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5.2菱形（1）教案
课题
5.2菱形（1）
单元
五
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
理解菱形的概念；理解并掌握菱形的性质；3.理解并掌握菱形的面积公式．
重点
理解并掌握菱形的性质；
难点
理解并掌握菱形的面积公式．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题议一议
请用四个全等的直角三角形拼成一个平行四边形.
思考自议理解菱形的概念.
理解并掌握菱形的性质.
讲授新课
提炼概念菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.画出菱形的两条对角线，并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论：
1、对称性2、是否有特殊的三角形3、边4、角5、对角线菱形的性质的研究菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形的性质1：菱形的四条边都相等.菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.已知:四边形ABCD是菱形.求证:
∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
AC⊥BD.
证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA又∵
AC
=
AC∴
△ADC
≌
△ABC∴
∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD,OD=OB又∵
AO
=
AO∴
△AOD
≌
△AOB∴
∠DOA=∠BOA又∵
∠DOA+∠BOA=
180°∴
∠DOA=∠BOA=
90°∴
AC⊥BD.菱形的性质:1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的所有性质.2.特殊的性质:(1)
性质定理1
菱形的四条边都相等.∵四边形ABCD是菱形
,
∴AB=BC=CD=DA.(2)
性质定理2
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.∵四边形ABCD是菱形
,
∴AB⊥CD,AC平分∠DAB和∠DCB.(3)
菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的直线.典例精讲例.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠CAD=30o,
BD=6,求菱形的边长和对角线AC的长.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD(菱形的定义)AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)∵∠BAC=30°∴∠BAD=60°∴ABD是等边三角形.AB=BD=6又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)由勾股定理,得AO=AC=2AO=推广：若菱形的两条对角线长分别为
，
，求菱形的面积。
菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
掌握菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形的性质1：菱形的四条边都相等.菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.理解并掌握菱形的面积公式．
课堂检测
四、巩固训练1.菱形具有而矩形不一定有的性质是
(
)(A)
对角线互相平分
(B)
对角线是内角的平分线(C)
对角线相等
(D)
邻角互补1.B2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF
，若
EF=
,
OD=2,则菱形ABCD的面积为________.3.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∴AC⊥BD，AO=1/2AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面积是
1/2×AC?DB=1/2×6×8=24，∴BC?AE=24，AE=
．4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF.(1)试猜想△ECF的形状，并说明理由；(2)若AB＝10，那么△ECF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由．解：(1)△ECF是等边三角形．理由：连结AC.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AC＝AB＝CD，∠CAE＝∠D＝60°，∠BCD＝120°.又∵AE＝FD，∴△CEA≌△CFD(SAS)，∴CE＝CF，∠ACE＝∠DCF.又∵∠DCF＋∠FCA＝1/2∠BCD＝60°，∴∠ACE＋∠FCA＝60°＝∠ECF，∴△ECF是等边三角形.(2)存在．∵△ECF是等边三角形，∴当CE最小时，△ECF的周长最小，∵当CE⊥AB时，CE的长度最小．又∵AB＝BC＝10，∠B＝60°，∠CEB＝90°，∴CE＝
，∴△ECF的最小周长为
．
课堂小结
掌握菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形的性质1：菱形的四条边都相等.菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.理解并掌握菱形的面积公式．
2
1
2
3
3
4
5
A
D
C
B
O
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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5.2菱形（1）
浙教版
八年级下
新知导入
合作学习
请用四个全等的直角三角形拼成一个平行四边形.
2
3
3
5
6
2
4
1
提炼概念
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
一组邻边相等
平行四边形
菱形
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
图片欣赏
新知讲解
画出菱形的两条对角线，并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？
从以下方面进行讨论：
1、对称性
2、是否有特殊的三角形
3、边
4、角
5、对角线
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等.
菱形的性质的研究
A
B
D
C
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.
已知:四边形ABCD是菱形.
求证:
∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
AC⊥BD.
A
D
C
B
O
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA又∵
AC
=
AC
∴
△ADC
≌
△ABC
∴
∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD,OD=OB
又∵
AO
=
AO
∴
△AOD
≌
△AOB
∴
∠DOA=∠BOA
又∵
∠DOA+∠BOA=
180°
∴
∠DOA=∠BOA=
90°
∴
AC⊥BD
菱形的性质:1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的所有性质.
2.特殊的性质:
(1)
性质定理1
菱形的四条边都相等.
∵四边形ABCD是菱形
,
∴AB=BC=CD=DA.
归纳概念
(2)
性质定理2
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角
线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
,
∴AB⊥CD,AC平分∠DAB和∠DCB.
(3)
菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的直线.
典例精讲
新知讲解
例.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠CAD=30o,
BD=6,求菱形的边长和对角线AC的长.
新知讲解
解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD(菱形的定义)
AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)∵∠BAC=30°∴∠BAD=60°
∴ABD是等边三角形.
AB=BD=6又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
由勾股定理,得AO=
AC=2AO=
推广：若菱形的两条对角线长分别为
，
，求菱形的面积。
课堂练习
1.菱形具有而矩形不一定有的性质是
(
)
(A)
对角线互相平分
(B)
对角线是内角的平分线
(C)
对角线相等
(D)
邻角互补
1.B
2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，
E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF
，
若
EF=
,
OD=2,则菱形ABCD的面积为________.
3.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO=1/2AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是
1/2×AC?DB=1/2×6×8=24，
∴BC?AE=24，
AE=
．
4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF.
(1)试猜想△ECF的形状，并说明理由；
(2)若AB＝10，那么△ECF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由．
解：(1)△ECF是等边三角形．
理由：连结AC.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AC＝AB＝CD，∠CAE＝∠D＝60°，∠BCD＝120°.
又∵AE＝FD，∴△CEA≌△CFD(SAS)，
∴CE＝CF，∠ACE＝∠DCF.
又∵∠DCF＋∠FCA＝1/2∠BCD＝60°，
∴∠ACE＋∠FCA＝60°＝∠ECF，
∴△ECF是等边三角形；
(2)存在．∵△ECF是等边三角形，
∴当CE最小时，△ECF的周长最小，
∵当CE⊥AB时，CE的长度最小．
又∵AB＝BC＝10，∠B＝60°，∠CEB＝90°，
∴CE＝
，∴△ECF的最小周长为
.
课堂总结
菱形
边
对称性
角
对角线
性
质
面积
对边平行
四条边都相等
中心对称图形
轴对称图形
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
2、
（a，b表示两条对角线的长度）
1、底乘以高
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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5.2菱形（1）学案
课题
5.2菱形（1）
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
理解菱形的概念；理解并掌握菱形的性质；3.理解并掌握菱形的面积公式．
重点
理解并掌握菱形的性质；
难点
理解并掌握菱形的面积公式．
教学过程
导入新课
【思考】议一议
想一想
请用四个全等的直角三角形拼成一个平行四边形.
新知讲解
提炼概念
菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.画出菱形的两条对角线，并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论：
1、对称性2、是否有特殊的三角形3、边4、角5、对角线菱形的性质的研究菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形的性质1：菱形的四条边都相等.菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.已知:四边形ABCD是菱形.求证:
∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
AC⊥BD.
证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA又∵
AC
=
AC∴
△ADC
≌
△ABC∴
∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD,OD=OB又∵
AO
=
AO∴
△AOD
≌
△AOB∴
∠DOA=∠BOA又∵
∠DOA+∠BOA=
180°∴
∠DOA=∠BOA=
90°∴
AC⊥BD.菱形的性质:1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的所有性质.2.特殊的性质:(1)
性质定理1
菱形的四条边都相等.∵四边形ABCD是菱形
,
∴AB=BC=CD=DA.(2)
性质定理2
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.∵四边形ABCD是菱形
,
∴AB⊥CD,AC平分∠DAB和∠DCB.(3)
菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的直线.典例精讲
例.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠CAD=30o,
BD=6,求菱形的边长和对角线AC的长.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD(菱形的定义)AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)∵∠BAC=30°∴∠BAD=60°∴ABD是等边三角形.AB=BD=6又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)由勾股定理,得AO=AC=2AO=推广：若菱形的两条对角线长分别为
，
，求菱形的面积。
课堂练习
巩固训练1.菱形具有而矩形不一定有的性质是
(
)(A)
对角线互相平分
(B)
对角线是内角的平分线(C)
对角线相等
(D)
邻角互补1.B2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF
，若
EF=
,
OD=2,则菱形ABCD的面积为________.3.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∴AC⊥BD，AO=1/2AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面积是
1/2×AC?DB=1/2×6×8=24，∴BC?AE=24，AE=
．4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF.(1)试猜想△ECF的形状，并说明理由；(2)若AB＝10，那么△ECF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由．解：(1)△ECF是等边三角形．理由：连结AC.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AC＝AB＝CD，∠CAE＝∠D＝60°，∠BCD＝120°.又∵AE＝FD，∴△CEA≌△CFD(SAS)，∴CE＝CF，∠ACE＝∠DCF.又∵∠DCF＋∠FCA＝1/2∠BCD＝60°，∴∠ACE＋∠FCA＝60°＝∠ECF，∴△ECF是等边三角形.(2)存在．∵△ECF是等边三角形，∴当CE最小时，△ECF的周长最小，∵当CE⊥AB时，CE的长度最小．又∵AB＝BC＝10，∠B＝60°，∠CEB＝90°，∴CE＝
，∴△ECF的最小周长为
．
课堂小结
小
掌握菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形的性质1：菱形的四条边都相等.菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.理解并掌握菱形的面积公式．
2
3
1
2
3
4
5
A
D
C
B
O
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
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精品试卷·第
2
页
（共
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