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2020-2021浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》易错题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．(本题3分)已知，则下列结论一定成立的是（
）
A．，
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据比例的基本性质以及合比性质进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A．由，不能得到x＝3，y＝4，故本选项错误；
B．由，不能得到y﹣x＝1，故本选项错误；
C．由，可得4x＝3y；由，可得xy＝12，故本选项错误；
D．由，可得，即，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键．
2．(本题3分)如图，直线，直线AC分别交于点A，B，C，直线DF分别交于点D，E，F，若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
直接运用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】
由平行线分线段成比例定理可得：，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例定理，理解并熟记基本定理是解题关键．
3．(本题3分)如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的宽为4，则小长方形的宽为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】
解：∵每一个小长方形与原长方形相似，小长方形的宽为x
∴
解得，x=或x=-
(舍去)，
故选：A
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
4．(本题3分)如图，△和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，，则△和△ABC的位似比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据位似图形中对应边平行，对应边的比为两个图形的位似比，利用相似三角形性质求出即得位似比．
【详解】
∵与是位似三角形
∴∽
∴＝
∵
∴
∴＝1：3
故选：B
【点睛】
本题考查了位似图形的位似比，注意位似比为两个三角形对应边的比．
5．(本题3分)晓明描述了下列关于位似图形的语句：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中描述语句是真命题的序号为（
）
A．②③
B．①②
C．③④
D．②③④
【答案】A
【分析】
分别利用位似图形的性质以及位似图形的定义分析得出答案．
【详解】
解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故错误；
②位似图形一定有位似中心，正确；
③如果两个图形是相似图形，且对应点的连线相交于一点，那么，这两个图形是位似图形，正确；
④位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，故错误．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了位似图形的性质以及位似图形的定义，正确利用位似图形的性质分析是解题关键．
6．(本题3分)已知P是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项．
【详解】
解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
7．(本题3分)如图，在矩形中，，，点E在上，，连，作的垂直平分线，交的延长线于点F，则的长是（
）
A．5
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】
根据勾股定理求出CE的值，再证明Rt△FCH∽Rt△CEB，进而求得FC的值，进而即可求解．
【详解】
解：∵在矩形中，，，，
∴BE＝1，
∴CE＝=，
∵HF是CE的垂直平分线，
∴CH＝CE＝，
∵FH⊥CE，
∵CF∥AB，
∴∠FCH＝∠CEB，
∴Rt△FCH∽Rt△CEB，
∴，即，
∴FC＝5，
∴DF＝5-4＝1．
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了线段垂直平分线的定义．
8．(本题3分)如图，在?ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】
由题意可得△BOC的面积为4，通过证明△DOE∽△BOC，可求S△DOE＝1，即可求解．
【详解】
解：∵，△COD的面积是2，
∴△BOC的面积为4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2＋4＝6，
∴△DOE∽△BOC，
∴.（）2＝，
∴S△DOE＝1，
∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
9．(本题3分)如图，，射线和互相垂直，点D是上的一个动点，点E在射线上，，作并截取，连结并延长交射线于点C．设，，则y关于x的函数解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．
【详解】
解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，FG=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y-3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC=FG：AB，
即，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线分线段成比例，辅助线的做法是解题的关键．
10．(本题3分)如图，等腰中，于D，的平分线分别交于两点，M为的中点，延长交于点N，连接下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的是（
）
A．①②
B．①④
C．①③
D．②③
【答案】B
【分析】
①正确．证明即可判断．②错误，根据，对应边不相等，即可判断．③错误．先证明，再证明，即可判断．④正确，证明，即可判断．
【详解】
解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
与显然不全等，故②错误，
在和△中，
，
，
，
，
，故④正确，
，，
，
，
，
，
，故③错误．
故选：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)已知线段a＝4，b＝16，则a，b的比例中项线段的长是_______．
【答案】8
【分析】
设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可得c2＝ab，代入数据可直接求出c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】
解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为4、16的两条线段的比例中项，
∴c2＝ab＝4×16，
∴c2＝64，
∴c＝8或-8（负数舍去），
∴a、b的比例中项为8；
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了比例线段．掌握比例中项的定义，是解题的关键．
12．(本题3分)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则_______．
【答案】2
【分析】
根据题意求得，根据平行线分线段成比例定理解答．
【详解】
∵，
∴=2，
∵l1∥l2∥l3，
∴==2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．(本题3分)如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF：S△FCE＝_____．
【答案】4
【分析】
由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可求：的值．
【详解】
解：四边形ABCD是矩形
，
，
,
折叠
，
在中，
，
，
，且
∽
.
故答案为4.
【点睛】
本题考查翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证∽．
14．(本题3分)如图，矩形，且，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
解：由矩形可得：，即，∴，解得：或（负值舍去）．故答案为：1．
15．(本题3分)如图，矩形ABCD中，点E为AD的中点，连结BE，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在AC上的点A处，若AB＝2，则AC的长度为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
连接A'D，设BE与AC交于点M，由翻折知，BE垂直平分AA'，证明△ABM≌△CDA'，推出A'C＝AM，再证明△BAM∽△CAB，设AM＝A'M＝A'C＝x，则AC＝3x，通过相似三角形对应边的比相等可求出x的值，进一步求出AC的长度．
【详解】
解：如图，连接A'D，设BE与AC交于点M，
由翻折知，BE垂直平分AA'，
∴AB＝A'B＝2，AM＝A'M，AE＝A'E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE＝A'E，
∴点A，A'，D三点在以AD为直径的圆上，
∴∠DA'A＝∠DA'C＝90°＝∠AMB，
∴△ABM≌△CDA'（AAS），
∴A'C＝AM，
∴AM＝A'M＝A'C，
∵∠ABC＝∠ANB＝90°，∠BAM＝∠BAM，
∴△BAM∽△CAB，
∴，
设AM＝A'M＝A'C＝x，则AC＝3x，
∴，
解得，x＝（取正值），
∴3x＝2，
∴AC＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够通过证明三点共圆得到∠AA'D＝90°．
16．(本题3分)如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点，PA交BC于D，已知PB＝3，PC＝6，则PD＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
在PA上截取PE=PB，连接BE，则有△BEP是等边三角形，由SAS证得△ABE≌△CBP，则AE=CP，得到AP=AE+PE=PB+PC，即可求出AP的值，再证明△ABD∽△APB，得到BD和AB的数量关系，再证明△BPD∽△APC，即可求出PD的值．
【详解】
在PA上截取PE＝PB，连接BE，
∵△ABC是等边三角形，∠ACB＝APB，
∴∠ACB＝∠APB＝60°，AB＝BC，
∴△BEP是等边三角形，BE＝PE＝PB，
∴∠ACB﹣∠EBC＝APB﹣∠EBC＝60°﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBP，
∵在△ABE与CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP，
∴AE＝CP，
∴AP＝AE+PE＝PB+PC，
∵PB＝3，PC＝6，
∴PA＝6+3＝9，
∵∠BAP＝∠DAB（公共角），
∠ABC＝∠ACB＝∠APB＝60°，
∴△ABD∽△APD，
∴，
∴，
∴BD＝AB＝AC，
∵∠PBD＝∠PAC，
∠BPD＝∠APC＝60°，
∴△BPD∽△APC，
∴，
∴，
∴PD＝6×＝2．
故答案为2．
【点睛】
本题通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、求出某些线段的长度，再利用相似的判定定理和性质定理去求出未知线段的长度，综合性很强．
17．(本题3分)如图，是半圆的直径，以弦（非直径）为对称轴将弧折叠，点是折叠后的弧与的交点，若，则____．
【答案】
【分析】
连接AC，把△ACB沿BC折叠，得到△BCF，根据△FEC∽A△FAB，列比例式可求FC，再用勾股定理求BC．
【详解】
解：连接AC，把△ACB沿BC折叠，得到△BCF，BF交圆于点E，连接CE，可知，AC=CF，AB=BF=8，BD=BE，AD=EF，
∵是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，即A、C、F在同一条直线上，
∵，
∴BD=BE=2，EF=AD=6，
∵∠A+∠BEC=180°，
∠FEC+∠BEC=180°，
∴∠A=∠FEC，
∠F=∠F，
∴△FEC∽A△FAB，
∴，
∴，
FC=，
AC=，
BC=,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，解题关键是通过翻折作辅助线，构造相似三角形．
三、解答题（本大题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．(本题7分)已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）a＝6，b＝4，c＝12；（2）x的值为．
【分析】
（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可．
【详解】
解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，
又∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝12；
（2）∵x是a、b的比例中项，
∴x2＝ab，
∴x2＝4×6，
，
∴或（舍去），
即x的值为．
【点睛】
本题考查比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项．
19．(本题7分)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F，若，EF=6，求DE的长.
【答案】DE=3.
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理，可证得?
，再根据AB与AC的比值及EF的长，就可求出DE的长.
【详解】
解:∵l1∥l2∥l3，
∴
设DE=k，则DF=3k，EF=DF-DE=2k,
∵EF=6,
∴2k=6，解得k=3,
∴DE=3
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例，根据定理得到比例式是解题的关键.
20．(本题8分)如图1，在
Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
于点D，过
A
作直线分别交
CB，CD
于点
E，F，且
CE=CF.
（1）求证：；
（2）若∠ACD=45°，AE=4，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由等边对等角，邻补角的性质，直角三角形两锐角互余可证，根据有两个角对应相等的三角形相似可证；（2）根据相似三角形对应线段成比例可知，易求AF长.
【详解】
（1）
证明：
又
（2）解：
由（1）知
，即
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练应用相似三角形的判定定理及性质是解题的关键.
21．(本题8分)如图，内接于，且，是是上的一点，在的延长线上，连结交于，连结．
（1）求证：平分；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）据等边对等角，判定∠DCB=∠DBC，再据同弧所对圆周角相等，判定∠DAC=∠DBC，再据圆内接四边形性质判定∠EAD=∠DCB，最后得证平分；
（2）运用等边对等角和同弧所对圆周角相等证得∠CFB=∠DCB，据△BCF和△BDC还有一个公共角，由有两个角对应相等的三角形相似，证得．
【详解】
如下图
（1）∵
∴
又∵，
∴，即平分．
（2）∵
∴
又∵，
∴
又∵
∴．
【点睛】
此题考查圆周角的相关知识及圆内接四边形的性质．找准图形正确运用相关知识是关键．
22．(本题9分)如图，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据三角形外角的性质易证，再根据∠C为公共角，即可证明相似；
（2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB的值．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB；
（2）∵，
∴，
∵△CBD∽△CAB，
∴，
∴，即．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质．在证明三角形相似时，不要忽略公共角相等这一条件．
23．(本题10分)如图，在正方形中，点在边上，连接的平分线与边交于点，与的延长线交于点．设．
（1）若，求线段的长．
（2）连接，若．
①求证：点为边的中点．
②求的值．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．
【分析】
（1）根据AB=2，a=1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到a的值．
【详解】
解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG=∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAG，
∴∠EAG=∠F，
∴EA=EF，
∵AB=2，∠B=90°，
∴BE=EC=1，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：∵EA=EF，EG⊥AF，
∴AG=FG，
在△ADG和△FCG中
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴DG=CG，
即点G为CD的中点；
②设CD=2m，则CG=m，
由①知，CF=DA=2m，
∵EG⊥AF，∠GCF=90°，
∴∠EGC+∠CGF=90°，∠F+∠CGF=90°，∠ECG=∠GCF=90°，
∴∠EGC=∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC=m，FC=2m，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
试卷第1页，总3页
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2020-2021浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》易错题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．(本题3分)已知，则下列结论一定成立的是（
）
A．，
B．
C．
D．
2．(本题3分)如图，直线，直线AC分别交于点A，B，C，直线DF分别交于点D，E，F，若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
3．(本题3分)如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的宽为4，则小长方形的宽为（
）
A．
B．
C．
D．
4．(本题3分)如图，△和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，，则△和△ABC的位似比为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．(本题3分)晓明描述了下列关于位似图形的语句：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中描述语句是真命题的序号为（
）
A．②③
B．①②
C．③④
D．②③④
6．(本题3分)已知P是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．(本题3分)如图，在矩形中，，，点E在上，，连，作的垂直平分线，交的延长线于点F，则的长是（
）
A．5
B．
C．
D．1
8．(本题3分)如图，在?ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．(本题3分)如图，，射线和互相垂直，点D是上的一个动点，点E在射线上，，作并截取，连结并延长交射线于点C．设，，则y关于x的函数解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
10．(本题3分)如图，等腰中，于D，的平分线分别交于两点，M为的中点，延长交于点N，连接下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的是（
）
A．①②
B．①④
C．①③
D．②③
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)已知线段a＝4，b＝16，则a，b的比例中项线段的长是_______．
12．(本题3分)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则_______．
13．(本题3分)如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF：S△FCE＝_____．
14．(本题3分)如图，矩形，且，，则的长为__________．
15．(本题3分)如图，矩形ABCD中，点E为AD的中点，连结BE，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在AC上的点A处，若AB＝2，则AC的长度为_____．
16．(本题3分)如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点，PA交BC于D，已知PB＝3，PC＝6，则PD＝_____．
17．(本题3分)如图，是半圆的直径，以弦（非直径）为对称轴将弧折叠，点是折叠后的弧与的交点，若，则____．
三、解答题（本大题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．(本题7分)已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
19．(本题7分)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F，若，EF=6，求DE的长.
20．(本题8分)如图1，在
Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
于点D，过
A
作直线分别交
CB，CD
于点
E，F，且
CE=CF.
（1）求证：；
（2）若∠ACD=45°，AE=4，求的长．
21．(本题8分)如图，内接于，且，是是上的一点，在的延长线上，连结交于，连结．
（1）求证：平分；
（2）若，求证：．
22．(本题9分)如图，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．(本题10分)如图，在正方形中，点在边上，连接的平分线与边交于点，与的延长线交于点．设．
（1）若，求线段的长．
（2）连接，若．
①求证：点为边的中点．
②求的值．
试卷第1页，总3页
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