平行四边形单元测
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(3分)一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.108°
B.90°
C.72°
D.60°
【分析】首先设此多边形为n边形,根据题意得:180(n﹣2)=540,即可求得n=5,再由多边形的外角和等于360°,即可求得答案.
【解答】解:设此多边形为n边形,
根据题意得:180(n﹣2)=540,
解得:n=5,
∴这个正多边形的每一个外角等于:=72°.
故选:C.
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理:(n﹣2)?180°,外角和等于360°.
2.(3分)下列图形中,属于中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A.此图形不是中心对称图形,不符合题意;
B.此图形是中心对称图形,符合题意;
C.此图形不是中心对称图形,不符合题意;
D.此图形不是中心对称图形,不符合题意;
故选:B.
【点评】此题主要考查了中心对称图形,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
3.(3分)如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是( )
A.22
B.16
C.18
D.20
【分析】由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分,可得OA的长,然后由AB⊥AC,AB=8,OA=6,根据勾股定理可求得OB的长,继而求得答案.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,
∴OA=AC=6,BD=2OB,
∵AB⊥AC,AB=8,
∴OB==10,
∴BD=2OB=20.
故选:D.
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用.熟记握平行四边形的对角线互相平分这一性质是解题的关键.
4.(3分)如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若AB=10,BC=8,则EF的长是( )
A.
B.1
C.
D.1.5
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB,DE=AB=5,根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF,计算即可.
【解答】解:∵D、E分别是BC、AC的中点,
∴DE∥AB,DE=AB=5,BD=BC=4,
∴∠ABF=∠BFD,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠DBF,
∴∠DBF=∠BFD,
∴DF=DB=4,
∴EF=DE﹣DF=1,
故选:B.
【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理,掌握平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键.
5.(3分)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于( )
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形,根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD=120°,然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数.
【解答】解:如图,
∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,
∴六边形花环为正六边形,
∴∠ABD==120°,
而∠CBD=∠BAC=90°,
∴∠ABC=120°﹣90°=30°.
故选:A.
【点评】本题考查了多边形内角与外角:多边形内角和定理:(n﹣2)?180°
(n≥3且n为整数);多边形的外角和等于360°.
6.(3分)如图,在△ABC中,点D、E、F分别是各边的中点,若△ABC的面积为16cm2,则△DEF的面积是( )cm2.
A.2
B.4
C.6
D.8
【分析】根据三角形中位线定理证得DF∥BE,DF=BE,推出四边形BEFD是平行四边形,进而证得△BDE≌△FED,同理证得△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED,即可求出△DEF的面积.
【解答】解:∵点D、F分别是AB,AC的中点,
∴DF∥BC,DF=BC,
∴DF∥BE,
∵E是BC的中点,
∴BE=BC,
∴DF=BE,
∴四边形BEFD是平行四边形,
∴BD=EF,
在△BDE和△FED中,
,
∴△BDE≌△FED(SSS),
同理可证△DAF≌△FED,△EFC≌△FED,
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED,
∴S△DEF=S△ABC=×16=4(cm2),
故选:B.
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理,平行四边形的性质和判定,三角形的面积等知识,熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.
7.(3分)下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是( )
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、B、C既是轴对称图形,也是中心对称图形;
D、不是轴对称图形,只是中心对称图形.
故选:D.
【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念,以及对轴对称图形和中心对称图形的认识.
8.(3分)如图,下列四组条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD,AD=BC
B.AB∥CD,AB=CD
C.AB=CD,AD∥BC
D.AB∥CD,AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.
【解答】解:A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题;
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意;
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
故选:C.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,解题的关键是掌握平行四边形的判定定理.
9.(3分)如图,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EP于D,BE=3,DF=1,则BC的长为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【分析】根据角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD,根据三角形中位线定理得到EF∥BC,BC=2EF,根据等腰三角形的判定定理求出ED,进而求出EF,得到答案.
【解答】解:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC,BC=2EF,
∴∠EDB=∠CBD,
∴∠ABD=∠EDB,
∴ED=EB=3,
∴EF=ED+DF=4,
∴BC=2EF=8,
故选:D.
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键.
10.(3分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线相交于点O,AC=AB,E是AB边的中点,G、F为BC上的点,连接OG和EF,若AB=13,BC=10,GF=5,则图中阴影部分的面积为( )
A.48
B.36
C.30
D.24
【分析】连接EO,EG,OF,依据EO是△ABC的中位线,即可得出EO∥BC,EO=BC=5,进而得到四边形EOFG是平行四边形,据此可得S阴影部分=S△AOE+S△EOP+S△FGP=S△AOE+S△EOB=S△ABO,求得△ABO的面积即可得出结论.
【解答】解:如图所示,连接EO,EG,OF,
∵平行四边形ABCD中,对角线相交于点O,
∴O是AC的中点,
又∵E是AB边的中点,
∴EO是△ABC的中位线,
∴EO∥BC,EO=BC=5,
又∵GF=5,
∴EO=GF,
∴四边形EOFG是平行四边形,
∴S△EOP+S△FGP=S四边形EOFG=S△EOG,
又∵EO∥BG,
∴S△EOG=S△EOB,
∴S△EOP+S△FGP=S△EOB,
∴S阴影部分=S△AOE+S△EOP+S△FGP=S△AOE+S△EOB=S△ABO,
∵AC=AB=13,BC=10,
∴等腰△ABC中BC边上的高为=12,
∴S△ABC==60,
∵O是AC的中点,
∴S△ABO=S△ABC=60=30,
∴阴影部分的面积为30,
故选:C.
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用,解题时注意:平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分.
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.(4分)若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是 35 .
【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式,即可得出关于n的一元一次方程,解方程即可求出n的值,将其代入中即可得出结论.
【解答】解:∵一个正n边形的每个内角为144°,
∴144n=180×(n﹣2),
解得:n=10,
这个正n边形的对角线的条数是:==35(条).
故答案为:35.
【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线,解题的关键是求出正n边形的边数,难度不大,解决该题型题目时,根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键.
12.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、DC上的点,请添加一个条件,使得四边形EBFD为平行四边形,则添加的条件是 FC=AE (答案不唯一,添加一个即可).
【分析】根据平行四边形的性质可得DC=AB,DC∥AB,添加FC=AE,即可得DF=BE,进而可得结论.
【解答】解:∵四边形ABCD平行四边形,
∴DC=AB,DC∥AB,
∵FC=AE,
∴DF=BE,
∵DF∥BE,
∴四边形EBFD为平行四边形.
故答案为:FC=AE.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质.
13.(4分)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,高AH交DE于点F,若AH=2,则AF的长为 1 .
【分析】根据三角形中位线得出AF=AH,解答即可.
【解答】解:∵在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∵高AH交DE于点F,AH=2,
∴AF=AH=1,
故答案为:1.
【点评】此题考查三角形中位线定理,关键是根据三角形中位线得出AF=AH解答.
14.(4分)图中是两个全等的正五边形,则∠α= 108° .
【分析】先求出正五边形各个内角的度数,再求出∠BCD和∠BDC的度数,求出∠CBD,即可求出答案.
【解答】解:
∵图中是两个全等的正五边形,
∴BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC,
∵图中是两个全等的正五边形,
∴正五边形每个内角的度数是=108°,
∴∠BCD=∠BDC=180°﹣108°=72°,
∴∠CBD=180°﹣72°﹣72°=36°,
∴∠α=360°﹣36°﹣108°﹣108°=108°,
故答案为:108°.
【点评】本题考查了正多边形和多边形的内角和外角,能求出各个角的度数是解此题的关键.
15.(4分)如图所示,?DEFG顶点分别在△ABC的三边上,若BE=BD,CF=FG,∠GDE=64°,则∠A的度数为 96° .
【分析】由题中条件可得∠BED=∠BDE,∠C=∠CGF,进而再利用外角的性质及平行四边形对角相等,即可得出结论.
【解答】解:∵BE=BD,CF=FG,
∴∠BED=∠BDE,∠C=∠CGF,
∵四边形DEFG是平行四边形,
∴∠EFG=∠GDE=64°,DE∥FG,
∵∠EFG=∠C+∠CGF=2∠C,
∴∠C=32°,
∵DE∥FG,
∴∠BED=∠EFG=64°,
∴∠BDE=64°,
∴∠B=180°﹣64°﹣64°=52°,
∴∠A=180°﹣32°﹣52°=96°.
故答案为:96°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质以及三角形的内角和定理,应熟练掌握.
16.(4分)如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,∠B=60°,E是BC的中点,EF⊥AB于点F,则△DEF的面积为 2 平方单位.
【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD,再利用两直线平行,内错角相等可得∠B=∠ECG,根据线段中点的定义可得BE=CE,然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=CG,再解直角三角形求出EF、BF,求出DG,然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解.
【解答】解:如图,延长DC和FE交于点G,
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,
∴∠B=∠ECG,
∵E为BC的中点,
∴BE=CE=BC=×4=2,
在△BEF和△CEG中,
,
∴△BEF≌△CEG(ASA),
∴BF=CG,
∵∠B=60°,
∴∠FEB=30°,
∴BF=BE=1,
∴EF=,
∵CG=BF=1,CD=AB=3,
∴DG=CD+CG=3+1=4,
∵EF⊥AB,AB∥CD,
∴DG⊥FG,
∴S△DEF=EF?DG=××4=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,平行线的性质,三角形的面积,熟记各性质是解题的关键.
三.解答题(共7小题,满分66分)
17.(6分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O点,过O作直线EF分别交AB、CD于E、F两点,求证:BE=DF.
【分析】根据平行四边形的性质可得DO=BO,AB∥CD,证明△DOF≌△BOE即可得结论.
【解答】证明:在平行四边形ABCD中,DO=BO,AB∥CD,
∴∠OBE=∠ODF,
在△DOF与△BOE中,
,
∴△DOF≌△BOE(ASA),
∴BE=DF.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定,解决本题的关键是掌握平行四边形的性质.
18.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,点E、F分别为OA、OC的中点,连接BE、DF、DE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若BD=2AB,且AB=10,CF=6,直接写出DE的长为 4 .
【分析】(1)依据平行四边形的性质,即可得到:△ABE≌△CDF;
(2)依据平行四边形的性质及BD=2AB,即可得出等腰三角形ABO和等腰三角形CDO,再根据等腰三角形的性质,即可得到∠BEF,∠DFE是直角,进而得到Rt△DEF和Rt△BEO,即可得出DE的长.
【解答】解:(1)∵平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,
∴AO=CO,
又∵点E,F分别为OA、OC的中点,
∴AE=CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)∵△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,AE=CF,
∵BD=2AB,平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,
∴AB=OB=OD=CD,
∵AB=10,CF=6,
∴AB=OB=OD=CD=10,AE=6,
∵AB=OB,点E、F分别为OA、OC的中点,
∴BE⊥AO,DF⊥CO,AE=CF=EO=OF=6,
∴DF=BE=8,EF=12,
在Rt△DEF中,
DE===4.
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质勾股定理,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
19.(8分)如图,平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F.
(1)求证:△ABE≌△DFE;
(2)连接CE,若BE平分∠ABC,且当BF=8cm,BC=5cm时,求EC的长.
【分析】(1)由线段的中点得到线段相等的条件,再由平行线的性质得到角相等的条件,即可证得△ABE≌△DFE;
(2)由平行线的性质及角平分线定义,导出∠CBF=∠F,得到BC=FC,由(1)得BE=FE,再由等腰三角形的性质得到∠CEB=90°,由勾股定理求出EC的长.
【解答】(1)证明:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠F,∠A=∠EDF,
又∵AE=DE,
∴△ABE≌△DFE.
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∵∠ABE=∠F,
∴∠CBE=∠F,
∴CB=CF,
∵△ABE≌△DFE,
∴BE=FE=BF=×8=4,
∴CE⊥BF,
∴∠BEC=90°,
∴EC==3(cm).
∴EC的长为3cm.
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定以及勾股定理的应用,难度不大,但仍为好题.
20.(10分)如图,?ABCD中,对角线AC、BD交于O,E、F分别是OA、OC的中点,连BE、DF.求证:BE∥DF.
【分析】根据平行四边形的性质可得DO=BO,AO=CO,由E、F分别是OA、OC的中点,可得OE=OF,证明△BOE≌△DOF,可得∠BEO=∠DFO,进而可得结论.
【解答】证明:在?ABCD中,DO=BO,AO=CO,
∵E、F分别是OA、OC的中点,
∴OE=OF,
在△BOE和△DOF中,
,
∴△BOE≌△DOF(SAS),
∴∠BEO=∠DFO,
∴BE∥DF.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定,解决本题的关键是掌握平行四边形的性质.
21.(10分)如图,已知平行四边形ABCD,AB<AD,点E在AD上,直线CE交BA的延长线于点F,且∠EFA=∠FEA.
(1)用尺规确定点E,F的位置;
(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=6,求△AEF的面积.
【分析】(1)根据平行四边形的性质,以点B为圆心,BC长为半径画弧交BA延长线于点F,连接CF交AD于点E即可;
(2)结合(1)BF=BC=6,AF=AE=BC﹣AB=2,根据∠ABC=90°,即可求出△AEF的面积.
【解答】解:(1)点E,F的位置如图;
(2)在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEF=∠BCE,
∵∠EFA=∠FEA.
∴∠EFA=∠BCE.
∴BF=BC=6,
∵AB=4,BC=6,
∴AF=AE=BE﹣AB=BC﹣AB=2,
若∠ABC=90°,
∴∠FAE=90°,
∴△AEF的面积=AE?AF=2×2=2.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,作图﹣复杂作图,解决本题的关键是掌握平行四边形的性质.
22.(12分)(1)如图1我们称之为“8”字形,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系;
(2)如图2,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 540 度;
(3)如图3所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,猜想∠B,∠P,∠D之间的数量关系,并证明.
【分析】(1)根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B;
(2)∠6,∠7的和与∠8,∠9的和相等.由多边形的内角和得出答案即可;
(3)先根据“8字形”中的角的规律,可得∠1+∠D=∠P+∠3①,∠4+∠B=∠2+∠P②,由已知条件∠1=∠2,∠3=∠4,将①+②,可得2∠P=∠D+∠B.
【解答】解:(1)如图1,∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠DOC,
∴∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)∵∠6,∠7的和与∠8,∠9的和相等,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=540°,
故答案为:540.
(3)如图3,由图知,∠1+∠D=∠P+∠3
①,∠4+∠B=∠2+∠P②,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
①+②得:
∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P,
即2∠P=∠D+∠B.
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力.(1)中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律;(2)(3)直接运用“8字形”中的角的规律解题.
23.(12分)在四边形ABCD中,O在其内部,满足∠ABO=∠ABC,∠DCO=∠DCB.
(1)如图1,当n=2时,如果∠A+∠D=260°,直接写出∠O的度数 130° ;
(2)当n=3时,M、N分别在AB、DC的延长线上,BC下方一点P,满足∠CBP=2∠PBM,∠BCP=2∠PCN,
①如图2,判断∠O与∠P之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图3,延长线段BO、PC交于点Q,△BQP中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,直接写出∠A+∠D的度数为 225°或180° .
【分析】(1)首先根据四边形的内角和及角平分线的定义,求出∠OBC+∠OCD,进而根据三角形的内角和定理即可求解;
(2)①首先由已知求出∠OBC=∠ABC,∠PBC=∠MBC,根据平角的定义得出∠PBO=∠PBC+∠OBC=×180°=120°,同理∠PCO=120°,根据四边形的内角和定理即可求解;
②在△BQP中,由①得∠PBQ=120°,根据题意分四种情况进行讨论:(a)∠PBQ=2∠Q,(b)∠PBQ=2∠P,(c)∠P=2∠Q,(d)∠Q=2∠P,分别求解即可.
【解答】解:(1)∵∠ABO=∠ABC,∠DCO=∠DCB,
∴当n=2时,∠ABO=∠ABC,∠DCO=∠DCB,
∴∠ABC=2∠CBO,∠DCB=2∠OCB,
∵∠A+∠D=260°,∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°,
∴∠ABC+∠DCB=100°,
∴∠CBO+∠OCB=50°,
∴∠O=180°﹣(∠CBO+∠OCB)=130°;
故答案为:130°;
(2)①∠O+∠P=120°.
证明:∵∠ABO=∠ABC,∠DCO=∠DCB,
∴当n=3时,∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB,
∵∠CBP=2∠PBM,∠BCP=2∠PCN,
∴∠CBP=∠CBM,∠BCP=∠BCN,
∴∠PBO=∠PBC+∠OBC=(∠CBM+∠ABC)=×180°=120°,
同理∠PCO=120°,
∵∠O+∠P+∠PBO+∠PCO=360°,
∴∠O+∠P=360°﹣120°﹣120°=120°.
②由①得:∠PBQ=120°,∠PCO=120°,
如果△BQP中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况:
(a)∠PBQ=2∠Q,
∵∠PBQ=120°,
∴∠Q=60°,则∠P=30°,
∴∠PBC+∠BCP=180°﹣30°=150°,
∴∠CBO+∠OCB=2×120°﹣150°=90°,
∵∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB,
∴∠ABC+∠DCB=135°,
∴∠A+∠D=360°﹣135°=225°;
(b)∠PBQ=2∠P,
∵∠PBQ=120°,
∴∠P=60°,则∠Q=30°,
∴∠PBC+∠BCP=180°﹣60°=120°,
∴∠CBO+∠OCB=2×120°﹣120°=120°,
∵∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠A+∠D=360°﹣180°=180°;
(c)∠P=2∠Q时,同(b);
(d)∠Q=2∠P,同(a).
综上所述,∠A+∠D的度数为:225°或180°.
故答案为:225°或180°.
【点评】本题考查四边形的内角和及角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟知四边形的内角和是360°是解题的关键.平行四边形单元测
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(3分)一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.108°
B.90°
C.72°
D.60°
2.(3分)下列图形中,属于中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
3.(3分)如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是( )
A.22
B.16
C.18
D.20
4.(3分)如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若AB=10,BC=8,则EF的长是( )
A.
B.1
C.
D.1.5
5.(3分)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于( )
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
6.(3分)如图,在△ABC中,点D、E、F分别是各边的中点,若△ABC的面积为16cm2,则△DEF的面积是( )cm2.
A.2
B.4
C.6
D.8
7.(3分)下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是( )
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
8.(3分)如图,下列四组条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD,AD=BC
B.AB∥CD,AB=CD
C.AB=CD,AD∥BC
D.AB∥CD,AD∥BC
9.(3分)如图,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EP于D,BE=3,DF=1,则BC的长为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
10.(3分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线相交于点O,AC=AB,E是AB边的中点,G、F为BC上的点,连接OG和EF,若AB=13,BC=10,GF=5,则图中阴影部分的面积为( )
A.48
B.36
C.30
D.24
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.(4分)若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是
.
12.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、DC上的点,请添加一个条件,使得四边形EBFD为平行四边形,则添加的条件是
(答案不唯一,添加一个即可).
13.(4分)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,高AH交DE于点F,若AH=2,则AF的长为
.
14.(4分)图中是两个全等的正五边形,则∠α=
.
15.(4分)如图所示,?DEFG顶点分别在△ABC的三边上,若BE=BD,CF=FG,∠GDE=64°,则∠A的度数为
.
16.(4分)如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,∠B=60°,E是BC的中点,EF⊥AB于点F,则△DEF的面积为
平方单位.
三.解答题(共7小题,满分66分)
17.(6分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O点,过O作直线EF分别交AB、CD于E、F两点,求证:BE=DF.
18.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,点E、F分别为OA、OC的中点,连接BE、DF、DE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若BD=2AB,且AB=10,CF=6,直接写出DE的长为
.
19.(8分)如图,平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F.
(1)求证:△ABE≌△DFE;
(2)连接CE,若BE平分∠ABC,且当BF=8cm,BC=5cm时,求EC的长.
20.(10分)如图,?ABCD中,对角线AC、BD交于O,E、F分别是OA、OC的中点,连BE、DF.求证:BE∥DF.
21.(10分)如图,已知平行四边形ABCD,AB<AD,点E在AD上,直线CE交BA的延长线于点F,且∠EFA=∠FEA.
(1)用尺规确定点E,F的位置;
(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=6,求△AEF的面积.
22.(12分)(1)如图1我们称之为“8”字形,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系;
(2)如图2,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=
度;
(3)如图3所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,猜想∠B,∠P,∠D之间的数量关系,并证明.
23.(12分)在四边形ABCD中,O在其内部,满足∠ABO=∠ABC,∠DCO=∠DCB.
(1)如图1,当n=2时,如果∠A+∠D=260°,直接写出∠O的度数
;
(2)当n=3时,M、N分别在AB、DC的延长线上,BC下方一点P,满足∠CBP=2∠PBM,∠BCP=2∠PCN,
①如图2,判断∠O与∠P之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图3,延长线段BO、PC交于点Q,△BQP中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,直接写出∠A+∠D的度数为
.