一元二次方程
一．选择题（共15小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝﹣2
B．x3﹣2x+1＝0
C．x2+3xy+1＝0
D．
2．方程（x+2）（3x﹣1）＝6化为一般形式后，常数项为（ ）
A．6
B．﹣8
C．2
D．﹣4
3．若x＝m是方程x2+x﹣1＝0的根，则m2+m+2020的值为（ ）
A．2022
B．2021
C．2019
D．2018
4．方程x2﹣1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1
B．x1＝x2＝﹣1
C．x＝±1
D．无实数根
5．用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4
B．（x﹣6）2＝41
C．（x+3）2＝14
D．（x﹣3）2＝14
6．方程x（x﹣1）＝2的两根为（ ）
A．x1＝0，x2＝1
B．x1＝0，x2＝﹣1
C．x1＝1，x2＝2
D．x1＝﹣1，x2＝2
7．方程x（x+5）＝0的根是（ ）
A．x＝5
B．x＝﹣5
C．x1＝0，x2＝5
D．x1＝0，x2＝﹣5
8．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1
B．﹣1或5
C．1
D．5
9．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1
B．k＜1
C．k≥1
D．k＞1
10．对于一元二次方程x2+6x﹣11＝0，下列说法正确的是（ ）
A．这个方程有两个相等的实数根
B．这个方程有两个不相等的实数根x1，x2；且x1+x2＝﹣6
C．这个方程有两个不相等的实数根x1，x2；且x1+x2＝11
D．这个方程没有实数根
11．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ）
A．25（1﹣x）2＝16
B．25（1+x）
2＝16
C．16（1﹣x）2＝25
D．16（1+x）
2＝25
12．一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（ ）
A．10%
B．15%
C．18%
D．20%
13．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣10a﹣24b﹣26c＝﹣338，则△ABC的周长是（ ）
A．26
B．28
C．30
D．32
14．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（ ）
A．1
B．3
C．1
D．3
15．方程?（x﹣2）＝0的解为（ ）
A．无解
B．x＝1
C．x＝2
D．x1＝1，x2＝2
二．填空题（共15小题）
16．已知关于x的方程（m﹣1）x2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为
．
17．方程3x2+1＝8x的一次项系数是
．
18．已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝
．
19．一元二次方程x2﹣25＝0的解为
．
20．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，配方后的方程可以是
．
21．若实数a、b、c满足：|b+1|+（c+6）2＝0，则方程ax2+bx+c＝0的解是
．
22．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是
．
23．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则这个直角三角形的斜边长为
．
24．一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
．
25．若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于
．
26．如图，在长为20cm，宽15cm的矩形画面的四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，设彩纸的宽度为xcm，则列方程整理成一般形式为
．
27．国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少．某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人．则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是
．
28．将3x2﹣2x﹣2＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则n＝
．
29．方程组的解是
．
30．方程2﹣x的根为
．
三．解答题（共10小题）
31．若（a+1）x|2a﹣1|＝5是关于x的一元二次方程，则a是多少，且该一元二次方程的解为多少？
32．阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是
．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，求m2﹣2015m的值．
解方程：x（x+5）＝x﹣4．
解方程：x2﹣8x﹣1＝0．
解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．
解方程：x2﹣1＝2（x+1）
38．解方程：
（1）（x+2）2﹣16＝0；
（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0．
39．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
40．已知关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．若x＝1是此方程的一根，求k的值及方程的另一根．
1一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝﹣2
B．x3﹣2x+1＝0
C．x2+3xy+1＝0
D．
【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．
【解答】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B、该方程属于一元三次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程中未知数项的最高次数是2且含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程是分式方程，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．方程（x+2）（3x﹣1）＝6化为一般形式后，常数项为（ ）
A．6
B．﹣8
C．2
D．﹣4
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：一元二次方程（x+2）（3x﹣1）＝6化为一般形式后3x2﹣5x﹣8＝0，其常数项为﹣8，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．若x＝m是方程x2+x﹣1＝0的根，则m2+m+2020的值为（ ）
A．2022
B．2021
C．2019
D．2018
【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：∵x＝m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m2+m+2020＝1+2020＝2021．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．方程x2﹣1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1
B．x1＝x2＝﹣1
C．x＝±1
D．无实数根
【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法解方程即可．
【解答】解：x2﹣1＝0，
x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
5．用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4
B．（x﹣6）2＝41
C．（x+3）2＝14
D．（x﹣3）2＝14
【分析】常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝5，
则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．方程x（x﹣1）＝2的两根为（ ）
A．x1＝0，x2＝1
B．x1＝0，x2＝﹣1
C．x1＝1，x2＝2
D．x1＝﹣1，x2＝2
【分析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
【解答】解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
△＝1+8＝9＞0
∴x
解得x1＝﹣1，x2＝2．故选D．
【点评】本题考查了公式法解方程，公式法是所有一元二次方程都适用的方法．
7．方程x（x+5）＝0的根是（ ）
A．x＝5
B．x＝﹣5
C．x1＝0，x2＝5
D．x1＝0，x2＝﹣5
【分析】原方程可转化为x＝0或x+5＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：x＝0或x+5＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
8．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1
B．﹣1或5
C．1
D．5
【分析】设y＝x2﹣2x+1，将已知方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
9．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1
B．k＜1
C．k≥1
D．k＞1
【分析】根据判别式的意义得到△＝22﹣4k≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4k≥0，
解得k≤1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10．对于一元二次方程x2+6x﹣11＝0，下列说法正确的是（ ）
A．这个方程有两个相等的实数根
B．这个方程有两个不相等的实数根x1，x2；且x1+x2＝﹣6
C．这个方程有两个不相等的实数根x1，x2；且x1+x2＝11
D．这个方程没有实数根
【分析】由根的判别式可判断方程根的情况，由韦达定理可得两根之和．
【解答】解：∵x2+6x﹣11＝0，
∴△＝62﹣4×1×（﹣11）＝80＞0，
∴这个方程有两个不相等的实数根x1，x2，
且x1+x26，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
11．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ）
A．25（1﹣x）2＝16
B．25（1+x）
2＝16
C．16（1﹣x）2＝25
D．16（1+x）
2＝25
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
25（1﹣x）2＝16．
故选：A．
【点评】此题考查了由实际问题一元二次方程抽象出一元二次方程，最基本数量关系：商品原价×（1+平均每次提价的百分率）＝现在的价格．
12．一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（ ）
A．10%
B．15%
C．18%
D．20%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100×（1﹣x）2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．
13．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣10a﹣24b﹣26c＝﹣338，则△ABC的周长是（ ）
A．26
B．28
C．30
D．32
【分析】已知等式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可求出周长．
【解答】解：已知等式变形得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2＝0，
可得a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
解得：a＝5，b＝12，c＝13，
则△ABC周长为5+12+13＝30．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（ ）
A．1
B．3
C．1
D．3
【分析】先利用x2﹣x﹣1＝0得到x2＝x+1，再利用x的一次式表示出x3和x4，则x4﹣2x3+3x化为2x，然后解方程x2﹣x﹣1＝0得x，从而得到x4﹣2x3+3x的值．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3＝x?x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，
x4＝x?x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，
∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x
＝3x+2﹣4x﹣2+3x
＝2x，
解方程x2﹣x﹣1＝0得x1，x2，
∵x＞0，
∴x，
∴x4﹣2x3+3x＝21．
故选：C．
【点评】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
15．方程?（x﹣2）＝0的解为（ ）
A．无解
B．x＝1
C．x＝2
D．x1＝1，x2＝2
【分析】根据已知方程得出0或x﹣2＝0，求出x，再进行检验即可．
【解答】解：∵?（x﹣2）＝0，
∴0或x﹣2＝0，
解得：x＝1或2，
检验：当x＝2时，没有意义，
所以方程的解是x＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了解无理方程，能根据已知方程得出0或x﹣2＝0是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
二．填空题（共15小题）
16．已知关于x的方程（m﹣1）x2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m2+1＝2，且m﹣1≠0，继而即可得出m的值．
【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，关键是掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
17．方程3x2+1＝8x的一次项系数是 ﹣8 ．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：一元二次方程3x2+1＝8x的一般形式3x2﹣8x﹣1＝0，其中一次项系数为﹣8，
故答案是：﹣8．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
18．已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19．一元二次方程x2﹣25＝0的解为 x1＝5，x2＝﹣5 ．
【分析】先移项，再开方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣25＝0，
x2＝25，
开方得：x＝±5，
即x1＝5，x2＝﹣5，
故答案为：x1＝5，x2＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
20．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，配方后的方程可以是 （x﹣2）2＝7 ．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7＝0
故答案为：（x﹣2）2＝7；
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
21．若实数a、b、c满足：|b+1|+（c+6）2＝0，则方程ax2+bx+c＝0的解是 x＝﹣2或x＝3 ．
【分析】根据题意可求出a、b、c的值，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a2﹣2a+1＝0，b﹣1＝0，c+6＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣6，
∴原方程化为：x2+x﹣6＝0，
∴（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣2或x＝3．
故答案为：x＝﹣2或x＝3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 x1＝0，x2＝4 ．
【分析】通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程，得
x（x﹣4）＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故答案是：x1＝0，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
23．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则这个直角三角形的斜边长为 ．
【分析】将a2+b2看做整体解方程得a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2（舍），从而得出c2＝a2+b2＝3，即可得答案．
【解答】解：∵（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，
∴（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，
∴（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）＝0，
解得：a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2（舍），
则c2＝a2+b2＝3，
∴这个直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．
24．一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即22﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即22﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1，
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
25．若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 2029 ．
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2021，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2021+2×4
＝2021+8
＝2029．
故答案为：2029．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1?x2．
26．如图，在长为20cm，宽15cm的矩形画面的四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，设彩纸的宽度为xcm，则列方程整理成一般形式为 2x2+35x﹣75＝0 ．
【分析】设彩纸的宽度为xcm，则镶上宽度相等的彩纸后长度为30+2x，宽为15+2x，它的面积等于原来面积，由此列出方程．
【解答】解：设彩纸的宽度为xcm，
则由题意列出方程为：（15+2x）（20+2x）＝30×15．
整理得：2x2+35x﹣75＝0，
故答案为：2x2+35x﹣75＝0．
【点评】本题主要考查实际问题抽象出一元二次方程的知识，变形后的面积是原来的面积，列出方程即可．
27．国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少．某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人．则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是 50% ．
【分析】设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，
依题意得：4（1﹣x）2＝1，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意，舍去）．
故答案为：50%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．将3x2﹣2x﹣2＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则n＝ ．
【分析】先将二次项系数化为1，再利用配方法变形即可得出答案．
【解答】解：∵3x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2x0，
∴x2x，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了配方法在一元二次方程变形中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
29．方程组的解是 ．
【分析】组中②的左边因式分解，把组中方程①代入，得二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：
由②，德（x+3y）（x﹣3y）＝7③，
把①代入③，得x+3y＝7④．
由①④联立，得，
解这个方程组，得．
故答案为：．
【点评】本题考查了高次方程和二元一次方程组的解法．解决本题亦可变形组中方程①，用含y的代数式表示x后代入组中方程②求解．
30．方程2﹣x的根为 x＝1 ．
【分析】首先把无理方程化成整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可．
【解答】解：2﹣x，
两边平方得：3﹣2x＝4﹣4x+x2，
整理得：x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
经检验，x＝1是原方程的根，
∴方程2﹣x的根为x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了无理方程的解法；熟练掌握无理方程的解法是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
31．若（a+1）x|2a﹣1|＝5是关于x的一元二次方程，则a是多少，且该一元二次方程的解为多少？
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意得：|2a﹣1|＝2且a+1≠0，
解得：a或a．
当a时，该方程是x2＝5，此时x＝±．
当a时，该方程是x2＝5，此时x＝±．
综上所述，a的值是或；该方程的解为x＝±或x＝±．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
32．阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ﹣x2﹣4x﹣3＝0 ．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1+（﹣1）＝0，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1+（﹣1）＝0，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
33．已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，求m2﹣2015m的值．
【分析】把x＝m代入方程x2﹣2016x+1＝0有m2﹣2016m+1＝0，变形得m2﹣2015m＝m﹣1，m2+1＝2016m，再将所求代数式m2﹣2015m变形为1，将2016代入，计算即可求出结果．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，
∴m2﹣2016m+1＝0，
∴m2﹣2015m＝m﹣1，m2+1＝2016m，
∴，
∴m2﹣2015mm﹣11＝2016﹣1＝2015．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的式子，代入代数式化简求值．
34．解方程：x（x+5）＝x﹣4．
【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可．
【解答】解：x（x+5）＝x﹣4，
x2+5x＝x﹣4，
x2+4x+4＝0，
（x+2）2＝0，
x+2＝0，
x1＝x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开方法，解决本题的关键是掌握直接开方法解一元二次方程．
35．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．
【分析】移项，方程两边都加上16，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣8x﹣1＝0，
x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝1+16，
（x﹣4）2＝17，
x﹣4＝±
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方．
36．解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．
【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：△＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，
x，
所以x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程：把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
37．解方程：x2﹣1＝2（x+1）
【分析】左边因式分解后，将右边整体移到左边，再提取公因式x+1因式分解，再化为两个一元一次方程求解可得．
【解答】解：∵（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
38．解方程：
（1）（x+2）2﹣16＝0；
（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0．
【分析】（1）先移项，然后利用直接开平方法解方程；
（2）设y＝x﹣1，则原方程转化为y2﹣2y＝0，利用因式分解法解方程求得y的值．
【解答】解：（1）由原方程，得（x+2）2＝16，
直接开平方，得x+2＝±4．
解得x1＝2，x2＝﹣6；
（2）设y＝x﹣1，则原方程转化为y2﹣2y＝0，
整理，得y（y﹣2）＝0．
解得y＝0或y＝2．
∴x﹣1＝0或x﹣1＝2，
∴x1＝1，x2＝3
【点评】本题主要考查了换元法、直接开平方法以及因式分解法解一元二次方程，需要根据方程的特点选用解方程的方法，难度不大．
39．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程得出△＝m2﹣4n＝0，变形即可；
（2）①根据方程得到△＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得即可；
②在n的取值范围内取n＝3，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴△＝m2﹣4n＝0，
∴nm2；
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
∴△＝（﹣4）2﹣4n＞0，
解得n＜4；
②∵n＜4，
∴n可以是3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
【点评】此题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
40．已知关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．若x＝1是此方程的一根，求k的值及方程的另一根．
【分析】先把方程的根代入方程，可以求出字母系数k值，然后根据根与系数的关系由两根之积可以求出另一个根．
【解答】解：把x＝1代入方程有：
1+2（2﹣k）+3﹣6k＝0，
解得k＝1．
∴方程为x2+2x﹣3＝0，
设方程的另一个根是x2，则：
1?x2＝﹣3，
解得x2＝﹣3．
∴k＝1，方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解及根与系数的关系．解答此题的关键是熟知一元二次方程根的定义与及根与系数的关系．
