2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）-2020-2021学年浙教版八年级数学下册专题复习提升训练（机构）（Word版含解析）

2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）
-20-21八年级数学下册专题复习提升训练卷（浙教版）
一、选择题
1、若是一元二次方程=0的两个实数根，则的值为（
）
A．－5
B．5
C．－2
D．
2、关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则(　　)
A．p＞0且q＞0
B．p＞0且q＜0
C．p＜0且q＞0
D．p＜0且q＜0
3、已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2=1
B．x1?x2=﹣1
C．|x1|＜|x2|
D．x12+x1=
4、若、是一元二次方程=0的两个根，则的值为（
）．
A．3
B．2
C．0
D．－1
5、已知、是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A．﹣1
B．2
C．22
D．30
6、已知关于的方程的两根分别是，，且，则k的值是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
7、关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　　）
A．2
B．0
C．1
D．2或0
8、一元二次方程与的所有实数根的和等于（
）
A．2
B．-4
C．4
D．3
9、已知实数x1，x2满足x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣11x+30=0
B．x2+11x+30=0
C．x2+11x﹣30=0
D．x2﹣11x﹣30=0
10、关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k值是（　　）
A．﹣1
B．±2
C．2
D．﹣2
二、填空题
11、若x1、x2是一元二次方程x2―2x―1＝0的两个根，则x1＋x2的值等于__________．
12、若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为___________
A．5
B．7
C．9
D．10
13、已知方程x2+ax-6=0的一个根是3，则另一个根为
．
14、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程x2+bx+c=0，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是
．
15、有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k
=_________。
16、关于的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且，
则(x1－x2)2的值是___________．
17、已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
18、若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝_______.
19、设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为　
　．
20、已知α、β为方程x2+4x+2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝　
　．
三、解答题
21、关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．
（1）已知k＝2，求x1+x2+x1x2．
（2）若x1＝3x2，试求k值．
22、关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
23、关于的一元二次方程＝0的两个实数根分别是，，且＝7，
求下列代数式的值：(1).
(2).
24、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
25、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2，x1x2可得利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝　　，mn＝　　；
（2）若m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，则p＝　　，q＝　　；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
26、在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么（说明：定理成立的条件）。比如方程中，，所以该方程有两个不等的实数根，记方程的两根为，，那么+=，=,请根据阅读材料解答下列各题：
（1）已知方程的两根为、，且
>,求下列各式的值:
①
②
（2）已知是一元二次方程的两个实数根．
①是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
②求使的值为整数的实数的整数值．
2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）
-20-21八年级数学下册专题复习提升训练卷（浙教版）（解析）
一、选择题
1、若是一元二次方程=0的两个实数根，则的值为（
）
A．－5
B．5
C．－2
D．
解：由题意得，，答案B
2、关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则(　　)
A．p＞0且q＞0
B．p＞0且q＜0
C．p＜0且q＞0
D．p＜0且q＜0
解：设x1，x2是该方程的两个负数根，
则有x1+x2＜0，x1x2＞0，
∵x1+x2=-p，x1x2=q
∴-p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0．故选A．
3、已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2=1
B．x1?x2=﹣1
C．|x1|＜|x2|
D．x12+x1=
解:根据题意得x1+x2=﹣=﹣1，x1x2=﹣，故A、B选项错误；
∵x1+x2＜0，x1x2＜0，
∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，故C选项错误；
∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，
∴2x12+2x1﹣1=0，
∴x12+x1=，故D选项正确，故选D．
4、若、是一元二次方程=0的两个根，则的值为（
）．
A．3
B．2
C．0
D．－1
解:∵若、是一元二次方程=0的两个根
∴+=2，，
∴=2+1-+=++1=3
故选A．
5、已知、是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A．﹣1
B．2
C．22
D．30
解:∵α方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,
∴原式=8α+8+8+6=8（α+β）+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,
∴α+=2,
∴原式=8×2+14=30,
故选D.
6、已知关于的方程的两根分别是，，且，则k的值是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
解:易知+=6，=k，
，
即．解得k=2．故选B．
7、关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　　）
A．2
B．0
C．1
D．2或0
解:设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=0，
所以a2-2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=-4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．故选B．
8、一元二次方程与的所有实数根的和等于（
）
A．2
B．-4
C．4
D．3
解：方程中△=（﹣3）2﹣4×（﹣1）=13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程中△=（﹣1）2﹣4×3=﹣11＜0，所以该方程无解．
∴方程与一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．
故选D．
9、已知实数x1，x2满足x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣11x+30=0
B．x2+11x+30=0
C．x2+11x﹣30=0
D．x2﹣11x﹣30=0
解:∵实数x1，x2满足x1＋x2=11，x1x2=30，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为：x2-11x+30=0.
故选A.
10、关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k值是（　　）
A．﹣1
B．±2
C．2
D．﹣2
解:设方程的两根分别为x1，x2，
∵x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，
∴x1+x2，=-（k2-4）=0，解得k=±2，
当k=2，方程变为：x2+1=0，△=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-3=0，△=12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选D．
二、填空题
11、若x1、x2是一元二次方程x2―2x―1＝0的两个根，则x1＋x2的值等于__________．
解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2==2，即x1+x2=-2．
故答案为：2
12、若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为___________
A．5
B．7
C．9
D．10
解∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．
故选D．
13、已知方程x2+ax-6=0的一个根是3，则另一个根为
．
解：根据一元二次方程根与系数的关系，·=，代入数值可得3=-6，解得=-2．
14、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程x2+bx+c=0，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是
．
解：因为甲把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，所以常数项没错，因此常数项c=-3×5=-15，
乙把常数项看错了，解得两根为2和2，所以一次项系数没错，因此一次项系数b=-（2+2）=-4，
所以原方程是x2-4x-15=0．
15、有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k
=_________。
解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知3+x2=4，∴x2=1，∴x1?x2=3=k，即k=3；
当该等腰三角形的腰长不是3时，△=16-4k=0，解得，k=4；综上所述，k=3或k=4．
故答案是：3或4．
16、关于的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且，
则(x1－x2)2的值是___________．
解：∵x12+x22=7，
∴（x1+x2）2-2x1x2=7，
∴m2-2（2m-1）=7，
∴整理得：m2-4m-5=0，
解得：m=-1或m=5，
∵△=m2-4（2m-1）≥0，
当m=-1时，△=1-4×（-3）=13＞0，
当m=5时，△=25-4×9=-11＜0，
∴m=-1，
∴一元二次方程x2-mx+2m-1=0为：x2+x-3=0，
∴（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2=7-2×（-3）=13．
17、已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
解：根据题意得α+β=3，αβ=-4，
所以原式=a（α+β）-3α=3α-3α=0．
18、若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝_______.
解：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b，
∴由根与系数的关系得，
解得，．∴ab=1×4=4．
19、设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为　
　．
解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，
＝4x1﹣1，
∴＝4﹣x1，
∴原式＝4﹣x1+4+x1﹣1
＝4（+）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，
故答案为：55
20、已知α、β为方程x2+4x+2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝　
　．
解：∵α、β是x2+4x+2＝0的二实根．
∴α+β＝﹣4．
α2+4α+2＝0．
α2＝﹣4α﹣2．
α3＝﹣4α2﹣2α＝﹣4（﹣4α﹣2）﹣2α＝14α+8．
∴α3+14β+2069＝14α+8+14β+2069＝14（α+β）+2077＝14×（﹣4）+2077＝﹣56+2077＝2021．
故答案为：2021．
三、解答题
21、关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．
（1）已知k＝2，求x1+x2+x1x2．
（2）若x1＝3x2，试求k值．
解：（1）∵方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，
∴x1+x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝4﹣1＝3．
（2）∵x1+x2＝4，x1＝3x2，
∴x1＝3，x2＝1，
∴k＝x1x2+3＝6．
22、关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
解答：（1）证明：∵△＝m2﹣4×1×（m﹣2）
＝m2﹣4m+8
＝（m﹣2）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：不存在，
理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0的两个同号的实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1?x2＝m﹣2＞0，
∴x12+x22+m（x1+x2）＝（x1+x2）2﹣2x1?x2+m（x1+x2）
＝m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝﹣2（m﹣2）＜0，
∵m2+1＞0，
∴不存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立．
23、关于的一元二次方程＝0的两个实数根分别是，，且＝7，
求下列代数式的值：(1).
(2).
解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝m，x1·x2＝2m－1.
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2×(2m－1)＝7，
∴m2－4m－5＝0.
∴m1＝5，m2＝－1.
当m1＝5时，Δ＝m2－4(2m－1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；
当m2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.
∴m＝－1.
∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－3.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝13，
＋2＋＝＝－.
24、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；
（2）先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【答案】解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：=24
，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
25、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2，x1x2可得利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝　　，mn＝　　；
（2）若m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，则p＝　　，q＝　　；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数，利用根与系数的关系可得出m+n，mn的值；
（2）根据方程的系数结合m+n＝﹣3，mn＝4，可求出p，q的值；
（3）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k，结合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2
可得出关于k的一元二次方程，利用公式法解该方程即可得出k值，再将k值分别代入原方程中，验证根的判别式是否大于等于0．
【答案】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，
∴m+n=，mn=．
故答案为：；．
（2）∵m，n为x2﹣px+q＝0的两个根，且m+n＝﹣3，mn＝4，
∴p＝﹣3，q＝4．
故答案为：﹣3；4．
（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．
∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，
∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，
整理，得：k2﹣4k+3＝0，
∴k=，
∴k1＝3，k2＝1．
当k＝3时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴k＝3符合题意；
当k＝1时，原方程为x2+1＝0，
∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴k＝1不符合题意，舍去．
∴k的值为3．
26、在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么（说明：定理成立的条件）。比如方程中，，所以该方程有两个不等的实数根，记方程的两根为，，那么+=，=,请根据阅读材料解答下列各题：
（1）已知方程的两根为、，且
>,求下列各式的值:
①
②
（2）已知是一元二次方程的两个实数根．
①是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
②求使的值为整数的实数的整数值．
答案：（1）①13②-（2）①不存在②-2,-3或-5
解:（1）∵方程的两根为、，且
>，
∴=3
，
=-2
，
∴==9+4=13，
=
，
（2）∵是一元二次方程的两个实数根．
∴
，
即k<0，
=1
,
=
，
①设存在这样的实数k.则=，
解得
，
∵k<0
，
∴不存在这样的实数k
；
②
==-
，
要使-为整数
，
则
，
∴k=0,-2,1,-3,-5,3
，
又∵k<0
，
∴k=-2,-3或-5.