特殊平行四边形
一．选择题（共15小题）
1．下列说法正确的是 ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①②
B．②
C．②④
D．③④
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两直线平行，同位角相等
D．两边及一角对应相等的两个三角形全等
4．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AB在x轴上．若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（3，0）
B．（+1，0）
C．（﹣1，0）
D．（，0）
5．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（ ）
A．2或8
B．或18
C．或2
D．2或18
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．2
9．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（ ）
A．5
B．
C．
D．
10．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5
B．2
C．4.8
D．2.4
11．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2
B．4
C．4
D．8
12．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（ ）
A．16cm2
B．8cm2
C．16cm2
D．32cm2
13．已知，如图，在菱形ABCD中．
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）
A．∠ABC＝60°
B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM
D．S△ABM＝2S△ADM
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（ ）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共15小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，以AB为边作正方形ABDE，连接CE，则∠AEC＝
．
17．如图，将长方形OABC放置在平面直角坐标系中，点P是折线A﹣B﹣C上的动点（点P不与A、C重合），连接OP，将OP绕点P顺时针旋转90°，点O落到点Q处．已知点B坐标为（24，15），当OP＝25时，则点Q坐标为
．
18．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝
．
19．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是
．
20．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为
．
21．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是
．
22．如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝
．
23．如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为
．
24．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为
．
25．若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为
．
26．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为
．
27．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为
．
28．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为
．
29．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝
．
30．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为
．
三．解答题（共10小题）
31．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．
32．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．
33．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
34．如图，已知长方形ABCD的长AB＝x米，宽BC＝y米，x，y满足|x﹣7|+（y﹣4）2＝0，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着A→D→C→B运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿B→C→D→A运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
（1）x＝
，y＝
；
（2）当t＝4.5时，求△APQ的面积；
（3）当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值．
35．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
36．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
37．如图，四边形ABCD是平行四边形对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．
38．已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．
（1）如图1，求证：AB＝AF；
（2）如图2，连接AE，当BE＝DF时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于AB的线段．
39．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
40．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.
了解平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系.
矩形
概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
性质
矩形具有平行四边形的一切性质；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等；
矩形是轴对称图形，有两条对称轴且都是过对边中点的直线；
矩形是中心对称图形，其对角线的交点是对称中心.
判定
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形.
【注】①若易证一个四边形为平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可证得该四边形是矩形；
②对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），只有对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
菱形
概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为对角线所在的直线；
菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
判定
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4.菱形的面积
菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
正方形
概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
性质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，所以正方形具有它们的一切性质.
正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
正方形是轴对称图形，有四条对称轴，它们是两条对角线所在的直线以及过对边中点的直线；
正方形是中心对称图形，两条对角线的交点为对称中心.
判定
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形.
【注】①以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等.解题时可根据实际情况灵活选择；
②矩形判定条件＋菱形判定条件=正方形判定条件；
③证明正方形的一般步骤是：先证明四边形是矩形或菱形，再根据以上判定方法证明是正方形.
四边形与特殊平行四边形的关系
从属关系
从概念分析联系与区别
中点四边形：顺次连接各边中点所得的四边形（拓展）
原四边形
一般四边形
矩形
菱形
正方形
图示
中点四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
【注】
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
1特殊平行四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列说法正确的是 ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
【分析】分别根据矩形的判定以及正方形的判定判定各选项进而得出答案．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确，符合题意；
C、有一组邻边相等的菱形还是菱形，此选项错误，不符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形，此选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的判定，熟练根据①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2，进行判定是解题关键．
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①②
B．②
C．②④
D．③④
【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：①若AB＝BC，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
【点评】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两直线平行，同位角相等
D．两边及一角对应相等的两个三角形全等
【分析】根据菱形的判定，对顶角的性质，全等三角形的判定可得出答案．
【解答】解：A、对顶角相等，本选项说法正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法正确，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，本选项说法正确，不符合题意；
D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对顶角的性质，菱形的判定，全等三角形的判定，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．
4．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AB在x轴上．若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（3，0）
B．（+1，0）
C．（﹣1，0）
D．（，0）
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AB＝4，AD＝1，
∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝，
∴AM＝AC＝，
∵OA＝|﹣1|＝1，
∴OM＝AM﹣OA＝﹣1，
∴点M的坐标为（﹣1，0），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，能求出AM的长度是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，矩形的每个角都是直角．
5．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（ ）
A．2或8
B．或18
C．或2
D．2或18
【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．
综上所知，DE＝2或18．
故选：D．
【点评】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝BC×AE，
∴AE＝＝．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，
∴的值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
【分析】先由勾股定理求出AB＝5，再证四边形CEMF是矩形，得EF＝CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM＝2.4，即可得出答案．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．2
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝OE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
9．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【分析】依据矩形的性质，即可得到AC的长，再根据勾股定理即可得到BC的长，即可得出结论．
【解答】解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
又∵AB＝3，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝，
∴AD＝BC＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
10．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5
B．2
C．4.8
D．2.4
【分析】先由勾股定理求出AC＝10，再证四边形BNPM是矩形，得MN＝BP，然后由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，最后由三角形的面积求出BP即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AB＝AC?BP，
即×8×6＝×10?BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理等知识；判断出BP⊥AC时，线段MN的值最小是解题的关键．
11．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2
B．4
C．4
D．8
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD中，由含30°角的直角三角形的性质求出CD＝2OD＝2，由勾股定理求出OC，得出AC，由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，
在Rt△OCD中，
∵∠ACD＝30°，
∴CD＝2OD＝2，
∴OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝×2×2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，求出AC是解决问题的关键．
12．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（ ）
A．16cm2
B．8cm2
C．16cm2
D．32cm2
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCE＝60°，判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EG＝EF＝×4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，求出矩形的宽是解题的关键．
13．已知，如图，在菱形ABCD中．
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）
A．∠ABC＝60°
B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM
D．S△ABM＝2S△ADM
【分析】由作图知，AF是CD的垂直平分线，连接AC，证明△ACD为等边三角形，便可判断A；由勾股定理在Rt△ADM中，求出AM，再在Rt△ABM中求得BM，便可判断B；由BC＝CD＝2CM，便可判断C；由三角形的面积公式和AB与DM的关系，便可判断D．
【解答】解：A．连接AC，由作图知，AF是CD的垂直平分线，则AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ABC＝∠ADC，
∴AC＝AD＝CD，
∴∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝60°，
故A选项正确；
B．∵AB＝2，
∴AD＝2，
∵AM垂直平分CD，
∴DM＝CD＝1，∠AMD＝90°，
∴AM＝，
∵AB∥CD，
∴∠BAM＝∠AMD＝90°，
∴BM＝，
故B选项错误；
C．∵BC＝CD，CD＝2CM，
∴BC＝2CM，
故C选项正确；
D．∵，
AB?AM，
∴S△ABM＝2S△ADM，
故D选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定，尺规作图的应用，勾股定理，关键是判断AF是CD的垂直平分线．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（ ）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
【分析】先依据菱形的性质求得OA、OD的长，然后依据勾股定理可求得AD的长，最后依据三角形中位线定理求的EF的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3．
在Rt△AOD中，依据勾股定理可知：AD＝＝＝5．
∵点E，F分别为AO，DO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝AD＝2.5；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理，利用勾股定理求得AD的长是解题的关键．
15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；
②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，
故正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，
故正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝，
故错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，
故错误；
故选：B．
【点评】考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．
二．填空题（共15小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，以AB为边作正方形ABDE，连接CE，则∠AEC＝ 25°或65° ．
【分析】分两种情况讨论，由正方形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：如图1，当正方形ABDE在AB的右侧时，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴AC＝AE，∠CAE＝50°，
∴∠AEC＝65°；
如图2，当正方形ABDE在AB的左侧时，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴AC＝AE，∠CAE＝130°，
∴∠AEC＝25°，
综上所述：∠AEC＝25°或65°，
故答案为：25°或65°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17．如图，将长方形OABC放置在平面直角坐标系中，点P是折线A﹣B﹣C上的动点（点P不与A、C重合），连接OP，将OP绕点P顺时针旋转90°，点O落到点Q处．已知点B坐标为（24，15），当OP＝25时，则点Q坐标为 （5，35）或（17，31） ．
【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和全等三角形的性质可求解．
【解答】解：如图1，当点P在AB上，过点Q作QE⊥AB于E，
∵点B坐标为（24，15），
∴AB＝OC＝24，AO＝BC＝15，
∴AP＝＝＝20，
∵将OP绕点P顺时针旋转90°，
∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，
∴∠QPE+∠OPA＝90°＝∠APO+∠AOP，
∴∠QPE＝∠AOP，
在△EPQ和△AOP中，
，
∴△EPQ≌△AOP（AAS），
∴EP＝AO＝15，QE＝AP＝20，
∴AE＝AP﹣EP＝5，
∴点Q（5，35）；
当点P在BC上时，过点Q作QF⊥BC，交CB的延长线于F，
∴CP＝＝＝7，
∵将OP绕点P顺时针旋转90°，
∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，
∴∠QPF+∠OPC＝90°，∠OPC+∠POC＝90°，
∴∠POC＝∠QPF，
在△OPC和△PQF中，
，
∴△OPC≌△PQF（AAS），
∴QF＝CP＝7，PF＝OC＝24，
∴CF＝31，
∴点Q（17，31），
综上所述：点Q坐标为：（5，35）或（17，31），
故答案为：（5，35）或（17，31）．
【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
18．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝ 22.5° ．
【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB＝45°，又由AC＝EC，根据等边对等角，可得∠E＝∠CAE，继而利用三角形外角的性质，求得∠E的度数，根据平行线的性质，即可求得∠DAE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
【点评】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是 139 ．
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
【解答】解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，
由勾股定理得：AB＝＝13，
∴正方形的面积是13×13＝169，
∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，
∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，
故答案为：139．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
20．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为 8 ．
【分析】连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，根据矩形的性质和折叠的性质解答即可．
【解答】解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查矩形的性质和折叠的性质，关键是根据矩形的性质和折叠的性质解答．
21．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是 20cm ．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线长的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据周长公式计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，
∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm，
根据勾股定理，边长＝＝5（cm），
所以，这个菱形的周长是5×4＝20（cm），
故答案为：20cm．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
22．如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝ 150° ．
【分析】根据作图过程可得△ADP是等边三角形，根据正方形的性质和等边三角形的性质即可求出结果．
【解答】解：根据作图过程可知：
AD＝AP＝PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB＝AP，DP＝DC，
∴∠ABP＝∠APB＝∠DPC＝∠DCP＝75°，
∴∠BPC＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键在掌握正方形的性质．
23．如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为 4 ．
【分析】连接AC，交BD于O，依据菱形的性质即可得到AC⊥BD，依据勾股定理即可得到AE，CE，CF，AF的长，进而得出四边形AECF的周长．
【解答】解：如图，连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝＝，
在Rt△ABO中，AO＝＝＝1，
又∵BE＝，
∴EO＝﹣＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝，
同理可得，CE＝CF＝AF＝，
∴四边形AECF的周长4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是运用：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直．
24．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 10 ．
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝10，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为 10 ．
【分析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC＝4，BD＝3，即可求得其边长，继而求得答案．
【解答】解：如图，∵菱形ABCD中，AC＝4，BD＝3，
∴OA＝AC＝2，OB＝BD＝，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝，
∴它的周长为：×4＝10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据勾股定理求得其边长是解此题的关键．
26．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为 12 ．
【分析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△ACD的中位线，得EF∥AC，再证四边形CAEG是平行四边形，得AC＝EG，然后由勾股定理求出OA＝OC＝6，即可解决问题．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，
又∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，
∴OA＝OC＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴EG＝AC＝12；
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
27．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为 3 ．
【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝3，即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝×6＝3，
∴EF的最小值为3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
28．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 5 ．
【分析】过C点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△CDE≌△CBF，得CF＝1，BF＝2．根据勾股定理可求BC2得正方形的面积．
【解答】解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠CED＝∠BFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCE+∠BCF＝90°．
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF．
在△CDE和△BCF中，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2．
∵CF＝1，
∴BC2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．
29．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝ ．
【分析】先由菱形的性质得OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，再由勾股定理求出BC的长，然后由面积法可求OE的长．
【解答】解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OE，
∴OE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
30．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为 ．
【分析】利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积得到阴影部分的面积＝
【解答】解：阴影部分的面积＝
【点评】本题考查了整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
三．解答题（共10小题）
31．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．
【分析】（1）先证四边形AEFD是平行四边形，再证出∠AEF＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝OA＝2，AC＝2OE＝4，然后由勾股定理求出OB＝3，则BD＝2OB＝6，最后由菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，
∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，
即×6×4＝13×AE，
解得：AE＝12．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
32．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．
【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE是矩形；
（2）先由矩形AODE的面积为12，可得AO?OD＝12，再由勾股定理可得OA+OD＝7，进而可得四边形AODE的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵EA⊥AO，DE⊥DO，
∴∠EAO＝∠DOA＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，
∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，
∵四边形AODE的面积为12，
∴OA?OD＝12，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，
∴（OA+OD）2＝OA2+2OA?OD+OD2＝25+24＝49，
∴OA+OD＝7，
∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．
【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
33．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
【分析】（1）由平行四边形的性质知，AB＝CD，AB∥CD，得到∠ABE＝∠CDF，又有BE＝DF，故由SAS证得△ABE≌△CDF；
（2）平行四边形的性质知，AO＝CO，BO＝DO，由BE＝DF可求得OE＝OF，根据平行四边形的判定得到四边形AECF是平行四边形，由AC⊥EF可得平行四边形AECF是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定，证得四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．
34．如图，已知长方形ABCD的长AB＝x米，宽BC＝y米，x，y满足|x﹣7|+（y﹣4）2＝0，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着A→D→C→B运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿B→C→D→A运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
（1）x＝ 7 ，y＝ 4 ；
（2）当t＝4.5时，求△APQ的面积；
（3）当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值．
【分析】（1）由非负性可求解；
（2）由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况可求解．
【解答】解：（1）∵|x﹣7|+（y﹣4）2＝0，
∴x＝7，y＝4，
故答案为：7，4；
（2）当t＝4.5时，P走过的路程为4.5米，DP＝0.5米，Q走过的路程为9米，CQ＝5米，
此时，PQ＝7﹣0.5﹣5＝1.5（米），
∴；
（3）点P在DC上，4≤t≤11，
点Q在DC上，，
∴，
①当P左Q右时，DP＝t﹣4，CQ＝2t﹣4，
∴PQ＝CD﹣DP﹣CQ＝7﹣（t﹣4）﹣（2t﹣4）＝15﹣3t，
∴15﹣3t＝1，
解得；
②当Q左P右时，DP＝t﹣4，CQ＝2t﹣4，
∴PQ＝DP+CQ﹣CD＝（t﹣4）+（2t﹣4）﹣7＝3t﹣15，
∴3t﹣15＝1，
解得；
综上：当t的值为或时，PQ的距离是1．
【点评】本题考查了矩形的性质，非负性，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
35．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
36．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证明四边形ABCD为矩形是解决问题的关键．
37．如图，四边形ABCD是平行四边形对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB＝OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论；
（2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，由菱形的面积求出BE＝4，则BF＝2，由勾股定理得出OB＝＝，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形；
（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，
∵S四边形ABOE＝4，
S四边形ABOE＝OA?BE＝×2×BE＝BE，
∴BE＝4，
∴BF＝2，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
38．已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．
（1）如图1，求证：AB＝AF；
（2）如图2，连接AE，当BE＝DF时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于AB的线段．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADF≌△DEC，可得AF＝CD＝AB；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝EC＝DF＝EF，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE＝BC，
∴AD＝DE，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝AB；
（2）AD，BC，DE的长度等于AB，
理由如下：∵△ADF≌△DEC，
∴CE＝DF，
∴BE＝EF，
∵BE＝DF，
∴BE＝EC＝DF＝EF，
∴DE＝2EC，
∵DE2＝EC2+CD2，
∴DE＝AB，
∴AD＝BC＝DE＝AB．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
39．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝2，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝＝4，
∴OE＝OA＝4．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．
40．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，即可得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝8即可．
【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，
∴CE+CG＝8是定值．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
