3.1直线与圆的位置关系(2)
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(共22张PPT)
直线和圆的位置关系：
l
d＜r
d=r
d＞r
相交
相切
相离
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
问一问:
1、当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？
2、砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
请按照下述步骤作图:
如图,在⊙O上任取一点A,连结OA,过点A作直线l⊥OA,
O
A
思考以下问题:
(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系
(2)直线l和⊙O的位置有什么关系 根据什么
(3)由此你发现了什么
相等
d=r
相切
特征一：直线L经过半径OA的外端点A
特征二：直线L垂直于半径OA
（直线l成为切线必须满足哪些特征？）
一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
O
A
l
∵OA是⊙O 的半径,
l⊥OA于A
∴l是⊙O的切线
数学符号语言表述：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判断下图中的l 是否为⊙O的切线
⑴不是半径
⑵不经过半径外端
⑶与半径不垂直
记一记：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：
①过半径外端
②垂直于这条半径。
直线与圆相切的判定定理:
练一练
1、如图，已知点B在⊙O上。根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？
⑴OB=6,AO=10,AB=8
例1.已知:如图A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC,∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线
A
B
C
O
证明：连结OB
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60°
∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）
=180°-（60°+30°）
=90°
∴AB⊥OB
∴AB为⊙O的切线
一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，连半径，后只需证明直线垂直于这条半径。
考一考：如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
B
Ｏ
A
C
证明：
连接OC
∵ OA=OB，CA=CB
∴ AB⊥OC
∴AB是⊙O的切线
作一作：如图AB是⊙Ｏ的直径，请分别过A，B作⊙Ｏ的切线．
Ａ
O
B
问：两条切线有什么样的位置关系？
经过直径两端点的两条切线互相平行。
用一用:例如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30O方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些城市要做抗台风准备？
P
A
B
C
D
证一证、如图：点O为∠ABC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC是⊙O 的切线。
C
Ｏ
A
B
D
E
证明：
作OE⊥BC于E
∵ 点O为∠ABC平分线上一点
OD⊥AB于D
∴ OE＝OD
又∵ OD为⊙O半径
∴ BC与⊙O相切
证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可
O
P
S
T
Q
如图,OP是⊙O的半径, ∠POT=60°, OT交⊙O于S点.
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
★经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
切线的判定定理:
★这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.
★在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线，如果直线与圆没有公共点，则应过圆心作这条直线的垂线段。
★切线的判定方法有：
③ 切线的判定定理。
② 直线到圆心的距离等于圆的半径（即d=r)。
① 直线与圆有唯一公共点。
作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时
辅助线：是过圆心作这条 直线的垂线段。
再证明这条垂线段的长等于半径。
连结OC
当已知条件中直线与圆已有一个公共点时
辅助线：是连结圆心和这 个公共点。
再证明这条半径与直线垂直。
练一练2 如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
B
Ｏ
A
C
证一证如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC与⊙O相切。
C
A
Ｏ
B
D
E
请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线
(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线
(3)点P在什么位置时,能作两条切线 这两条切线有什么特性
(4)能作多于2条的切线吗
点在圆内不能作切线
点在圆上
点在圆外
相等
不能
1、如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，⊙O是△CGF的外接圆
求证：CE是⊙O的切线。
练一练（补充1）
O
A
B
C
D
3、已知：如图，AB是圆的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC。求证：DC是⊙O的切线。
练一练（补充2）
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D。
（1）求证：BC是△ADC的外接圆的切线；
（2） △BDC的外接圆的切线是哪一条？为什么？
（3）若AC=5，BC=12，以C为圆心作圆C，使圆C与 AB相切，则圆C的半径是多少？
A
D
C
B
练一练（补充3）
直线和圆的位置关系：
l
d＜r
d=r
d＞r
相交
相切
相离
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
问一问:
1、当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？
2、砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
请按照下述步骤作图:
如图,在⊙O上任取一点A,连结OA,过点A作直线l⊥OA,
O
A
思考以下问题:
(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系
(2)直线l和⊙O的位置有什么关系 根据什么
(3)由此你发现了什么
相等
d=r
相切
特征一：直线L经过半径OA的外端点A
特征二：直线L垂直于半径OA
（直线l成为切线必须满足哪些特征？）
一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
O
A
l
∵OA是⊙O 的半径,
l⊥OA于A
∴l是⊙O的切线
数学符号语言表述：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判断下图中的l 是否为⊙O的切线
⑴不是半径
⑵不经过半径外端
⑶与半径不垂直
记一记：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：
①过半径外端
②垂直于这条半径。
直线与圆相切的判定定理:
练一练
1、如图，已知点B在⊙O上。根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？
⑴OB=6,AO=10,AB=8
例1.已知:如图A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC,∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线
A
B
C
O
证明：连结OB
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60°
∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）
=180°-（60°+30°）
=90°
∴AB⊥OB
∴AB为⊙O的切线
一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，连半径，后只需证明直线垂直于这条半径。
考一考：如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
B
Ｏ
A
C
证明：
连接OC
∵ OA=OB，CA=CB
∴ AB⊥OC
∴AB是⊙O的切线
作一作：如图AB是⊙Ｏ的直径，请分别过A，B作⊙Ｏ的切线．
Ａ
O
B
问：两条切线有什么样的位置关系？
经过直径两端点的两条切线互相平行。
用一用:例如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30O方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些城市要做抗台风准备？
P
A
B
C
D
证一证、如图：点O为∠ABC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC是⊙O 的切线。
C
Ｏ
A
B
D
E
证明：
作OE⊥BC于E
∵ 点O为∠ABC平分线上一点
OD⊥AB于D
∴ OE＝OD
又∵ OD为⊙O半径
∴ BC与⊙O相切
证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可
O
P
S
T
Q
如图,OP是⊙O的半径, ∠POT=60°, OT交⊙O于S点.
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
★经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
切线的判定定理:
★这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.
★在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线，如果直线与圆没有公共点，则应过圆心作这条直线的垂线段。
★切线的判定方法有：
③ 切线的判定定理。
② 直线到圆心的距离等于圆的半径（即d=r)。
① 直线与圆有唯一公共点。
作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时
辅助线：是过圆心作这条 直线的垂线段。
再证明这条垂线段的长等于半径。
连结OC
当已知条件中直线与圆已有一个公共点时
辅助线：是连结圆心和这 个公共点。
再证明这条半径与直线垂直。
练一练2 如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
B
Ｏ
A
C
证一证如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC与⊙O相切。
C
A
Ｏ
B
D
E
请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线
(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线
(3)点P在什么位置时,能作两条切线 这两条切线有什么特性
(4)能作多于2条的切线吗
点在圆内不能作切线
点在圆上
点在圆外
相等
不能
1、如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，⊙O是△CGF的外接圆
求证：CE是⊙O的切线。
练一练（补充1）
O
A
B
C
D
3、已知：如图，AB是圆的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC。求证：DC是⊙O的切线。
练一练（补充2）
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D。
（1）求证：BC是△ADC的外接圆的切线；
（2） △BDC的外接圆的切线是哪一条？为什么？
（3）若AC=5，BC=12，以C为圆心作圆C，使圆C与 AB相切，则圆C的半径是多少？
A
D
C
B
练一练（补充3）