一元二次方程单元测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（ ）
A．﹣10
B．﹣7
C．﹣14
D．﹣2
2．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣3＝0有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣
B．k≥﹣且k≠0
C．k≥﹣
D．k≥﹣且k≠0
3．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0
B．x2+x﹣1＝0
C．x2+x+1＝0
D．x2﹣2x+1＝0
4．（3分）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
B．x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣2）2＝6
C．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝
D．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
5．（3分）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（ ）
A．10%
B．29%
C．81%
D．14.5%
6．（3分）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝95
B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95
C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6
7．（3分）学校准备举办“和谐校园”摄影作品展览，现要在一幅长30cm，宽20cm的矩形作品四周外围镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等．设彩纸的宽度为xcm，则x满足的方程是（ ）
A．（30+2x）（20+2x）＝30×20
B．（30+x）（20+x）＝30×20
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝2×30×20
D．（30+2x）（20+2x）＝2×30×20
8．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2y＝3x+2
B．3x2﹣1＝2x
C．2x2﹣1＝?
D．5＝x+3
9．（3分）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣1，2
B．x，﹣2
C．﹣x，2
D．3x2，2
10．（3分）已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．1
B．﹣2
C．1或2
D．1或﹣2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）关于x的方程（a+1）x+x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝
．
12．（4分）关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是
．
13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2021﹣a+b的值是
．
14．（4分）一个三角形的两边长分别是3cm和2cm，第三边的长为xcm，若x满足x2﹣3x+2＝0，则这个三角形的周长为
cm．
15．（4分）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是
cm2．
16．（4分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有
（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）解方程：
（1）x（x+1）＝2（x+1）；
（2）x2﹣2x＝1．
18．（8分）如图，要利用一面墙（墙长为25m）建牛圈，用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形牛圈，求矩形牛圈AB，BC的长．
19．（8分）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染．
（1）若■是﹣2，化简x2+2x+（﹣2x+2）；
（2）若x＝2时，A+B的值为18．
①说明原题中■是几？
②若再添加一个常数a，使A，B，a的和不为负数，求a的最小值．
20．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
21．（10分）已知关于x方程x2+ax+a﹣5＝0．
（1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22．（12分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费用忽略不计）
23．（12分）阅读理解：
材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：
例：求x2+2x+5的取值范围；
解：令x2+2x+5＝y
∴x2+2x+（5﹣y）＝0
∴△＝4﹣4×（5﹣y）≥0
∴y≥4∴x2+2x+5≥4．
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2）
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝
；
（2）求出代数式的取值范围；
（3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值．一元二次方程单元测
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（ ）
A．﹣10
B．﹣7
C．﹣14
D．﹣2
【分析】根据根与系数的的关系求得b、c的值，代入b+c求得即可．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，
∴﹣2+3＝﹣，﹣2×3＝，
∴b＝﹣2，c＝﹣12，
∴b+c＝﹣2﹣12＝﹣14，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
2．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣3＝0有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣
B．k≥﹣且k≠0
C．k≥﹣
D．k≥﹣且k≠0
【分析】一元二次方程首先二次项系数不为0，其次有实根的条件是△≥0，列出不等式即可求解．
【解答】解：∵kx2﹣2x﹣3＝0有实根，
∴k≠0且△≥0，
即（﹣2）2﹣4k?（﹣3）≥0，
解得k≥﹣且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程有根的条件，容易忽略二次项系数不为0的条件．
3．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0
B．x2+x﹣1＝0
C．x2+x+1＝0
D．x2﹣2x+1＝0
【分析】先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△＝12﹣4＝﹣3＜0，则方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D、△＝（﹣2）2﹣4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．（3分）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
B．x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣2）2＝6
C．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝
D．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
【分析】将常数项移到方程的右边，然后将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式．
【解答】解：A、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，所以A选项的配方错误；
B、x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣2）2＝6，所以B选项的配方正确；
C、3x2﹣4x﹣2＝0化为先化为x2﹣t＝，再化为（x﹣）2＝，所以C选项的配方正确；
D、x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100，所以D选项的配方正确．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．（3分）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（ ）
A．10%
B．29%
C．81%
D．14.5%
【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，根据该口罩厂六月份及八月份的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，
依题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝95
B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95
C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6
【分析】设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合每一块草坪的面积为95m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）学校准备举办“和谐校园”摄影作品展览，现要在一幅长30cm，宽20cm的矩形作品四周外围镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等．设彩纸的宽度为xcm，则x满足的方程是（ ）
A．（30+2x）（20+2x）＝30×20
B．（30+x）（20+x）＝30×20
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝2×30×20
D．（30+2x）（20+2x）＝2×30×20
【分析】设彩纸的宽度为xcm，则镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm，根据矩形面积的计算公式，结合彩纸的面积恰好与原作品面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设彩纸的宽度为xcm，则镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm，
依题意得：（30+2x）（20+2x）＝2×30×20．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2y＝3x+2
B．3x2﹣1＝2x
C．2x2﹣1＝?
D．5＝x+3
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B、它是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；
D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
9．（3分）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）
A．﹣1，2
B．x，﹣2
C．﹣x，2
D．3x2，2
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣x化成一般形式3x2﹣x+2＝0后，一次项和常数项分别是﹣x，2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
10．（3分）已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．1
B．﹣2
C．1或2
D．1或﹣2
【分析】分为两种情况：①m、n是腰，②m、n其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可．
【解答】解：①当m、n为腰时，m＝n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝0，
解得：k＝2；
②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3，
∵三角形不是等边三角形，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴把m＝3代入方程得9﹣12+k+2＝0，
解得：k＝1；
所以k＝1或2，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当△＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）关于x的方程（a+1）x+x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可．
【解答】解：∵方程（a+1）x+x﹣5＝0是一元二次方程，
∴a?+1＝2且a+1≠0，
∴a＝±1且a≠﹣1，
∴a＝1，
故答案是：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．（4分）关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是 a≥﹣且a≠0 ．
【分析】有两个实数根，首先二次项系数需不为0，其次△≥0，列出不等式求解即可．
【解答】解：∵ax2﹣3x﹣1＝0有两个实数根，
∴a≠0且△≥0，即（﹣3）2﹣4a?（﹣1）≥0，
解得a且a≠0，
故答案为：a且a≠0．
【点评】本题考查一元二次方程有实数根的条件，容易忽视二次项系数不为0．
13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2021﹣a+b的值是 2022 ．
【分析】令x＝﹣1代入原方程即可求出原式的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx+1＝0（a≠0），
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1．
∴原式＝2021﹣（a+b）＝2021+1＝2022，
故答案是：2022．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
14．（4分）一个三角形的两边长分别是3cm和2cm，第三边的长为xcm，若x满足x2﹣3x+2＝0，则这个三角形的周长为 7 cm．
【分析】先解方程x2﹣3x+2＝0，解得x1＝2，x2＝1，根据三角形三边的关系得到第三边的长是2，然后根据三角形周长的定义计算即可．
【解答】解：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1，
当x＝2时，三角形三边为3，2，2，则三角形的周长＝3+2+2＝7（cm）；
当x＝1时，由于1+2＝3，不符合三角形三边的关系，舍去．
所以这个三角形的周长为7cm，
故答案为7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程化为一般式ax2+bx+c＝0（a≠0），然后把方程左边分解为两个一次因式的积，这样一元二次方程可转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得到一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
15．（4分）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 9 cm2．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x）?x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm
2）．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂图意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
16．（4分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，
若x1＝2x2，则，＝×2，
即，﹣×2＝0，
∴＝0，
∴＝0，
∴3＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，×2＝，
即，则，×2﹣＝0，
∴＝0，
∴﹣b+3＝0，
∴b＝3，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）解方程：
（1）x（x+1）＝2（x+1）；
（2）x2﹣2x＝1．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）∵x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣2）＝0，
则x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2；
（2）x2﹣2x＝1，
配方得：（x﹣1）2＝2，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（8分）如图，要利用一面墙（墙长为25m）建牛圈，用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形牛圈，求矩形牛圈AB，BC的长．
【分析】设AB＝xm，则BC＝（100﹣4x）m，根据牛圈的总面积为400m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长为25m，即可得出结论．
【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（100﹣4x）m，
依题意得：x（100﹣4x）＝400，
解得：x1＝20，x2＝5，
当x＝20时，BC＝100﹣4x＝20＜25，符合题意；
当x＝5时，BC＝100﹣4x＝80＞25，不符合题意，舍去．
答：牛圈AB的长为20m，BC的长为20m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（8分）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染．
（1）若■是﹣2，化简x2+2x+（﹣2x+2）；
（2）若x＝2时，A+B的值为18．
①说明原题中■是几？
②若再添加一个常数a，使A，B，a的和不为负数，求a的最小值．
【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算；
（2）①把x的值代入计算即可；
②根据A+B的值为18得到A+B+a≥0．解不等式得到答案．
【解答】解：（1）x2+2x+（﹣2x+2）＝x2+2x﹣2x+2＝x2+2；
（2）①设■＝m，
依题意得，22+2×2+2m+2＝18，
解得，m＝4；
②∵A+B＝18，
∴A、B、a的和不为负数时，有A+B+a≥0．
即18+a≥0，
解得，a≥﹣18，所以a的最小值为﹣18．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
20．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
21．（10分）已知关于x方程x2+ax+a﹣5＝0．
（1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）根据方程有一根为3，将x＝3代入方程求出a的值，确定出方程，即可求出另一根；
（2）根据根的判别式判断可得结论．
【解答】解：（1）把x＝3代入方程得32+3a+a﹣5＝0，
∴a＝﹣1，
∴方程为x2﹣x﹣6＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2，即方程另一个根是﹣2；
（2）证明：△＝a2﹣4（a﹣5）＝a2﹣4a+20＝a2﹣4a+4+16＝（a﹣2）2+16＞0
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．
22．（12分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费用忽略不计）
【分析】（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发价是（x+1）元，根据今年的批发销售总额比去年增加了20%，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为（17﹣y）元，每天的销售量为（300+60y）千克，利用总利润＝每千克的平均利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发价是（x+1）元，
依题意得：1.2（x+1）＝（1+25%）x，
解得：x＝24．
答：这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为41﹣y﹣24＝（17﹣y）元，每天的销售量为300+＝（300+60y）千克，
依题意得：（17﹣y）（300+60y）＝7260，
整理得：y2﹣12y+36＝0，
解得：y1＝y2＝6，
∴41﹣y＝35（元）．
答：这种水果的平均售价为35元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（12分）阅读理解：
材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：
例：求x2+2x+5的取值范围；
解：令x2+2x+5＝y
∴x2+2x+（5﹣y）＝0
∴△＝4﹣4×（5﹣y）≥0
∴y≥4∴x2+2x+5≥4．
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2）
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝ 6或﹣6 ；
（2）求出代数式的取值范围；
（3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值．
【分析】（1）根据材料一设y＝x2+ax+3，化为x的一元二次方程用△≥0得y的范围，再列出a的方程求解；
（2）设y＝，用△≥0求解，再根据材料二得到结论；
（3）用△≥0得到代数式值的不等式，已知代数式值的最大、最小值，实质是已知和这个不等式对应的方程的二根，代入便可以求解．
【解答】解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0，
∵△≥0，
∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y，
而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6，
∴a＝6或a＝﹣6．
（2）设y＝，变形为3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0，
∵△≥0，
∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化简得3y2+16y+20≥0，
先求出3y2+16y+20＝0的二根y1＝﹣2，y2＝﹣，
∴根据材料二得y或y≥﹣2．
（3）设y＝，变形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0，
∵△≥0，
∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0，
整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0，
由已知可得﹣4≤y≤7，
根据材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y1＝﹣4，y2＝7，
代入整理得，
解得或．
【点评】本题难度较大，主要考查阅读能力，能灵活运用阅读材料，涉及方程、不等式解的关系，对计算要求也较高．
