3.4圆心角（2）(共19张ppt）
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(共19张PPT)
3.4圆心角（2）
圆的对称性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
（旋转不变性）
圆心角定理
温故知新
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
温故知新
请说出定理的逆命题
1.逆命题
:
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2.逆命题
:
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧（劣弧）相等，弦的弦心距相等。
3.逆命题
:
在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都分别相等。
在同圆或等圆中
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等
弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
练一练：
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么
________,________,_______。
∠AOB=∠COD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
OE=OF
AB=CD
AB=CD
⌒
⌒
（4）如果∠AOB=∠COD，那么
______,______,______。
（2）如果OE=OF，那么
_________,________,______。
（3）如果AB=CD
那么
________,________,_______。
2、判断：
（1）等弦所对的弧相等。
（
）
（2）等弧所对的弦相等。
（
）
（3）圆心角相等，所对的弦相等。(
）
（4）弦相等，所对的圆心角相等。（
）
×
×
×
√
练一练
×
（5）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（
）
做一做：
3.已知：如图，在⊙Ｏ中，弦AB＝CD．
求证：AD＝BC
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
·
AD=BC
AD＝BC
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC的度数分别为__________
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
解（3）四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=1200
∴∠BOD=1800-∠AOB=600
又∵OB=OD
∴△BOD是等边三角形
∴四边形BDCO是菱形
（4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r
∴BP=
∴BC=2BP=
答：等边三角形ABC的边长为
同理，△COD是等边三角形
∴OB=OC=BD=CD
1、已知：如图,
AB、DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，且AD=CE。求证：BE=CE
⌒
⌒
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
E
做一做
例3：已知：如图▲ABC为等边三角形，以AB
为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E。
求证：AD=DE=EB
O
C
A
D
B
E
2.已知AB，CD是同圆中的两段弧，且AB=2CD
则弦AB与CD的关系是
（
）
A、AB=2CD
B、AB=CD
C、2CDD、AB<2CD
D
做一做
⌒
⌒
3、
如图，已知点O是∠EPF
的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF
的两边分别相交于A、B和C、D。
求证：AB=CD
分析：
联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
.
M
N
要证AB=CD
，只需证OM=ON
P
A
B
E
C
D
F
O
做一做
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
变式练习：
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N
归纳小结
这节课我们主要学习了哪些内容
如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。求证：CD=EF
⌒
⌒
证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G
∵A为CD中点，B为EF中点
∴OA⊥CD，OB⊥EF
故∠AFC=∠BGE=90°①
又由OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA
②
且AM=BN
③
∴△AFM≌△BGN（SAS）
∴AF=BG
∴OF=OG
∴DC=EF
F
G
拓展提高
2.
下课了
3.4圆心角（2）
圆的对称性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
（旋转不变性）
圆心角定理
温故知新
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
温故知新
请说出定理的逆命题
1.逆命题
:
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2.逆命题
:
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧（劣弧）相等，弦的弦心距相等。
3.逆命题
:
在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都分别相等。
在同圆或等圆中
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等
弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
练一练：
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么
________,________,_______。
∠AOB=∠COD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
OE=OF
AB=CD
AB=CD
⌒
⌒
（4）如果∠AOB=∠COD，那么
______,______,______。
（2）如果OE=OF，那么
_________,________,______。
（3）如果AB=CD
那么
________,________,_______。
2、判断：
（1）等弦所对的弧相等。
（
）
（2）等弧所对的弦相等。
（
）
（3）圆心角相等，所对的弦相等。(
）
（4）弦相等，所对的圆心角相等。（
）
×
×
×
√
练一练
×
（5）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（
）
做一做：
3.已知：如图，在⊙Ｏ中，弦AB＝CD．
求证：AD＝BC
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
·
AD=BC
AD＝BC
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC的度数分别为__________
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
解（3）四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=1200
∴∠BOD=1800-∠AOB=600
又∵OB=OD
∴△BOD是等边三角形
∴四边形BDCO是菱形
（4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r
∴BP=
∴BC=2BP=
答：等边三角形ABC的边长为
同理，△COD是等边三角形
∴OB=OC=BD=CD
1、已知：如图,
AB、DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，且AD=CE。求证：BE=CE
⌒
⌒
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
E
做一做
例3：已知：如图▲ABC为等边三角形，以AB
为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E。
求证：AD=DE=EB
O
C
A
D
B
E
2.已知AB，CD是同圆中的两段弧，且AB=2CD
则弦AB与CD的关系是
（
）
A、AB=2CD
B、AB=CD
C、2CD
D
做一做
⌒
⌒
3、
如图，已知点O是∠EPF
的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF
的两边分别相交于A、B和C、D。
求证：AB=CD
分析：
联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
.
M
N
要证AB=CD
，只需证OM=ON
P
A
B
E
C
D
F
O
做一做
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
变式练习：
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N
归纳小结
这节课我们主要学习了哪些内容
如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。求证：CD=EF
⌒
⌒
证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G
∵A为CD中点，B为EF中点
∴OA⊥CD，OB⊥EF
故∠AFC=∠BGE=90°①
又由OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA
②
且AM=BN
③
∴△AFM≌△BGN（SAS）
∴AF=BG
∴OF=OG
∴DC=EF
F
G
拓展提高
2.
下课了
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