二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若是二次根式，则a的值不可以是（ ）
A．4
B．
C．90
D．﹣2
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：∵是二次根式，
∴a≥0，故a的值不可以是﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
2．已知2b+8，则的值是（ ）
A．±3
B．3
C．5
D．±5
【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值．
【解答】解：由题可得，
解得a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及化简，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．3
B．±3
C．3
D．3
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、±±3，故此选项错误；
B、3，故此选项错误；
C、3，故此选项错误；
D、3，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
4．下列是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D、2ab，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
5．化简，结果是（ ）
A．6x﹣6
B．﹣6x+6
C．﹣4
D．4
【分析】由二次根式的非负性及被开方数的非负性可得x的范围，从而可将根号化简掉，从而问题可解．
【解答】解：由二次根式的非负性及被开方数的非负性可得：
3x﹣5≥0
∴x
∴1﹣3x＜0
∴
（3x﹣5）
＝3x﹣1﹣3x+5
＝4
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，明确被开方数的特点，会利用完全平方公式化简，是解题的关键．
6．下列各数中与相乘结果为有理数的是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、（2）22，不合题意；
B、2，符合题意；
C、22，不合题意；
D、，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．下列二次根式中，与是同类二次根式（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、3，与不是同类二次根式；
B、2，与是同类二次根式；
C、，与不是同类二次根式；
D、3，与不是同类二次根式；
故选：B．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
8．下列计算正确的是（ ）
A．431
B．
C．3
D．3+25
【分析】根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变进行计算即可．
【解答】解：A、43，故原题计算错误；
B、和不能合并，故原题计算错误；
C、23，故原题计算正确；
D、3和2不能合并，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．
9．下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝6，所以A选项的计算错误；
B、5与5不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式＝88，所以C选项的计算正确；
D、原式＝2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．已知a2，b2，则a2+b2的值为（ ）
A．4
B．14
C．
D．14+4
【分析】根据二次根式的混合运算法则分别求出a+b，ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵a2，b2，
∴a+b＝（22）＝2，ab＝（2）（2）＝﹣1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．已知是整数，自然数n的最小值为 2 ．
【分析】根据自然数和二次根式的性质得出18﹣n＝16，求出即可．
【解答】解：∵是整数，n为最小自然数，
∴18﹣n＝16，
∴n＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出18﹣n＝16是解此题的关键．
12．当代数式有意义时，x应满足的条件 x≤4且x≠±1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴4﹣x≥0，x2﹣1≠0，
解得，x≤4且x≠±1，
故答案为：x≤4且x≠±1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
13．计算： ．
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
【解答】解：．
故答案是．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是把二次根式化成最简．
14．把化为最简二次根式 10 ．
【分析】将被开方数500分为100×5，利用二次根式的乘法逆运算变形，再利用二次根式的化简公式化简，即可得到最简结果．
【解答】解：10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
15．计算 ．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．实数的整数部分a＝ 2 ，小数部分b＝ ．
【分析】将已知式子分母有理数后，先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．
【解答】解：，
∵4＜7＜9，∴23，
∴3，即实数的整数部分a＝2，
则小数部分为2．
故答案为：2；．
【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．
17．若二次根式与﹣3是同类二次根式，则整数a可以等于 3（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】根据同类二次根式的定义判断即可．
【解答】解：∵二次根式与﹣3是同类二次根式，
∴2a+6＝12（答案不唯一），
解得：a＝3（答案不唯一）．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
18．计算2等于 2 ．
【分析】先化简二次根式，然后计算减法．
【解答】解：原式＝3
＝3
＝2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了二次根式的加减法．法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
19．计算： 22 ．
【分析】利用二次根式的除法法则运算．
【解答】解：原式
＝22．
故答案为22．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为 12 ．
【分析】根据二次根式的减法法则求出x﹣y，利用完全平方公式把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：∵x＝2，y＝2，
∴x﹣y＝﹣2，
则x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（﹣2）2＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的加减法法则是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．若实数a、b满足，求a+b的平方根．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a、b的值，根据平方根的概念解答．
【解答】解：∵，
∴，
∴b＝4，
把b＝4代入上式得a＝2，
∴a+b＝2+4＝6，
∴a+b的平方根为．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键．
22．如果实数x、y满足y2，求x+3y的平方根．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式可得x＝3，然后可得y的值，进而可得x+3y的值，然后计算平方根即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＝3，
则y＝2，
x+3y＝3+3×2＝9，
x+3y的平方根为±±3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简．
【分析】直接利用二次根式的性质以及实数与数轴分别化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：1＜b＜2，则b﹣1＞0，a﹣b＜0，
故原式＝b﹣1+a﹣b
＝a﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．
24．先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得m，，那么便有：（a＞b）
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，
所以．
问题：
①填空： 1 ， 2 ；
②化简：（请写出计算过程）．
【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
【解答】解：①1，
2，
故答案为：1；2；
②2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
25．（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质、根据二次根式的乘法法则计算；
（2）根据等式的性质把方程组进行整理，利用加减消元法解出方程组．
【解答】解：（1）原式＝63
＝18；
（2）原方程可化为，
①×3﹣②×2，得﹣x＝﹣13，
解得，x＝13，
把x＝13代入①，得y＝﹣19，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、二元一次方程组的解法，掌握二次根式的乘除法法则、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
26．已知关于x、y的二元一次方程组，它的解是正数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：．
【分析】（1）先解方程组，用含m的式子表示出x、y，再根据方程组的解是一对正数列出关于m的不等式组，解之可得；
（2）根据m的取值范围判断出m﹣2，m+1与m﹣1的范围，再根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：（1）解关于x、y的二元一次方程组，得，
∵方程组的解是一对正数，
∴，
解得；
（2），
当时，
m﹣2＜0，m+1＞0，m﹣1＜0，
∴
＝2﹣m﹣（m+1）﹣（1﹣m）
＝2﹣m﹣m﹣1﹣1+m
＝﹣m；
当时，
m﹣2＜0，m+1＞0，m﹣1≥0，
∴
＝2﹣m﹣（m+1）﹣（m﹣1）
＝2﹣m﹣m﹣1﹣m+1
＝2﹣3m．
【点评】本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．解题的关键是根据题意列出关于m的不等式组及绝对值的性质．
27．计算：||（π﹣2）0+（）﹣1．
【分析】根据绝对值，零指数幂、负整数指数幂的性质进行计算即可．
【解答】解：||（π﹣2）0+（）﹣1
21+2
＝31．
【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值，另指数幂、负整数指数幂的性质的性质是正确计算的前提．
28．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1） ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
【分析】（1）将；分母有理化，有理化因式分别为，；
（2）被开方数是两个相邻的数，即，它的有理化因式为；
（3）由（1）（2）得，原式，合并可得结果．
【解答】解：（1）；
（2）
（3）
，
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查分母有理化，找规律是解决此题的关键．
29．（1）计算：||+2；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）原式23
2．
（2），
①+②得：4x＝8，
∴x＝2，
将x＝2代入①得：y，
∴方程组的解为：．
【点评】本题考查实数的运算以及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用实数的运算法则以及方程组的解法，本题属于基础题型．
30．计算：3．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2332
＝232
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．二次根式
一．选择题（共10小题）
1．若是二次根式，则a的值不可以是（ ）
A．4
B．
C．90
D．﹣2
2．已知2b+8，则的值是（ ）
A．±3
B．3
C．5
D．±5
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．3
B．±3
C．3
D．3
4．下列是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．化简，结果是（ ）
A．6x﹣6
B．﹣6x+6
C．﹣4
D．4
6．下列各数中与相乘结果为有理数的是（ ）
A．
B．
C．2
D．
7．下列二次根式中，与是同类二次根式（ ）
A．
B．
C．
D．
8．下列计算正确的是（ ）
A．431
B．
C．3
D．3+25
9．下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知a2，b2，则a2+b2的值为（ ）
A．4
B．14
C．
D．14+4
二．填空题（共10小题）
11．已知是整数，自然数n的最小值为
．
12．当代数式有意义时，x应满足的条件
．
13．计算：
．
14．把化为最简二次根式
．
15．计算
．
16．实数的整数部分a＝
，小数部分b＝
．
17．若二次根式与﹣3是同类二次根式，则整数a可以等于
．（写出一个即可）
18．计算2等于
．
19．计算：
．
20．已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为
．
三．解答题（共10小题）
21．若实数a、b满足，求a+b的平方根．
如果实数x、y满足y2，求x+3y的平方根．
23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简．
24．先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得m，，那么便有：（a＞b）
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，
所以．
问题：
①填空：
，
；
②化简：（请写出计算过程）．
25．（1）；
（2）．
26．已知关于x、y的二元一次方程组，它的解是正数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：．
计算：||（π﹣2）0+（）﹣1．
28．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，
（1）
；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．
29．（1）计算：||+2；
（2）解方程：．
30．计算：3．
