浙教版九年级数学下册
第二章
直线与圆的位置关系单元评估检测试题
一、单选题
1.如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，D是优弧AC上一点，连接AD，CD.若∠ABO=40°.则∠D的大小是（
??）
A.
50°
B.
40°
C.
35°
D.
25°
2.已知直角三角形的两条直角边分别为12cm和16cm，则这个直角三角形内切圆的半径是（
??）
A.
2cm
B.
3cm
C.
4cm
D.
5cm
3.
如图，已知△ABC中，AB=
AC，∠ABC=70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（
）
A.
40°
B.
70°
C.
110°
D.
140°
4.如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，⊙O的半径为6，且PA=8，则cos∠APO等于（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于( )
A
12
B.
6
C.
8
D.
10
6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD=，
AC=3．则DE长为（ ）
A.
B.
2
C.
D.
7.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为( )
A.
50
B.
52
C.
54
D.
56
8.如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（ ）
A.
15cm
B.
20cm
C.
30cm
D.
60cm
9.
一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长是：
A.
B.
C.
2
D.
3
10.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.若⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是________．
12.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD=______°．
13.如图，已知：⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，若AB＝4，AC＝5，AD＝1，则BC＝________．
14.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为_____．
15.已知圆O半径是3cm，点O到直线l的距离为4cm，则圆O与直线l的位置关系是_____．
16.如图，在中，，以点A为圆心，2为半径的与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______．
17.如图，菱形ABOCAB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE=__________.
18.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长
，
以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是?________．
19.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于
．
20.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线DE交AC于E，且DE⊥AC，由上述条件，你能推出的正确结论有：________（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，至少写出4个结论，结论不能类同）．
三、解答题
21.如图,点I是△ABC的内心,∠A=80°,求∠BIC的度数.
22.已知：如图，AB是⊙O直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.
23.已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点．求证：是的切线．
24.
如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，交BC于点E．
（1）求证：BD=ID；
（2）求证：ID2=DE?DA．
25.
如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．
26.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．
（1）线段BD与ID相等吗？证明你结论．
（2）证明：ID2=DE?AD．
27.如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=20°，延长AB到点C，使得∠ACD=50°，求证：CD是⊙O的切线．
?
28.已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB=EC=ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DF?DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．浙教版九年级数学下册
第二章
直线与圆的位置关系单元评估检测试题
一、单选题
1.如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，D是优弧AC上一点，连接AD，CD.若∠ABO=40°.则∠D的大小是（
??）
A.
50°
B.
40°
C.
35°
D.
25°
【答案】D
【解析】
解：∵直线l是⊙O的切线，点A为切点，∴∠OAB=90°，∴∠AOB=90°－40°=50°，∴∠D=∠AOB=25°．故选D．
2.已知直角三角形的两条直角边分别为12cm和16cm，则这个直角三角形内切圆的半径是（
??）
A.
2cm
B.
3cm
C.
4cm
D.
5cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理先求出斜边的长，再根据直角三角形内切圆半径公式（直角边a、b
，斜边c，内切圆半径r，则r=）进行求解即可得.
【详解】∵直角三角形的两直角边分别为12，16，
∴直角三角形的斜边是20，
∴内切圆的半径为：（12+16﹣20）÷2=4，
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形内切圆半径，需识记的知识点是：直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边差的一半．
3.
如图，已知△ABC中，AB=
AC，∠ABC=70°，点I是△ABC内心，则∠BIC的度数为（
）
A.
40°
B.
70°
C.
110°
D.
140°
【答案】C
【解析】
试题分析：已知在△ABC中，AB=
AC，∠ABC=70°，所以；点I是△ABC的内心，所以，，在中
=
考点：内心，等腰三角形
点评：本题考查内心，等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，内心的概念和性质是解本题的关键
4.如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，⊙O的半径为6，且PA=8，则cos∠APO等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OA，由切线的性质可知OA⊥PA，根据余弦的定义解答即可.
【详解】连接OA，
∵PA切⊙O于点A，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥PA，
∵OA=6，PA=8，
∴OP==10，
∴cos∠APO===，
故选A.
【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理，以及锐角三角函数的定义，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握相关的定理及定义是解题关键.
5.如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于( )
A.
12
B.
6
C.
8
D.
10
【答案】B
【解析】
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∵△PDE的周长为12，
∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12，
∴PA=PB=6.
故选A.
点睛：本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.
6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD=，
AC=3．则DE长为（ ）
A.
B.
2
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OD，CD．由切线长定理得CD=DE，可证明△ADC∽△ACB，则可求得BD，再由勾股定理求得BC，可证明BE=DE，从而求得DE的长．
【详解】连接OD，CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AD=，AC=3．
∴CD=，
∵OD=OC=OA，
∴∠OCD=∠ODC，
∵DE是切线，
∴∠CDE+∠ODC=90°．
∵∠OCD+∠DCB=90°，
∴∠BCD=∠CDE，
∴DE=CE．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠B=∠ACD，
∴，
∴BC==4，
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，∠B+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=CE=DE．
∴DE=BC=×4=2．
故选B．
【点睛】本题考查了切线长定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.
7.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为( )
A.
50
B.
52
C.
54
D.
56
【答案】B
【解析】
试题解析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边的和相等，
所以四边形的周长为：
故选B.
点睛：圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边的和相等.
8.如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（ ）
A.
15cm
B.
20cm
C.
30cm
D.
60cm
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据梯形的中位线定理，求得梯形的两底和；再根据圆外切四边形的两组对边和相等，求得梯形的两腰和，从而求得梯形的周长．
【详解】根据梯形中位线等于两底和的一半，得梯形的两底和等于梯形的中位线的2倍，即30cm；
根据圆外切四边形的两组对边和相等，得梯形的两腰的和等于两底和，即30cm．
则梯形的周长等于30+30=60（cm）．
故选D．
【点睛】本题考查了切线长定理和梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理是解题的关键．
9.
一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长是：
A.
B.
C.
2
D.
3
【答案】D
【解析】
试题分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴高为2，即OC=，
∵∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
∴在Rt△OFC中，可得FC=，
∴CE=3．
考点：切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，垂径定理
点评：本题知识点多，中考性强，在中考中比较常见，一般出现在选择、填空的最后一题，难度较大.
10.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED内切圆半径为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，
则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，
故B1F=OF=OA，
设B1F=x，则AF=﹣x，
故（﹣x）2+x2=（2x）2，
解得
或（舍去），
∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．
故选B．
二、填空题
11.若⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是________．
【答案】相离
【解析】
【分析】
由题意得出d＞r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【详解】∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm，
∴5＞4，
即d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为相离．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．
12.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD=______°．
【答案】120．
【解析】
解：∵AC与⊙O相切，∴∠BAC=90°，∵∠CAD=30°，∴∠OAD=60°，∴∠BOD=2∠BAD=120°．故答案为120．
点睛：本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据定理得出∠BAC=90°和∠BOD=2∠BAD是解此题的关键．
13.如图，已知：⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，若AB＝4，AC＝5，AD＝1，则BC＝________．
【答案】7
【解析】
【分析】
由切线长定理得AD=AE，BD=BF，CE=CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求出CE=4，即CF的长，求和即可．
【详解】∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∵AB=4，AC=5，AD=1，
∴AE=1，BD=3，CE=CF=4，
∴BC=BF+CF=3+4=7．
【点睛】本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
14.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径=
（a、b为直角边，c为斜边）进行计算即可得．
【详解】∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC==8，
∴这个三角形的内切圆半径==2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了直角三角形内切圆半径，熟知直角三角形内切圆半径的求解方法是解题的关键.
直角三角形内切圆的半径=
（a、b为直角边，c为斜边）.
15.已知圆O的半径是3cm，点O到直线l的距离为4cm，则圆O与直线l的位置关系是_____．
【答案】相离
【解析】
【分析】
根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离．
【详解】∵圆心O到直线l的距离是4cm，大于⊙O的半径为3cm，
∴直线l与⊙O相离，
故答案为相离
【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
16.如图，在中，，以点A为圆心，2为半径的与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
试题分析：连接AD，在⊙A中，因为∠EPF=45°，所以∠EAF=90°，AD⊥BC，S△ABC=×BC×AD=×4×2=4,S扇形AFDE=，所以S阴影=4-.
考点：扇形的面积
点评：该题主要考察同弦所对的圆心角和圆周角的关系，以及求不规则图形面积的方法．
17.如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE=__________.
【答案】60°
【解析】
【分析】由AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，可得∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，根据已知条件可得到BD=OB，在Rt△OBD中，求得∠B=60°，继而可得∠A=120°，再利用四边形的内角和即可求得∠DOE的度数.
【详解
】∵AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，
∵四边形ABOC是菱形，∴AB=BO，∠A+∠B=180°，
∵BD=AB，
∴BD=OB，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，BD=OB，∴cos∠B=，∴∠B=60°，
∴∠A=120°，
∴∠DOE=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为60°.
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
18.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长
，
以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是?________．
【答案】相切
【解析】
【分析】
要判断直线和圆的位置关系，只需求得圆心到直线的距离，即弦的弦心距．根据垂径定理得半弦是3
，再根据勾股定理得弦心距==3，即圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切．
【详解】∵⊙O的半径为6，AB=6，
∴弦心距==3，
∴直线和圆相切．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练运用垂径定理和勾股定理求得弦的弦心距，再进一步根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题的关键．
19.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于
．
【答案】40°．
【解析】
试题分析：连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∵弧BC对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠COB，
∴∠COB=2∠A=50°，
∴∠D=180°-∠DCO-∠COB=40°
考点：切线的性质．
20.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线DE交AC于E，且DE⊥AC，由上述条件，你能推出的正确结论有：________（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，至少写出4个结论，结论不能类同）．
【答案】∠ADB＝∠AED＝∠CED＝90°，△ADE∽△ABD，∠ADE＝∠B，∠CAD＝∠BAD，DE2＝CE·EA，AD2＝AE·AC＝AE·AB，CD2＝CE·CA，AB＝AC，∠B＝∠C，CD＝BD，…
【解析】
试题分析：由弦切角定理可证∠EDA=∠B，又已知DE⊥AC，则有∠EAD=∠B，即可证△ADE∽△ABD；又因为AB是直径，可证∠ADB=∠ADC=∠DEA=90°，利用相似的判定及性质可证出相应的乘积式．
解：由弦切角定理知，∠EDA=∠B，
∵DE⊥AC，AB是O的直径，
∴∠DEA=∠ADB=90°，
∵∠EDA=∠B，
∴△ADE∽△ABD；
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ADC=∠DEA=90°，
∠ADB=∠AED=∠CED=90°，
∵△ADE∽△ABD，
∴AD2＝AE·AB
∴△ADE∽△ABD，∠ADE=∠B，∠CAD=∠BAD，AD2＝AE·AB.
点睛：本题是有关于圆的结论开放题.
利用圆的性质及相似的性质得出结论是解题的关键.
三、解答题
21.如图,点I是△ABC的内心,∠A=80°,求∠BIC的度数.
【答案】130°
【解析】
【分析】
求出∠ABC+∠ACB，再求出∠IBC+∠ICB，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】∵点I是△ABC的内心,
∴∠IBC=
∠ABC,∠ICB=
∠ACB
,∴∠IBC+∠ICB=
(∠ABC+∠ACB).
∵∠A=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°,
∴∠IBC+∠ICB=
×100°=50°,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-50°=130°
【点睛】本题考查了三角形内心，正确把握三角形内心的性质是解题的关键．
22.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线．
【详解】证明：连接OD,
∵BC是和⊙O相切于点B的切线
∴∠CBO=90°.
∵AD平行于OC，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；
∵∠ODA=∠A，
∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
∴DC是⊙O的切线．
23.已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点．求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接OD，只要证明OD⊥DE即可．
【详解】连接OD．
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24.
如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，交BC于点E．
（1）求证：BD=ID；
（2）求证：ID2=DE?DA．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形，利用等量代换即可证明；
（2）证△DBE∽△DAB，得DB2=DE?DA，再由（2）得DI2=DE?DA．
试题解析：（1）证明：连接BI，CI，CD，
∵I为内心，
∴AI为∠BAC角平分线，
BI为∠ABC平分线，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠DAC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAI，
∠CBD=∠DAC=∠BAI，
∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI，
∴△DBI为等腰三角形，
∴DB=DI；
（2）证明：∵∠DBE=∠CAD，∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠EBD，
∴△DBE∽△DAB，
∴
∴DB2=DE?DA，
又∵DB=DI（已证），
∴DI2=DE?DA．
考点：1．三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理；3．相似三角形的判定与性质．
25.
如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2），AD＝．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；
（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，设BO=BE=CO=x，所以OE=2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函数的定义即可求解．
试题解析：(1)连接OC
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC＝∠CAB
∵OA＝OC
∴∠OCA＝∠CAB
∴∠OCA＝∠DAC
∴AD∥CO
∵CD⊥AD
∴CD⊥AD
∴CD为⊙O的切线；
（2）∵AB＝2BO
，
AB＝2BE
∴BO＝BE＝CO
设BO＝BE＝CO＝x
，
∴OE＝2x
在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2，
x2＋()2＝(2x)2
∴x＝1
∴AE＝3
，∠E＝30°
，
∴AD＝．
考点：1.切线的判定与性质2.勾股定理3.圆周角定理．
26.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．
（1）线段BD与ID相等吗？证明你的结论．
（2）证明：ID2=DE?AD．
【答案】（1）相等，证明见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接BI，证∠BIED∠IBD即可；∠IBD=∠4+∠5，∠BID=∠2+∠3；观察上述两个式子：I是△ABC的内心，则∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BID=∠IBD，由此得证；（2）由（1）知：ID=BD，即证BE是哪两条线段的比例中项，可通过找以BD为公共边的相似三角形；由（1）证得∠5=∠2，易证得△BED∽△ABD，由此可得出所求的结论．
【详解】（1）ID=BD，
理由：∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4；
∵∠BID=∠3+∠2，∠DBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，
∴∠BID=∠DBI；
∴ID=BD；
（2）证明：如图所示：
∵∠5=∠1，∠1=∠2；
∴∠5=∠2；
又∵∠D=∠D，
∴△BDE∽△ADB；
∴BD：DE=AD：BD；
∴BD2=AD?DE；
又∵ID=BD，
∴ID2=AD?DE．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心的以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，得出△BDE∽△ADB是解题关键．
27.如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=20°，延长AB到点C，使得∠ACD=50°，求证：CD是⊙O的切线．
?
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
连接DO，根据等腰三角形的性质得到∠DAO=∠ADO=20°，根据外角的性质性质得到∠DOC=40°，由∠ACD=50°，根据三角形的内角和得到∠ODC=90°．即可得到结论．
【详解】证明：连接DO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=20°，
∴∠COD=∠A+∠ADO=40°，
∵∠ACD=50°，
∴∠ODC=90°．
∴CD是⊙O的切线．
?
【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
28.已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB=EC=ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DF?DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接BD，已知ED、EB都是⊙O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，而BD⊥AC（圆周角定理），则OE∥AC；由于O是AB的中点，可证得OE是△ABC的中位线，即E是BC中点，那么Rt△BDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论；（2）由（1）知：BC=2BE=2DE，则所求的比例关系式可转化为（）2=DF?DC，即DE2=DF?DC，那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可，这两个三角形的公共角为∠CDE，只需作出∠DEF=∠C即可；①∠DEC＞∠C，即180°-2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°时，∠DEF的EF边与线段CD相交，那么交点即为所求的F点；②∠DEC=∠C，即180°-2∠C=∠C，∠C=60°时，F与C点重合，F点仍在线段CD上，此种情况也成立；③∠DEC＜∠C，即180°-2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的F点．
【详解】（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED=EB，∠DEO=∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE=EC，
∴EB=EC=ED．
（2）解：在△DEC中，由于ED=EC，
∴∠C=∠CDE，
∴∠DEC=180°﹣2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，∵∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE2=DF?DC．即（BC）2=DF?DC
∴BC2=4DF?DC．
②当∠DEC=∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC=∠C=60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF=DC=DE，仍有BC2=4DE2=4DF?DC．
③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．
【点睛】本题考查了直角三角形性质、切线长定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质；（2）题一定要注意“线段DC上是否存在点F”的条件，以免造成多解．
