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2020-2021浙教版九年级上册数学第三章《圆的基本性质》竞赛题
一，单项选择题（本大题共8小题,每题5分，共40分）
1．如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知OA＝2，OC＝1，则图中阴影部分的面积是（
）
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
【答案】A
【分析】
连接OE、OF
，求出圆心角度数，再利用面积和差计算即可．
【详解】
解：连接OE、OF
，
∵弦AF切小半圆于点E．
∴OE⊥AF，
∴AE=EF，
∵OC＝OE＝1，OA＝2，
∴∠OAE=30°，
∴∠EOD=120°，∠FOD=60°，
，
扇形EOD的面积为：，
扇形FOD的面积为：，
△FOE的面积为：，
阴影部分的面积是：+-=＋，
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（ ）
A．16
B．20
C．25
D．30
【答案】C
【分析】
连接AF，BD，先证明四边形ABDF是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC+BC＝15，求出k的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积．
【详解】
解：连接AF，BD，如图，
∵AC、BC是直径，
∴∠AFC=90°，∠BDC=90°，
∵DFAB，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AB=FD；
取AB的中点O，作OG⊥FD，
∵，
则设，，
由垂径定理，则，
∴，
∴，，，
由勾股定理，则
，，
∵AC+BC＝15，
∴，
∴；
∴，，，
∴阴影部分的面积为
∴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而求出线段的长度，进而求出面积．
3．如图，已知在中，，，，以为直径向外作半圆，是半圆上的一个动点，是的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点的运动路径长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，根据OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．
【详解】
解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，
∵，，，
∴AB=，
OC=×5=2.5，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO=90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为矩形，EF=OC=2.5，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．
4．如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，那么阴影部分面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE=，利用OC=1，求出∠OCG=，CG=，得到BC=2CG=，∠BOC=，同理：AD=，证明△BOG≌△AOH，推出OG=OH，得到弓形BC与弓形AD的面积相等，利用阴影的面积=2（S扇形BOC-S△BOC）代入数值计算即可．
【详解】
如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，
由折叠得OG=GE，
∵OG⊥BC，
∴∠OGC=，CG=BG，
∵OG=OE=，OC=1，
∴∠OCG=，CG=，
∴BC=2CG=，∠BOC=，
同理：AD=，
∵AD∥BC，
∴∠OBC=∠OAD，OH⊥AD，
∵OA=OB，
∴△BOG≌△AOH，
∴OG=OH，
∴弓形BC与弓形AD的面积相等，
∴阴影的面积=2（S扇形BOC-S△BOC）==，
故选：D．
．
【点睛】
此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键．
5．如图，在扇形纸片中，在桌面内的直线l上．现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分析：点O所经过的路线是三段弧，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【详解】
解：点O经过的路线长
=
=
=12π
故选：B
【点睛】
考查旋转的性质以及弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键.
6．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，E是CD中点，若小正方形的边长为4cm，则该半圆的直径PQ的长为（
）
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
【答案】D
【分析】
连接半径OB、OC、OF，可通过HL证明，得到OD=，最后运用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，连接半径OB、OC、OF，则OB=OC=OF，
在正方形ABCD中，AB=CD，
（HL），
∴OA=OD，OD=，
E是CD中点，小正方形的边长为4cm，
∴DE=4cm，CD=8cm，OD=4cm，
，
∴该半圆的直径为2OC=cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形、勾股定理，属于综合题，能够熟练掌握各个知识点，并运用数形结合的思想是解题的关键．
7．如图所示，是半圆的直径，，，是弧上的一个动点（含端点，不含端点），连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），在Rt△BCM中利用勾股定理求得BM=，从而得BE长度的最小值BE′=BM-ME′=-2；由BE最长时即E与C重合，根据BC=3且点E与点C不重合，得BE＜3，从而得出答案．
【详解】
解：如图，
由题意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=5，AC=4，
∴BC=3，CM=2，
则BM===，
∴BE长度的最小值BE′=BM-ME′=-2，
当BE最长时，即E与C重合，
∵BC=3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上，-2≤BE＜3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、勾股定理等知识点，根据题意得出BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点是解题的关键．
8．如图，边长为2a的等边△ABC中，D为BC中点，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（
）
A．a
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接MD，根据等边三角形的性质可得BH=BD，再求出∠HBN=∠MBD，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBD≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MD，然后根据垂线段最短可得MD⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】
解：如图，连接MD，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠DBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BD，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBD和△NBH中，
，
∴△MBD≌△NBH（SAS），
∴MD=NH，
根据垂线段最短，MD⊥CH时，MD最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CD=AB=×2a=a，
∴MD=CD=×a=，
∴HN=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）
9．如图所示，在内有折线，其中，则的长为__________．
【答案】
【分析】
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，连接OB，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD的长，进而可得BD，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题．
【详解】
解：过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，如图所示：
∴BE=CE，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴OH=4，
∵∠HDB=90°，
∴∠HOE=30°，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
10．如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为_____．
【答案】
【分析】
如图，连接OC．证明AC=DE=2OE，利用勾股定理构建关系式，可得结论．
【详解】
如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE，CD=AE，AC∥DE，
∴∠ACE=∠DEC=90°，
∴OD⊥BC，
∴EC=EB，
∵OA=OB，
∴AC=2OE=DE，
∵OD=OC=3，
∴OE=1，DE=2，
∴CE2=OC2-OE2=CD2-DE2，
∴32-12=CD2-22，
∴AE=CD=或-（舍弃）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形OCED的顶点C，D分别在半径OA，OB上，顶点E在上，以O为圆心，OC长为半径作，若OA＝2，则阴影部分的面积为__．
【答案】1
【分析】
由正方形的性质可得∠AOE=∠BOE=45°，∠ECO=∠COD=∠ECO=∠EDO=90°，CE=OC，再求出正方形OCED的边长，得出S阴影部分=S正方形OCED-S扇形COD+（S扇形AOB-S正方形OCED），最后求解即可．
【详解】
解：连接OE，交于W，连接DE，则OA=OE=OB=2四边形OCED是正方形，
∴∠AOE=∠BOE=45°，∠ECO=∠COD=∠ECO=∠EDO=90°，CE=OC
在等腰△OCE中，CE=OC=
S扇形AOE-S△EOC=S扇形EOB-S△EOD
S阴影部分=S正方形OCED-S扇形COD+（S扇形AOB-S正方形OCED）
=
=1．
故填1．
【点睛】
本题主要考查了扇形面积的计算、正方形的性质等知识点，灵活应用扇形的面积公式和正方形的性质是解答本题的关键．
12．点A是反比例函数图像上一点，以OA为直径的圆交轴于点B，点C为弧OBA的中点，连接CB并延长交OA的延长线于点D，若CD＝，则点A的坐标为______．
【答案】(，)或(，)
【分析】
作出如图的辅助线，先证明Rt△EPCRt△HOP(AAS)，设点A(，)，则B
(，)，P(，)，H
(，)，求得C(，)，再求得直线OA、BC的解析式，联立求得点D的坐标，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】
连接AB，过P作PE⊥轴于H，过C作CE⊥并的延长线交于E，如图：
∵OA为⊙P直径，点C为弧OBA的中点，
∴∠OBA=90，∠OPC=90，OP=
PC，
∴∠OPH+∠EPC=∠OPH+∠POH=90，
∴∠EPC=∠POH，
∴Rt△EPCRt△HOP(AAS)，
∴EP=HO，EC=
HP，
设点A(，)，则B
(，)，P(，)，H
(，)，
∴EP=HO=，EC=
HP=，
∴C(，)，
设直线OA的解析式为，
则，解得，
∴直线OA的解析式为，
设直线BC的解析式为，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
解方程组得：，
∴D
(，)，
∵直线BC的解析式为，
∴
整理得，，
解得：或或(负值不合题意，全部舍去)，
经检验，，是原方程的解，
∴点A的坐标为(，)或(，)
．
故答案为：(，)或(，)．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，圆周角定理，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为________．
【答案】2
【分析】
如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
【详解】
解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC＝OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE＝＝5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴
，
∴，
∴MN＝，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×5×（﹣1）＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质，圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一动点，且PA⊥PB，连接AC、PC，则△PAC的最大面积为________．
【答案】＋1
【分析】
依题意，如图，作以AB为直径的⊙O交线段AC于点E，连接PE、OE、BE；可得△AEB为等腰直角三角形；要使得△APC的面积最大，只需使得△APE面积最大即可；又AE长度为定值；只需使△APE中AE边上的高，最大即可．
【详解】
依题意：
∵；OA＝OB＝OE＝1；
△AOE是等腰直角三角形；
∴
Rt△AOE中，设AE边上的高为：，利用等面积法：
；∴
∴△APE中AE边上的高的最大值为：；
∴△APE面积的最大值为：；
∴△PAC的最大面积为：；
故填：．
【点睛】
本题考查三角形及圆的性质，关键在辅助线添加和圆周角的应用，重点在等积法的使用．
三、解答题（本大题共4小题,15题，16题7分，17,18题8分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如图，是的直径，弦于点E，点G为弧上一动点，与的延长线交于点F，连接．
（1）判定与的大小关系，并说明理由，
（2）求证：平分．
（3）在G点运动过程中，当时，，求的面积．
【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）25π
【分析】
（1）由垂径定理得出，由圆周角定理即可得出；
（2）连接，由垂径定理得出，由圆周角定理得出，由四边形为圆内接四边形，得出，推出，即可得出结论；
（3）由证得，得出，由勾股定理得出，设的半径为，则，在中，，解得，从而可得面积．
【详解】
解：（1）；理由如下：
是的直径，弦，
，
，
故答案为：；
（2）连接，如图所示：
是的直径，弦，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
平分；
（3）在和中，
，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
解得：，即的半径为5，
∴的面积为25π．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、圆周角定理、证明三角形全等是解题的关键．
16．如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2），，，．
【分析】
（1）连接AD后，证明这两条弧所对的圆周角相等，即，该题得证；
（2）由这两条弧度数之比为4:5，分别求出它们的度数，再根据
，求出和的度数，即可求出
和，利用圆的内接四边形对角互补可以得到另外两个内角的度数．
【详解】
解：（1）如图，连结，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，与的度数之比为，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，，．
【点睛】
本题考查了圆中的弧和圆周角之间的关系，学生应在理解圆周角定理以及其推论的同时，能熟练应用它们，解决本题的关键是通过连线，构造两弧所对的圆周角，通过角的关系来证明弧的关系，同时应明白圆周角等于其所对弧的度数的二分之一，能由弧度求出角度，只有牢牢记住它们的关系，才能灵活地在角与弧之间进行转化，求出答案．
17．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．
（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果E为弦的中点，求
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)
连接OC，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出∠，通过解直角三角形求出，利用垂径定理求出；
(2)
连接BC，根据AB为直径，得到，再得到，证明，求得是的中位线，设，则根据，求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解．
【详解】
如图
，连接OC，
又，
即，
，
则；
如图2，连接，
为直径，
，
，
，
又
是的中位线，
设，
则
解得：，
则
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理，还考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理，熟悉并灵活运用以上性质定理是解题的关键．
18．如图1，在中，点D是边上的中点．、分别垂直射线于点E、F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，在矩形中，为直径的半圆O上有一个动点P，连接、．利用图1中得到的结论：探求的最小值是多少．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）的最小值为388
【分析】
（1）由题意易得，，然后可证，则问题可证；
（2）由图1及勾股定理可得：，，，进而可得，，然后根据线段的和差关系可得，，两式相加即可得证；
（3）取AB的中点F，连接PF，由（2）中结论可得：，由题意易得，要使为最小，只需满足PF的值为最小，根据圆外的点到圆上的点的最值问题可得当点O、P、F三点共线时，PF可取最小值，连接OF，交⊙O于点P，过点O作OH⊥AB于点H，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∵点D是边上的中点，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴；
（2）由图1及勾股定理可得：
，，，
由（1）可得：，，
∴，，
∵，
∴，，
∴
=，
=
=
=，
∴；
（3）取AB的中点F，连接PF，如图所示：
由（2）中结论可得：，
∵，DE是⊙O的直径，
∴，
∴，
要使为最小，只需满足PF的值为最小，根据圆外的点到圆上的点的最值问题可得当点O、P、F三点共线时，PF可取最小值，连接OF，交⊙O于点P，过点O作OH⊥AB于点H，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴PF的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】
本题主要考查圆的最值问题及勾股定理，熟练掌握圆的最值问题及勾股定理是解题的关键．
试卷第1页，总3页
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2020-2021浙教版九年级上册数学第三章《圆的基本性质》竞赛题
一，单项选择题（本大题共8小题,每题5分，共40分）
1．如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知OA＝2，OC＝1，则图中阴影部分的面积是（
）
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（ ）
A．16
B．20
C．25
D．30
3．如图，已知在中，，，，以为直径向外作半圆，是半圆上的一个动点，是的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点的运动路径长为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，那么阴影部分面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在扇形纸片中，在桌面内的直线l上．现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，E是CD中点，若小正方形的边长为4cm，则该半圆的直径PQ的长为（
）
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
7．如图所示，是半圆的直径，，，是弧上的一个动点（含端点，不含端点），连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，边长为2a的等边△ABC中，D为BC中点，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（
）
A．a
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）
9．如图所示，在内有折线，其中，则的长为__________．
10．如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为_____．
11．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形OCED的顶点C，D分别在半径OA，OB上，顶点E在上，以O为圆心，OC长为半径作，若OA＝2，则阴影部分的面积为__．
12．点A是反比例函数图像上一点，以OA为直径的圆交轴于点B，点C为弧OBA的中点，连接CB并延长交OA的延长线于点D，若CD＝，则点A的坐标为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为________．
14．如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一动点，且PA⊥PB，连接AC、PC，则△PAC的最大面积为________．
三、解答题（本大题共4小题,15题，16题7分，17,18题8分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如图，是的直径，弦于点E，点G为弧上一动点，与的延长线交于点F，连接．
（1）判定与的大小关系，并说明理由，
（2）求证：平分．
（3）在G点运动过程中，当时，，求的面积．
16．如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数．
17．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．
（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果E为弦的中点，求
18．如图1，在中，点D是边上的中点．、分别垂直射线于点E、F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，在矩形中，为直径的半圆O上有一个动点P，连接、．利用图1中得到的结论：探求的最小值是多少．
试卷第1页，总3页
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