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2020-2021浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》常考题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．(本题3分)已知，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据条件，用b表示a，再代入求解，即可．
【详解】
∵，
∴，
∴==，
故选D．
【点睛】
本题主要考查比例的性质和分式的求值，根据条件，用b表示a是解题的关键．
2．(本题3分)如图，直线，另两条直线分别交这三条直线点A、B、C、D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（
）
A．BC：DE=1：2
B．BC：DE=2：3
C．BC·DE=8
D．BC·DE=6
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得，则利用比例性质可得到BC，然后计算DE?BC．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
∴BC，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴DE?BC＝46．
BC：DE=3：8
故答案选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．(本题3分)如果，，则的面积与的面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．
【详解】
解：∵△ABC∽△DEF，且，
∴的面积与的面积之比为．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．(本题3分)用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（
）
①三角形的每个角都扩大10倍；②三角形的每条边都扩大10倍；
③三角形的面积扩大10倍；④三角形的周长扩大10倍．
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③
【答案】C
【分析】
根据相似形的性质，结合选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】
解：①三角形的每个角不会变化，故错误；
②三角形的每条边都扩大10倍，故正确；
③三角形的面积会扩大100倍，故错误；
④三角形的周长会扩大10倍，故正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，相似形周长的比等于相似比，面积的比是相似比的平方．
5．(本题3分)如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（
）
A．三角形相似于三角形
B．三角形相似于三角形
C．三角形相似于三角形
D．三角形相似于三角形
【答案】C
【分析】
如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，据此逐项分析即可解题．
【详解】
解：A.
又平分
故A不符合题意；
B.平分
又
故B不符合题意；
C.
三角形与三角形，仅有一个公共角，不能证明相似，故C错误，符合题意；
D.
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．(本题3分)如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，不能判定与相似的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定方法解题：对应角相等，对应边成比例，据此解题．
【详解】
解：①在与中，
，，
正确，故①不符合题意；
②在与中，
，，
正确，故②不符合题意；
③在与中，
即
又
正确，故③不符合题意；
④在与中，
即，
不符合相似三角形判定法则，错误，故④符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．(本题3分)如图，在矩形ABCD中，，，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为（
）
A．8
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由矩形的中心对称性质可得AE=FC=2，OE=OF，由矩形的性质可得AD//BC，即EG//BF，从而可判定△EHG∽△FHB，根据相似三角形的性质可求出EG的长，从而得到AG的长，再由勾股定理求得BG的长即可．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，直线EF过矩形的对称中心O，
∴把矩形分割成的两部分图形一样，
∴，，
∵H为OE的中点，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，即，
∴，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
8．(本题3分)如图，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．28cm2
B．27cm2
C．21cm2
D．20cm2
【答案】B
【分析】
根据题意，截取矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【详解】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形AEFB，
则，
设AE＝xcm，得到：，解得：x＝4.5，
经检验x=4.5是原方程的解
则截取的矩形面积是：6×4.5＝27（cm2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
9．(本题3分)如图，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（
）
A．第4张
B．第5张
C．第6张
D．第7张
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【详解】
解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为xcm，
则，解得x=2，
所以另一段长为12-2=10，
因为10÷2=5，所以是第5张．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
10．(本题3分)如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结交于点，连结，．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
易证△EAC∽△CBH，由相似三角形的性质及CH=2CE得：BC=2AC，过点C作CN⊥AB于点N，由已知及辅助线作法，可得△CAN∽△BAC，从而有CN=2AN，设AN=a，则CN=2a，从而，
，由勾股定理计算得：AB=5a，所以BN=4a；易得△CNM∽△GBM，由相似的性质可求得NM的长，从而求得BM，最后得结论．
【详解】
如图，过点C作CN⊥AB于点N
由题意知：△EAC、△CBH都是等腰直角三角形，所以△EAC∽△CBH
∴
∵CH=2CE
∴BC=2AC
∵∠CAN=∠ACB=90,∠CAN=∠BAC
∴△CAN∽△BAC
∴
∴CN=2AN
设AN=a，则CN=2a
在Rt△CAN中，由勾股定理得：
∴
在Rt△CAB中，由勾股定理得：
∴BN=AB-AN=5a-a=4a
∵四边形ABGF为正方形
∴BG=AB=5a
∵AB⊥BC，CN⊥AB
∴CN∥BC
∴△CNM∽△GBM
∴
∴
∴,
∴
故选:B
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，带有一定的综合性．通过作辅助线得△CAN∽△BAC，由此得出CN=2AN是本题的关键和难点．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)如果4是a与8的比例中项，那么a的值为_____．
【答案】2
【分析】
根据比例中项的意义求解．
【详解】
解：由题意可得：8a=42=16，
∴a=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查比例中项的应用，熟练掌握比例中项的意义是解题关键．
12．(本题3分)线段，为线段上一点（），当______时，点为的黄金分割点．
【答案】
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．
【详解】
解：由题意可得：AC=AB=
故答案为：
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
13．(本题3分)如图，AB∥DE，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC=_____．
【答案】2
【分析】
由AB∥DE，即可证得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．
【详解】
解：∵AB∥DE，
∴△ABC∽△ECD，
∴，
∵AC＝4，BC＝2，DC＝1，
∴，
解得：CE＝2．
故答案为：2
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
14．(本题3分)如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为___．
【答案】9
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】
∵直线l1∥l2∥l3，
∴根据平行线分线段成比例定理可得：
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键．
15．(本题3分)如图，梯形中，,与相交于点,已知,,那么_____
【答案】
【分析】
由可知，△ABD中AD边上的高和△CBD中BC边上的高相同，根据，可求得AD与BC之比，通过△ADO和三角形CBO相似求出OD与OB之比，再通过三角形ABD面积即可求出.
【详解】
解：∵，
∴△ADO∽△CBO，△ABD中AD边上的高和△CBD中BC边上的高相同，
∴，
∵，，
∴，
又∵△ADO∽△CBO，
∴，即，
由于△ABD和△AOD中，OB、OD边上的高相同，
∴.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，以及三角形面积之间的关系.
16．(本题3分)已知点、，以原点О为位似中心，相似比位1：4，把缩小，则点A的对应点的坐标是_______________．
【答案】（﹣1，2）或（1，﹣2）．
【分析】
分对应点与AB在位似中心O同侧时，以及与AB在位似中心O异侧时，根据位似图形的性质得出即可．
【详解】
解：∵点A（﹣4，8）、B（﹣12，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为1：4，把△ABO缩小，
∴A点坐标都乘以或﹣即可得出答案，
则点A的对应点的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣2），
故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，注意要分在位似中心的同侧与异侧两种情况求解．
17．(本题3分)如图，点O为平行四边形的对角线和的交点，点E为边的中点，连结交于点F，则的值为______．
【答案】
【分析】
先证?AFD∽?EFB，得出，再根据中点的定义得出FD=2BF，再根据BD=BF+FD=BF+2BF=3BF，OF=BO-BF=BD-BF=×3BF-BF=BF得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，BO=OD=BD，AD∥BC，
∴∠ADO=∠OBC，∠DAE=∠AEB，
∴?AFD∽?EFB，
∴，
又∵E为边BC的中点，
∴BE=BC，
∴，
∴，
∴FD=2BF，
∴BD=BF+FD=BF+2BF=3BF，OF=BO-BF=BD-BF=×3BF-BF=BF，
∴=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质及平行线的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
三、解答题（本大题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．(本题7分)已知，且.
求：（1）、、的值.
（2）的值.
【答案】（1），，；（2）
【分析】
（1）根据比例设a＝4k，b＝3k，c＝2k，然后代入等式求出k的值，再求解即可；
（2）把a、b、c的值代入进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）∵a：b：c＝4：3：2，
∴设a＝4k，b＝3k，c＝2k，
代入a＋3b?3c＝14得，4k＋3?3k?3?2k＝14，
解得k＝2．
所以a＝8，b＝6，c＝4；
（2）4a?3b＋c＝4×8?3×6＋4＝32?18＋4＝18．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
19．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于x轴对称得到的，并写出和的坐标：
画出以点B为位似中心，将放大2倍的位似图形在网格线内作图．
【答案】（1）见解析；，；（2）见解析．
【分析】
直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用位似中心的位置以及位似比得出对应点位置进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：即为所求，
，；
设点的坐标为，
由题意得：点与点重合，即，且点是的中点，
则，
解得，
即，
同理可得，
顺次连接点可得，如图所示：
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20．(本题8分)如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
【答案】当运动时间为s或s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似
【分析】
由题意易得，，则有，，，则可分①当时，则，②当时，则，进而根据相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵∠C＝90°，cosA＝3︰5，
∴，
∵BC＝8cm，
∴，，
∵点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，则有：，
∴，
①当时，则，
∴，即，
解得：，
②当时，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当运动时间为s或s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质及三角函数是解题的关键．
21．(本题8分)四边形是边长为2的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点（不与点重合），连结，交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长．
（2）如图2，点在线段的延长线上时，与相交于点．若．
①求证：．
②求线段的长．
【答案】（1）；（2）①见详解；②
【分析】
（1）先求出AC＝2，根据AB∥CD，证△AGE∽△CGD，得，即，解之即可得出答案；
（2）①由得∠1＝∠2，结合AB∥CD，∠1＝∠4，即可得到结论；②由勾股定理得AM2?DM2＝AD2，从而求得DM＝，再由△ABF∽△MCF，得，进而即可求解．
【详解】
解：（1）在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，
∴AC＝=，
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△CGD，
∴，
即
∴AG＝；
（2）①∵，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴DM＝MG；
②∵是的中点，
∴=1，
∵在Rt△ADM中，AM2?DM2＝AD2，DM＝MG，
∴（DM＋1）2?DM2＝22，
解得：DM＝，
∴CM＝CD?DM＝2?＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△MCF，
∴，即
∴BF＝．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
22．(本题9分)如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．
（1）求证：CE2＝AE?AF；
（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；
（3）若FG＝2，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）先判断出∠ACE＝∠AFC，进而判断出△ACE∽△AFC，得出AC2＝AE?AF，即可得出结论；
（2）先求出∠CAE＝∠CEA＝67.5°，进而求出∠BAF＝∠DCF＝22.5°，即可得出结论；
（3）先求出FH，GH，再判断出AH＝FH＝2，最后判断出EF＝FG，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴，
∴AC2＝AE?AF，
∵AC＝CE，
∴CE2＝AE?AF；
（2）∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC＝45°，
∴∠AFC＝∠AOC＝45°，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣∠ACO）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5°，
∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45°+∠DCF＝67.5°，
∴∠DCF＝22.5°，
∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∠BAF；
（3）如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，
∴∠FGH＝90°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠FHG＝45°，
∴HG＝FG＝2，
∴FH＝2，
∵∠BAF＝22.5°，∠FHG＝45°，
∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5°＝∠BAF，
∴AH＝HG＝2，
∴AF＝AH+FH＝2+2，
由（2）知，∠OAE＝∠OCG，
∵∠AOE＝∠COG＝90°，OA＝OC，
∴△AOE≌△COG（SAS），
∴OE＝OG，∠AEO＝∠CGO，
∴∠OEF＝∠OGF，
连接EG，
∵OE＝OG，
∴∠OEG＝∠OGE＝45°，
∴∠FEG＝∠FGE，
∴EF＝FG＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝2+2﹣2＝2．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求出AF是解本题的关键．
23．(本题10分)如图，在中，，将沿直线翻折得到，连接交于点．是线段上的点，连接．是的外接圆与的另一个交点，连接．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求证：；
（3）当时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】
（1）由折叠的性质可得，则有BF为的外接圆的直径，进而可得，进而问题可求证；
（2）由（1）可得，，进而可得，然后问题可求证；
（3）设EF交AB于点J，连接AE，由（2）可得，，由题意易得四边形是平行四边形，进而可得，则，然后根据相似三角形的性质可得，，，最后问题可求解．
【详解】
证明：（1）由折叠的性质可得，
∵是的外接圆与的另一个交点，
∴BF为的外接圆的直径，
∴，
∴是直角三角形；
（2）由（1）可得，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设EF交AB于点J，连接AE，如图所示：
由（2）可得，，
∵和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴EF∥BD，
∵，
∴AF=DF，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴m的值为．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆周角，熟练掌握相似三角形的性质与判定及圆周角是解题的关键．
试卷第1页，总3页
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2020-2021浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》常考题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．(本题3分)已知，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．(本题3分)如图，直线，另两条直线分别交这三条直线点A、B、C、D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（
）
A．BC：DE=1：2
B．BC：DE=2：3
C．BC·DE=8
D．BC·DE=6
3．(本题3分)如果，，则的面积与的面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
4．(本题3分)用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（
）
①三角形的每个角都扩大10倍；②三角形的每条边都扩大10倍；
③三角形的面积扩大10倍；④三角形的周长扩大10倍．
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③
5．(本题3分)如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（
）
A．三角形相似于三角形
B．三角形相似于三角形
C．三角形相似于三角形
D．三角形相似于三角形
6．(本题3分)如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，不能判定与相似的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
7．(本题3分)如图，在矩形ABCD中，，，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为（
）
A．8
B．
C．
D．
8．(本题3分)如图，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．28cm2
B．27cm2
C．21cm2
D．20cm2
9．(本题3分)如图，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（
）
A．第4张
B．第5张
C．第6张
D．第7张
10．(本题3分)如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结交于点，连结，．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)如果4是a与8的比例中项，那么a的值为_____．
12．(本题3分)线段，为线段上一点（），当______时，点为的黄金分割点．
13．(本题3分)如图，AB∥DE，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC=_____．
14．(本题3分)如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为___．
15．(本题3分)如图，梯形中，,与相交于点,已知,,那么_____
16．(本题3分)已知点、，以原点О为位似中心，相似比位1：4，把缩小，则点A的对应点的坐标是_______________．
17．(本题3分)如图，点O为平行四边形的对角线和的交点，点E为边的中点，连结交于点F，则的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．(本题7分)已知，且.
求：（1）、、的值.
的值.
19．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于x轴对称得到的，并写出和的坐标：
画出以点B为位似中心，将放大2倍的位似图形在网格线内作图．
20．(本题8分)如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
21．(本题8分)四边形是边长为2的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点（不与点重合），连结，交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的长．
（2）如图2，点在线段的延长线上时，与相交于点．若．
①求证：．
②求线段的长．
22．(本题9分)如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．
（1）求证：CE2＝AE?AF；
（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；
（3）若FG＝2，求AE的长．
23．(本题10分)如图，在中，，将沿直线翻折得到，连接交于点．是线段上的点，连接．是的外接圆与的另一个交点，连接．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求证：；
（3）当时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值．
试卷第1页，总3页
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