特殊平行四边形单元测
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
2．（3分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24
B．24
C．12
D．12
3．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
4．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
5．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．65°
B．55°
C．45°
D．25°
6．（3分）对角线互相平分且相等的四边形是（ ）
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．非以上答案
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC＝15°，则∠COE＝（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．30°
8．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①②
B．②
C．②④
D．③④
9．（3分）如图，在长方形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，连接AC，记△ABC的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若a＝3b，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE；②BG⊥CE；③∠EAM＝∠ABC；④AM是△AEG的中线，其中结论正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，要使四边形ABCD为矩形，还需补充的条件可以是：
（写1个即可）．
12．（4分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是
．
13．（4分）已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm和6cm，那么这个平行四边形的面积为
cm2．
14．（4分）如图，点E为正方形ABCD外一点，ED＝CD，AE与BD相交于点F．若∠CDE＝52°，则∠DCF＝
°．
15．（4分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为
．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为
．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD＝EF．
18．（8分）如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．
19．（8分）如图，AC∥DB，且AC＝2DB，E是AC的中点．
（1）求证：四边形BDEC是平行四边形；
（2）连接AD、BE，直接写出△ABC添加一个什么条件使四边形DBEA是矩形？（不需说明理由）
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
21．（10分）图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到AB＝100cm，AE＝AH＝CF＝CG，且AE＜BE．于是他们抽象出如下两个数学问题：
问题（1）：若中间区域EFGH的边EF＝2EH，求AE的长度；
问题（2）：若中间区域EFGH的面积为4800cm2，求AE的长度．
22．（12分）在?ABCD中，AB＝7，AD＝5．E、F分别为边AB、CD上的点．
（1）如图1，若四边形DEBF是正方形，求AE的长；
（2）如图2，若四边形DEBF是菱形，且∠DAB＝60°，求AE的长．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求DP的长．特殊平行四边形单元测
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【分析】利用菱形、矩形和正方形的性质进行判断．
【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
2．（3分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24
B．24
C．12
D．12
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，得出∠BAC+∠BCA＝90°，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，求出∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，由直角三角形的性质得出AE＝CE＝2BE＝4，得出BC＝BE+CE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证出∠BAE＝30°是解题的关键．
3．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【分析】由已知条件可得PQBE为矩形，这样PE＝BQ．利用正方形的对角线的性质可得∠CAB＝45°，得到△APQ为等腰三角形，可得PQ＝AQ，于是PQ+PE＝AQ+BQ＝AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴∠PQB＝∠PEB＝90°．
∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．
∴四边形PQBE为矩形．
∴PE＝BQ．
∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△PAQ为等腰三角形．
∴PQ＝AQ．
∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的特殊性质的应用．将要求的两条线段的和作为整体去求解是解题的关键．
4．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠HDO＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠GDO+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠HDO＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝25°，
∴∠DHO＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．65°
B．55°
C．45°
D．25°
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠ADC＝130°，
∴∠ADB＝×130°＝65°，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（3分）对角线互相平分且相等的四边形是（ ）
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．非以上答案
【分析】根据四边形的判定定理即可判断
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
故选：B．
【点评】此题考查四边形的判定定理，掌握判定定理是关键．属于基础题．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC＝15°，则∠COE＝（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．30°
【分析】先判定△AOB是等边三角形，△ABE是等腰直角三角形，即可得到BO＝AB＝BE；依据△BOE是等腰三角形，即可得到∠BOE的度数，进而计算得出∠COE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABE＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝45°+15°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，
又∵∠BAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝＝75°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．
8．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①②
B．②
C．②④
D．③④
【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：①若AB＝BC，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
【点评】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
9．（3分）如图，在长方形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，连接AC，记△ABC的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若a＝3b，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的面积公式和矩形的面积公式分别求得S1，S2．代入求得比值即可．
【解答】解：∵a＝3b，
∴＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平方差公式和三角形的面积公式，难度不大，掌握图中提供的关键性信息即可解题．
10．（3分）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE；②BG⊥CE；③∠EAM＝∠ABC；④AM是△AEG的中线，其中结论正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定③正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线，可判定④正确．
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，故②正确；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，故③正确，
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中线，故④正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，要使四边形ABCD为矩形，还需补充的条件可以是： ∠ABC＝90°（答案不唯一） （写1个即可）．
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC＝90°，即可得出结论．
【解答】解：还需补充的条件可以是：∠ABC＝90°，理由如下：
∵AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
12．（4分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是 24cm2 ．
【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x，6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的周长是20cm，
∴边长为20÷4＝5cm，
∵两条对角线的比是4：3，
∴设菱形的两对角线分别为8x，6x，
则对角线的一半分别为4x，3x，
根据勾股定理得，（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
所以，两对角线分别为8cm，6cm，
所以，这个菱形的面积＝×8×6＝24cm2．
故答案为：24cm2．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13．（4分）已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm和6cm，那么这个平行四边形的面积为 36 cm2．
【分析】直接利用菱形的判定方法结合菱形的面积求法得出答案．
【解答】解：∵平行四边形的两条对角线互相垂直，
∴此平行四边形是菱形，
∴该菱形的面积为：×12×6＝36（cm2）．
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及菱形的判定，正确掌握菱形的面积求法是解题关键．
14．（4分）如图，点E为正方形ABCD外一点，ED＝CD，AE与BD相交于点F．若∠CDE＝52°，则∠DCF＝ 19 °．
【分析】根据正方形性质和已知得：AD＝DE，利用等腰三角形性质计算∠DAE＝19°，由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得∠DAE＝∠DCF＝19°．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵DC＝DE，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADE＝90°+52°＝142°，
∴∠DAE＝19°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF＝19°，
故答案为：19．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，属于基础题，熟练掌握正方形的性质是关键．
15．（4分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为 ．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，先根据三角形的中位线定理得HN＝1，从而得HM的长，根据矩形得GM＝PN＝1，最后由勾股定理计算可得结论．
【解答】解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝1，
∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握矩形的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为 12﹣6 ．
【分析】根据题意可得MN＝CD，证△ADF是等腰直角三角形，得出AF＝DF，证FM＝AD＝3，FN为△BCH的中位线，进而得出答案．
【解答】解：根据题意可知：
MN＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，DC⊥AD，CD＝AB＝6，
∴MF⊥AD，MN＝6，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AB＝6，
∴AD＝AB＝6，
∵DF⊥AF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∴点M是AD的中点，
∴FM＝AD＝3，FN为△BCH的中位线，
∴FN＝MN﹣FM＝6﹣3，FN＝CH，
∴CH＝2FN＝12﹣6．
故答案为：12﹣6．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD＝EF．
【分析】根据矩形的性质即可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵EF＝BF+BE，
∵BC＝CE+BE，BF＝CE，
∴EF＝BC，
∴AD＝EF．
【点评】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
18．（8分）如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．
【分析】由四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，根据正方形的性质可得：CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，进而可得∠BCF＝∠DCG，利用SAS即可证得△CBF≌△CDG，根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠CBF＝∠CDG．
【解答】证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，
∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
在△BCF和△DCG中，
，
∴△BCF≌△DCG（SAS），
∴∠CBF＝∠CDG．
【点评】此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．此题属于基础题，注意数形结合思想的应用．
19．（8分）如图，AC∥DB，且AC＝2DB，E是AC的中点．
（1）求证：四边形BDEC是平行四边形；
（2）连接AD、BE，直接写出△ABC添加一个什么条件使四边形DBEA是矩形？（不需说明理由）
【分析】（1）证出DB＝EC，即可得出结论；
（2）先证四边形DBEA是平行四边形，再证AB＝DE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵E是AC中点，
∴AC＝2EC．
∵AC＝2DB，
∴DB＝EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
（2）解：添加AB＝BC，理由如下：
连接AD、BE，如图，
∵DB∥AE，DB＝AE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC＝DE，AB＝BC，
∴AB＝DE．
∴四边形DBEA是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）要证明∠BAC＝∠DAC，只需利用SSS证明△ABC≌△ADC即可，要证明∠AFD＝∠CFE先证明△ABF≌△ADF得到∠AFD＝∠AFB，再结合∠AFB＝∠AFD即可得到结论．
（2）要证明四边形ABCD是菱形需要证明四条边相等，证明出∠CAD＝∠ACD，即可得到AD＝CD，结合题干条件即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与全等三角形的判定与性质的知识，解答（1）问的关键是利用全等三角形的性质求出∠AFD＝∠AFB，解答（2）问的关键是掌握四边相等的四边形是菱形，此题难度一般．
21．（10分）图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到AB＝100cm，AE＝AH＝CF＝CG，且AE＜BE．于是他们抽象出如下两个数学问题：
问题（1）：若中间区域EFGH的边EF＝2EH，求AE的长度；
问题（2）：若中间区域EFGH的面积为4800cm2，求AE的长度．
请你帮助他们解决上面的两个问题．
【分析】问题1：由正方形的性质可求BE＝＝DH＝DG＝BF＝（100﹣AE）cm，即可求解；
问题2：由面积和差关系列出方程可求解．
【解答】解：问题1：∵AB＝100cm，AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝DH＝DG＝BF＝（100﹣AE）（cm），EH＝AE（cm），
∴EF＝BE（cm），
∵EF＝2EH，
∴BE＝2AE，
∴100﹣AE＝2AE，
∴AE＝（cm）；
问题2：∵AB＝100cm，AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝DH＝DG＝BF＝（100﹣AE）（cm），EH＝AE（cm），
∴EF＝BE（cm），
∵EFGH的面积为4800cm2，
∴1002﹣AE2﹣BE2＝4800，
∴AE?（100﹣AE）＝4800，
又∵AE＜BE
∴AE＝40（cm）．
【点评】本题考查了正方形的性质，一元二次方程的解法，掌握正方形的性质是本题的关键．
22．（12分）在?ABCD中，AB＝7，AD＝5．E、F分别为边AB、CD上的点．
（1）如图1，若四边形DEBF是正方形，求AE的长；
（2）如图2，若四边形DEBF是菱形，且∠DAB＝60°，求AE的长．
【分析】（1）设AE＝x，则BE＝DE＝7﹣x，再根据勾股定理列出方程，解方程可得答案；
（2）设AE＝x，则BE＝DE＝7﹣x，过点D作DM⊥AB于M，再根据∠DAB＝60°得出AM、DM的长，再根据勾股定理列出方程可得AE的长．
【解答】解：（1）设AE＝x，
∵四边形DEBF是正方形，
∴DE＝BE＝7﹣x，
在Rt△DAE中，AD2+AE2＝DE2，
即x2+（7﹣x）2＝52，
解得x＝3或4，
答：AE的长为3或4．
（2）过点D作DM⊥AB于M，如图：
设AE＝x，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE＝BE＝7﹣x，
∵∠DAB＝60°，AD＝5，
∴AM＝，DM，ME＝x﹣．
在Rt△DME中，DM2+ME2＝DE2，
∴，
解得：x＝．
答：AE的长是．
【点评】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用，并能根据勾股定理列方程．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求DP的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，得到AB＝AF＝8，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝2，DH＝10，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】（1）证明：由作图知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，
∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝4，
∴PH＝2，DH＝8，
∴DP＝＝＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
