：
（1）根据菱形的性质，用SAS证明△ABM≌△AND；（2）由（1）△ABM≌△AND得，AN=AM，根据等角对等边证明.
证明：⑴∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DC
又∵CM＝CN
∴BC－CM＝DC－CN即BM＝DN
∵AB＝AD，∠B＝∠D，BM＝DN
∴△ABM≌△ADN（SAS）
⑵∵△ABM≌△ADN
∴AM＝AN
∴∠AMN＝∠ANM
20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠BAD，请你再添一个什么条件，就能推出四边形ABCD是菱形，并给出证明．
【答案】见解析.
【解析】
整体分析：
由AD∥BC，AC平分∠BAD，可得BA=BC，故只需四边形ABCD是平行四边形即可.
解：添加条件AB∥CD，就能推出四边形ABCD是菱形，证明如下：
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
21.
某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．
(1)问长方形的长应为多少？
(2)请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
(3)请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的、
【答案】（1）由题意知∠AOC=2∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=90°
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴tanB=，
即OB=BC，
∴矩形ABCD长是宽的倍，
∴长方形的长是20厘米．
（2）如图，设长方形对角线的交点为O，数字12、2在长方形中所对应的点分别为A、B，连接OA、OB．
方法一：作∠AOC的平分线，交AC于点D，则点D处为数字1的位置．
方法二：设数字1标在AC上的点D处，连接OD，则∠AOD=30°，AD=OA?tan30°=，由此可确定数字1的位置；
（3）如图所示：
【解析】
（1）根据题意即可求得∠AOC=2∠BOC，即可求得∠BOC=30°，故OB=BC，即可求得长方形的长是宽的倍，即可解题．
（2）法一、作∠AOC的平分线，找到与AC的交点；法二、设数字1标在AC上的点D处，求出AD的长．
（3）根据（2）中作法，逐一解答．
22.如图,已知在?ABCD中,对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.
求证:四边形AFCE是菱形.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥FC．
∴∠OAE=∠OCF．
∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵EF⊥AC于O，
∴平行四边形AFCE是菱形．
考点：1．菱形的判定；2．平行四边形的性质．
【此处有视频，请去附件查看】
23.已知：如图,△和△的顶点在边的同侧,,交于,∠的平分线交于,延长到,使.
求证：四边形是菱形.
【答案】证明见解析.
【解析】
整体分析：
用SSS证△ABC≌△DCB得到EB=EC，根据“三线合一”证EF⊥BC，OB=OC，由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形得到结论.
证明：∵AB=DC，AC=BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴EB=EC，
∵EF平分∠BEC，
∴EF⊥BC，BO=OC，
∵EO=OF，
∴四边形BFCE是菱形.
24.如图，矩形ABCD中，AD=8，CD=6，△CED沿边CE翻折后D恰好落在对角线BD上的D’处，求CE的长.
【答案】CE=
【解析】
整体分析：
由翻折（轴对称）的性质证明△CDE∽△ABD，求出DE，再在Rt△CDE中角勾股定理求结论.
解：由翻折知：DE=D′E，∠ADC=∠CD′=90°，CD=CD′，△CDE≌△CD′，
所以CE⊥DD′，∠CD′D=∠CDD′∠ABD，∠ADB=∠ECD′
所以△CDE∽△ABD，
所以=，即ED=，
因为CE2=62+()2=36+=，
所以CE=.
25.如图，已知E是正方形ABCD的边CD外的一点，△DCE为等边三角形，BE交对角线AC于F
.
（1）求∠AFD的度数；
（2）求证：AF
=
EF.
【答案】∠AFD=60°；（2）证明见解析
【解析】
整体分析：
（1）用正方形和等边三角形的性质得△CDF≌△CBF，由△CBE是等腰三角形，求∠CBE的度数即可；（2）用SAS证明△ADF≌△EDF.
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD=DA=DE，∠BCF=∠DCF=45°，∠BCD=90°，
∵CF=CF，
∴△CDF≌△CBF，
∴∠CDF=∠CBE，
∵△CDE是等边三角形，∴CB=CE，∠DCE=60°，
∴∠CBE=（180°-90°-60°）÷2=15°，
∴∠CDF=15°.
∴∠AFD=∠ACD+∠CDF=45°+15°=60°.
(2)证明：∵DA=DE，∠ADF=∠EDF=75°，DF=DF，
∴△ADF≌△EDF，
∴AF=EF.
26.如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE
=
4cm，∠A
=45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）
【答案】菱形ABCD的面积是22.7cm?，梯形DEBC的中位线长是3.7cm.
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=AB，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=4，
由勾股定理得，AD=，
∴AB=，
∴菱形ABCD的面积为DE×AB=4×=≈22.7cm?，
∵BE=-4，CD=AD=，
∴梯形DEBC的中位线长（-4+）÷2=-2≈3.7cm.
答：菱形ABCD的面积是22.7cm?，梯形DEBC的中位线长是3.7cm.
