二次根式单元测
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、当x＜0时，不是二次根式，不合题意；
B、当x＜2时，不是二次根式，不合题意；
C、中x2+1＞0，故原式一定是二次根式，符合题意；
D、当﹣1＜x＜1时，不是二次根式，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，关键是理解二次根式中被开方数是非负数．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．
【解答】解：＝3，被开方数是2，
A、的被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项正确；
B、的被开方数是3，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
C、＝2，被开方数是3，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
D、＝2，被开方数是5，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、+，无法合并，故此选项错误；
B、＝2，故此选项错误；
C、＝，故此选项正确；
D、＝2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
4．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
【解答】解：A、＝4，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝2x，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
5．（3分）已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（ ）
A．9
B．9
C．5
D．5
【分析】把已知条件变形得到x﹣2＝，两边平方得到x2＝4x+1，利用降次的方法得到原式＝3x﹣1，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：∵x＝+2，
∴x﹣2＝，
∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，
∴x2＝4x+1，
∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，
当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．运用整体代入的方法可简化计算．
6．（3分）已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（ ）
A．2a
B．﹣2a
C．﹣
D．
【分析】先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据a的取值范围去掉绝对值符号合并即可．
【解答】解：
＝﹣
＝||﹣||，
当﹣1＜a＜0时，原式＝a﹣+＝2a．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在化简二次根式时要根据二次根式的性质先讨论被开方数的符号，再进行解答．
7．（3分）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．﹣
B．﹣x2
C．﹣
D．
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵有意义，
∴x＜0，
∴﹣x＞0，
∴﹣x＝﹣x?＝，
故选：D．
【点评】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．
8．（3分）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．3a+b﹣c
B．﹣a﹣3b+3c
C．a+3b﹣c
D．2a
【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．
【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；
∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．
绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．
9．（3分）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．25
D．5或﹣5
【分析】先把+进行化简，再把a+b＝﹣5，ab＝1代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
+＝﹣﹣＝﹣，
又∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴原式＝﹣＝5；
故选：A．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把要求的式子进行化简，再进行计算．
10．（3分）已知+2＝b+8，则的值是（ ）
A．±3
B．3
C．5
D．±5
【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值．
【解答】解：由题可得，
解得a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及化简，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若有意义，则x的取值范围为 x≤且x≠﹣1 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再利用分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，且x+1≠0，
解得：x≤且x≠﹣1，
故答案为：x≤且x≠﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
12．（4分）若y＝+﹣2，则的值是 1 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件可得x＝3，进而可得y的值，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＝3，
则y＝﹣2，
∴＝＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
13．（4分）分母有理化：＝ 2﹣ ．
【分析】给分子分母同乘以（2﹣），分母即可化为平方差形式去掉根式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：
＝
＝
＝2．
故答案为：2﹣．
【点评】本题主要考查了分母有理化及二次根式的乘除，合理运用分母有理化法则进行计算是解决本题的关键．
14．（4分）若|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，则＝ 2 ．
【分析】利用非负数的性质得到a﹣2＝0，b+2＝0，c﹣＝0，解得a＝2，b＝﹣2，c＝，然后根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算．
【解答】解：根据题意得|a﹣2|+（b+2）2+＝0，
∴a﹣2＝0，b+2＝0，c﹣＝0，
解得a＝2，b＝﹣2，c＝，
所以原式＝××
＝2×
＝2×1
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
15．（4分）小明在作业本上做了4道题①＝﹣5；②±＝4；③＝9；④＝﹣6，他做对的题有 1道 ．
【分析】分别根据立方根、平方根及二次根式的性质与化简法则计算分析即可得出答案．
【解答】解：①＝﹣5，正确；
②±＝±4，故②错误；
③≠9，故③错误：
④＝6，故④错误．
∴他做对的题有1道．
故答案为：1道．
【点评】本题考查了立方根、平方根及二次根式的性质与化简等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16．（4分）已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应的y值的总和是 2022 ．
【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到y＝|x﹣2|﹣x+3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和．
【解答】解：∵y＝﹣x+3＝﹣x+3＝|x﹣2|﹣x+3，
∴当x＜2时，y＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x，
即当x＝1时，y＝5﹣2＝3；
当x≥2时，y＝x﹣2﹣x+3＝1，
即当x分别取2，3，…，2020时，y的值均为1，
综上所述，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应的y值的总和是3+2019×1＝2022，
故答案为：2022．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）计算：×﹣+（+1）（﹣1）．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣+3﹣1
＝4﹣2+2
＝2+2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）计算：
（1）﹣|1﹣2|+（）﹣2+（π+）0；
（2）（﹣2）÷﹣4+．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣（2﹣1）+9+1
＝2﹣2+1+9+1
＝11；
（2）原式＝﹣2﹣2+
＝﹣2﹣2+﹣
＝﹣2﹣．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（10分）设一个三角形的三边分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（海伦公式）；S＝（秦九昭公式）．
（1）一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【分析】（1）先求出p＝7，再由海伦公式计算即可；
（2）先求出a2＝3，b2＝5，c2＝6，再由秦九昭公式计算即可．
【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长依次为3，5，6，
∴p＝（a+b+c）＝（3+5+6）＝7，
由海伦公式得：S＝＝＝2；
（2）∵a＝，b＝，c＝，
∴a2＝3，b2＝5，c2＝6，
由秦九昭公式得：S＝＝＝．
【点评】本题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式；熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
21．（10分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
【解答】解：（1）
．
（2）原式＝
＝．
【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
22．（12分）张亮同学在作业本上做了这么一道题：“当a＝■时，试求a+的值”，其中■是被墨水弄污的，张亮同学所求得的答案为．
（1）请你计算当a＝5时，代数式a+的值；
（2）是否存在数a，使得a+的值为；
（3）请直接判断张亮同学的答案是否正确．
【分析】（1）直接将a＝5代入可得结论；
（2）因为原式＝a+|a﹣1|，所以此题应该从a≥1，a＜1两种情况考虑；
（3）根据（2）中的结论发现：a为任何实数时，原式都不可能等于，所以张亮同学的答案不正确．
【解答】解：（1）当a＝5时，原式＝5+＝5+＝9；
（2）不存在，理由是：
原式＝a+＝a+|a﹣1|，
当a≥1时，原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝，
∴a＝（舍），
当a＜1时，原式＝a+1﹣a＝1≠，
∴不存在数a，使得a+的值为；
（3）由（2）可知：张亮同学的答案不正确．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质并分类讨论是解题的关键．
23．（12分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）＝ ；＝
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
【分析】（1）将；分母有理化，有理化因式分别为，；
（2）被开方数是两个相邻的数，即，它的有理化因式为；
（3）由（1）（2）得，原式＝，合并可得结果．
【解答】解：（1）＝；＝
（2）
（3）
＝，
＝
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查分母有理化，找规律是解决此题的关键．二次根式单元测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（ ）
A．9
B．9
C．5
D．5
6．（3分）已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（ ）
A．2a
B．﹣2a
C．﹣
D．
7．（3分）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．﹣
B．﹣x2
C．﹣
D．
8．（3分）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．3a+b﹣c
B．﹣a﹣3b+3c
C．a+3b﹣c
D．2a
9．（3分）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．25
D．5或﹣5
10．（3分）已知+2＝b+8，则的值是（ ）
A．±3
B．3
C．5
D．±5
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若有意义，则x的取值范围为
．
12．（4分）若y＝+﹣2，则的值是
．
13．（4分）分母有理化：＝
．
14．（4分）若|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，则＝
．
15．（4分）小明在作业本上做了4道题①＝﹣5；②±＝4；③＝9；④＝﹣6，他做对的题有
．
16．（4分）已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应的y值的总和是
．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）计算：×﹣+（+1）（﹣1）．
18．（8分）计算：
（1）﹣|1﹣2|+（）﹣2+（π+）0；
（2）（﹣2）÷﹣4+．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
20．（10分）设一个三角形的三边分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（海伦公式）；S＝（秦九昭公式）．
（1）一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
21．（10分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
22．（12分）张亮同学在作业本上做了这么一道题：“当a＝■时，试求a+的值”，其中■是被墨水弄污的，张亮同学所求得的答案为．
（1）请你计算当a＝5时，代数式a+的值；
（2）是否存在数a，使得a+的值为；
（3）请直接判断张亮同学的答案是否正确．
23．（12分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）＝
；＝
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
