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2020-2021浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》竞赛题
一，单项选择题（本大题共8小题,每题5分，共40分）
1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形中，以点B为圆心，为半径作，再以为直径作半圆交于点E，若边长，则的面积为（
）
A．20
B．
C．24
D．
【答案】A
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据相似三角形的判定与性质，可以得到DE和CE的值，从而可以求得△CDE的面积．
【详解】
解：取CD的中点F，连接BF、BE、EF，
由题意可得，FE＝FC，BE＝BC，
∴BF是EC的垂直平分线，
∴∠FBC+∠BCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠FBC＝∠DCE，
又∵∠BCF＝∠CED＝90°，
∴△BCF∽△CED，
∴，
∵BC＝10，CD＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，
∴BF＝，
∴，
解得CE＝4，ED＝2，
∴△CDE的面积为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆的有关计算、勾股定理、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质可得点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，通过证明得到，即可将的最小值转化为求的最小值，利用两点之间线段最短即可求解．
【详解】
解：连接AF，
∵，，为中点，
∴，
∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，
在AB上取点G，使得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，
在中，，
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等内容，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系内，矩形的顶点与原点重合，点在第二象限，点和点在第一象限，对角线的中点为点，且点在反比例函数的图像上，若点的纵坐标为4，且，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
过点C作FE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥EF，垂足为F，设点C（a，b），则OE=a，EC=b，用a,b的代数式表示B的坐标，点D的坐标，继而得到a,b的另外一个等式，联立求解即可．
【详解】
如图，过点C作FE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥EF，垂足为F，设点C（a，b），则OE=a，EC=b，
∵四边形OCBA是矩形，∴∠BCO=90°，
∴∠OCE+∠FCB=90°，
∵∠FBC+∠FCB=90°，
∴∠FBC=∠ECO，
∵∠F=∠CEO=90°，
∴△ECO∽△FBC
∴，
∴FB=EC=b，FC=EO=a，
∵点的纵坐标为4，
∴FC+EC=4，
∴a
+b=4，
过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，
则四边形BFEM是矩形，BM=4，
∴OM=OE-ME=a-b，
∵的中点为点，
∴DN是三角形OBM的中位线，
∴DN=2，ON=，
∴点D（，2），
∵点在反比例函数的图像上，
∴×2=ab，
∴a-（4-a）=a（4-a），
∴a-4+3a=4a-
∴=4，
∴a=2或a=
-2，
∵点C在第一象限，
∴a＞0，
∴a=
-2
不符合题意，舍去，
∴a=2，
∴b=4-a=4-2，
∴k=ab=2（4-2）=，
故选A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三角形的相似，互余原理，反比例函数的性质，作垂线构造相似三角形是解题的关键．
4．如图，在等腰中，，．点和点分别是边和边上两点，连接．将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处设与交于点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，∠A=∠B=45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH=B′H=AB′，求得AH=B′H=1，由勾股定理得到BB′=
，由折叠的性质得到BF=，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．
【详解】
解：∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB=AC=4，∠A=∠B=45°，
如图，过B′作B′H⊥AB与H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH=B′H=AB′，
∵AB′=，
∴AH=B′H=1，
∴BH=3，
∴BB′=，
∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴BF=，DE⊥BB′，
∴∠BHB′=∠BFE=90°，
∵∠EBF=∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴，
∴，
∴EF=，
故答案为：
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH·PC；其中正确的有（
）
A．①②③④
B．②③
C．①②④
D．①③
【答案】C
【分析】
根据等边三角形的性质和正方形的性质、相似三角形的判定与性质逐条判断即可．
【详解】
解：在正方形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，
∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45°
∵△BPC是等边三角形
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∴DC=PC
，∠ABE=∠ABC-∠PBC=30°
∴BE=2AE，故①正确；
∵AD∥BC
∴∠PFD=∠BCF=60°
∴∠PFD=∠BPC
同①得：∠DCF=30°
∴∠CPD=∠CDP=75°
∴∠PDF=15°
又∵∠PBD=∠ABD-∠ABE=45°-30°=15°，
∴∠PDF=∠PBD
∴△DFP∽△BPH，故②正确；
∵∠PDB=∠CDP-∠BCD=75°-45°=30°，∠PFD=60°
∠BPD=135°，∠DPF=105°
∴∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC
∴△DPH∽△CDP
∴
∴PD2=PH·CD，故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．．
6．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（
）
A．与，，的值均有关
B．只与，的值有关
C．只与，的值有关
D．只与，的值有关
【答案】D
【分析】
连接AD、BE，先由垂径定理得，再根据得，用和表示出CE的长，即可得到DE的长．
【详解】
解：如图，连接AD、BE，
∵DE为的弦，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故DE的长只与和的值有关．
故选：D．
【点睛】
本题考查垂径定理和相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用垂径定理和相似三角形的性质和判定定理．
7．如图，在中，和是高，，点是的中点，与分别交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①②④
【答案】D
【分析】
根据余角的性质得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质和直角三角形的性质得到，，求得，故①正确；根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，故②正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到；故③错误；根据相似三角形的性质得到．故④正确．
【详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，故①正确；
，
是等腰直角三角形，
，
在与中，
，
，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
，
；故③错误；
，，
，，
，
，
．故④正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由是等边三角形，＝＝＝60°，
由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝，
由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证
，利用性质
，即，解方程即可
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴
＝＝＝60°，
∵
沿DE折叠C落在AB边上的点F上，
∴
，
∴
＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2，
设AF=m，BF=2m，AB=3m，
设＝x，＝DF＝，
∵BE=2，BC＝，
∴
CE＝，
∵
＝，＝60°，
∴
＝120°，＝120°，
∴
＝，
∵
＝，
∴
，
∴
，
即，
解得：，使等式有意义，
∴
＝，
故选择：A．
【点睛】
本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）
9．如图，点B，D在x轴正半轴上，点A，C在函数的图象上，，且，设的面积分别为，则的值为________；当时，的值为________．
【答案】
【分析】
作轴于M，轴于N，由题意可设
，又易证，即得．令，则．即点，点，即有，整理得，解出，故；当时，，再根据即可求出的值．
【详解】
解：如图，作轴于M，轴于N，
∵，
∴设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，
∴，
∴点，点，
∵点A，C在函数的图象上，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴．
当时，，
∴．
故答案为：，．
【点睛】
本题是反比例函数与几何综合题，考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数k的几何意义．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
10．如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值__________
【答案】
【分析】
先构造出相似三角形，根据相似三角形的性质求得边长比，将最小值转化成求BD的值，利用勾股定理求解
【详解】
如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD=
因为A（-2,0）
∴OA=2
在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D
∴OP’=OC=3
∴，
∴
∵∠P’OA=∠DOP’
∴△P’OA∽△DOP’
∴
∴P’D=P’A
∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值
连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长
∴
即最小值为
故答案为
【点睛】
本题主要考察相似三角形的判定和性质、圆的动点问题、勾股定理，使用相似三角形作为突破点是解题的关键，后进行最小值的转化
11．在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，且AO＝AB＝2，点E在线段OB上运动，当△AOE和△ABE都为等腰三角形时，点E的坐标为_____．
【答案】(2，0)或或
【分析】
分情况讨论，利用等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行求解．
【详解】
（1）当AO=AE时：
∵AO=AB，
∴AE与AB重合，不存在△ABE，同理AB不能与AE相等；
（2）当OA=OE时：
①若BA=BE，则AO+AB=OE+EB=OB，不存在△AOB；
②若EA=EB，如图所示，
∵AO＝AB＝2，
∴OE=2，
∵AO=AB，EA=EB，
∴∠AOB=∠ABO=∠EAB，
又∵∠ABO=∠ABO，
∴△ABE∽△OBA，
∴，即，
∴，
∴此时△AOB存在，E(2，0)；
（3）当EA=EO时：
①若EA=EB，如图所示，
此时∠AOB=∠ABO=∠OAE=∠BAE，
∴∠OAB=90°，E为OB中点，
∵AO=AB，
∴AE⊥OB，
∴，
∴，
∴；
②若BA=BE，如图所示，
∵AO=AB，EA=EO，
∴∠AOB=∠ABO=∠EAO，
又∵∠AOB=∠AOB，
∴△AOE∽△BOA，
∴，即，
∴，
∴，
综上所述，点E的坐标为(2，0)或或．
故答案为：(2，0)或或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定及勾股定理，根据题意分情况讨论并正确画出图形是解题的关键．
12．如图，在ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，＝15，则＝_____．
【答案】．
【分析】
过点F作FG⊥BN于G，先证，可证，再证≌，可得，设ED=x，可得，，
可证，可得，由＝15，可求
由把代入计算即可．
【详解】
解：过点F作FG⊥BN于G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
设ED=x，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵＝15，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积，掌握等腰三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积是解题关键．
13．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，AD＝DB，BE⊥DC于E，连接AE并延长交BC与F，以下说法正确的有_____．（直接填序号）
①BE＝DE?EC；②EA＝EB；③AE：EF＝3：2；④FC2＝FE?FA．
【答案】①③④．
【分析】
证明△BED∽△CEB，列比例式，过D作DP∥BC，交AF于P，求出相似比，设设ED＝x，通过比例式表示出其他线段长，进而判断各结论是否正确．
【详解】
解：∵BE⊥CD，
∴∠DEB＝∠CEB＝90°，
∵∠DBE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠DBE＝∠BCE，
∴△BED∽△CEB，
∴，
∴BE2＝DE?EC，
故①正确；
∵AB＝BC，AD＝BD，
∴BD＝BC，
由①知：△BED∽△CEB，
∴，
设ED＝x，则BE＝2x，CE＝4x，
∴BD＝AD＝x，BC＝AB＝2x，
过D作DP∥BC，交AF于P，
∴，，
∴CF＝4PD，BF＝2PD，
EF＝4PE，AP＝PF=5PE，AF＝10PE，
∴CF＝2BF，，，
∴BF＝BC＝，CF＝，
由勾股定理得：AF＝，
∴AE＝，
∴AE≠BE，
故②不正确，③正确；
④由②得：FC＝，FE＝，AF＝，
∴FC2＝，
FE?FA＝，
∴FC2＝FE?FA，
故④正确；
本题正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，关键在灵活应用性质定理，学会用利用参数表示线段的长．
14．如图，在四边形ABCD中，，，，，，则BD的长为___________．
【答案】
【分析】
作，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证明∠ACB=∠CDM，得出，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．
【详解】
解：如图，连接
过作交的延长线于
故答案为：
【点睛】
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，相似三角形的判定与性质，掌握构建三角形相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共4小题,15题，16题7分，17,18题8分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在中，，点在边上，，分别连接．
（1）如图1，三点在同一条直线上．
①若，求的长；
②求证：．
（2）如图2，若，分别是的中点，求的值．
【答案】（1）①；②见解析；（2）
【分析】
（1）①根据相似三角形的性质证得，进而证明，由三角形相似的性质得出，设，则答案可解；②根据相似三角形的性质证得，由SAS可证得，得出，进而证得，由相似三角形的性质即可解得答案；
（2）连接，由（1）得，可得出，进而证得，得出，通过等量代换得出，证得，再通过勾股定理求得，则答案可解．
【详解】
解：（1）①∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
解得（负值已舍去），即的长为；
②证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，由（1）得，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵,
∴,
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵D是AC的中点，
设，则，
∴,
∴，
∴,
∴，
∴
【点睛】
本题考查了三角形的综合运用，用到的知识点有三角形相似的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．
16．如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图（1），∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；
（2）如图（2），求证：BE＝CF；
（3）如图（3），连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．
【答案】(1)45°，（2）证明见解析，（3）．
【分析】
(1)
连接DF，作AM⊥DF，AN⊥EF，垂足分别为M、N，证四边形AMFN是正方形即可；
(2)
连接AC，作AN⊥EF，垂足为N，证△CAF∽△BAN，列比例式即可；
(3)
连接AC，取AC中点O，连接OG，根据中位线性质确定G点运动轨迹，再根据弧长公式计算即可．
【详解】
解:(1)连接DF，作AM⊥DF，AN⊥EF，垂足分别为M、N，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴∠DFA=∠EFA，
∴AM=AN，
∵AD=AB，
∴Rt△AMD≌Rt△ANB，
∴∠MAD=∠NAB，
∵∠MAD+∠MAB=90°，
∴∠NAB+∠MAB=∠MAN=90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∴∠AFE=45°；
(2)
连接AC，作AN⊥EF，垂足为N，
由（1）可知，，∠CAB=∠FAN=45°，
∴∠CAF=∠BAN，
∴△CAF∽△BAN，
，
∴BN=FC，
∵AB=AE，
∴BE=2BN，
∴BE=FC；
(3)连接AC，取AC中点O，连接OG，
∵G是CE的中点，
∴OG=AE=，
∴点G在以O为圆心，为半径的圆上，
当点P与C重合时，G与BC中点重合，当点P与B重合时，G与BA中点重合，
点G运动的路径是以为半径，圆心角为90°的弧长，
路径长为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质，解题关键是恰当的作辅助线，构造全等三角形和相似三角形，通过线段相等或成比例解决问题．
17．如图，⊙是的外接圆，弦AE交BC于点D，且．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接BE，证明△ABD∽△AEB，进而可得结论；
（2）连接OC，连接AO并延长交BC于点H，证明△AFB∽△OFA．进而可求⊙O的半径．
【详解】
解：（1）证明：如图1，连接BE，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴AB＝AC；
（2）如图2，连接OC，连接AO并延长交BC于点H，
∵AF＝4，CF＝5，
∴AB＝AC＝AF+CF＝4+5＝9，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴A、O在BC的垂直平分线上，
∴，
又AB＝AC，
∴AH平分，
∴，
∵OA＝OB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的基本性质和定理；熟悉三角形相似的判定条件和性质，圆的基本性质和定理是解决本题的关键．
18．如图，为正方形的对角线上一点，过作的垂线交于，连，取中点．
（1）如图1，连，试证明；
（2）如图2，连接，并延长交对角线于点，试探究线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，延长对角线至，延长至，连，若，且，则____________．（直接写出结果）
【答案】（1）证明见详解；（2），证明见详解;（3）．
【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；
（2）在AD上方作AF⊥AN，使AF=AN，连接DF、MF，证△ABN≌△ADF（SAS），得BN=DF，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM≌△FAM（SAS），得MN=MF，在Rt△FDM中，由勾股定理得FM2=DM2+FD2，进而得出结论；
（3）BD为正方形对角线，可得，可求可得，可证
，可得由，设BC=x，可得，利用构造方程解方程即可．
【详解】
解：（1）四边形是正方形，
，，
，
，
是的中点，
，
，，
；
（2），理由如下：
在上方作，使，连接、，OF，如图2所示：
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
由（1）知，AO=OM，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
即；
（3）∵BD为正方形对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，设BC=x，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴(负值舍去)，
∴，
∴BC=．
故答案为：．
．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理相似三角形判定与性质；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等和相似，利用PQ长构造方程是解题的关键．
试卷第1页，总3页
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2020-2021浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》竞赛题
一，单项选择题（本大题共8小题,每题5分，共40分）
1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形中，以点B为圆心，为半径作，再以为直径作半圆交于点E，若边长，则的面积为（
）
A．20
B．
C．24
D．
2．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在平面直角坐标系内，矩形的顶点与原点重合，点在第二象限，点和点在第一象限，对角线的中点为点，且点在反比例函数的图像上，若点的纵坐标为4，且，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在等腰中，，．点和点分别是边和边上两点，连接．将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处设与交于点，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH·PC；其中正确的有（
）
A．①②③④
B．②③
C．①②④
D．①③
6．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（
）
A．与，，的值均有关
B．只与，的值有关
C．只与，的值有关
D．只与，的值有关
7．如图，在中，和是高，，点是的中点，与分别交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①②④
8．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）
9．如图，点B，D在x轴正半轴上，点A，C在函数的图象上，，且，设的面积分别为，则的值为________；当时，的值为________．
10．如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值__________
11．在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，且AO＝AB＝2，点E在线段OB上运动，当△AOE和△ABE都为等腰三角形时，点E的坐标为_____．
12．如图，在ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，＝15，则＝_____．
13．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，AD＝DB，BE⊥DC于E，连接AE并延长交BC与F，以下说法正确的有_____．（直接填序号）
①BE＝DE?EC；②EA＝EB；③AE：EF＝3：2；④FC2＝FE?FA．
14．如图，在四边形ABCD中，，，，，，则BD的长为___________．
三、解答题（本大题共4小题,15题，16题7分，17,18题8分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在中，，点在边上，，分别连接．
（1）如图1，三点在同一条直线上．
①若，求的长；
②求证：．
（2）如图2，若，分别是的中点，求的值．
16．如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图（1），∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；
（2）如图（2），求证：BE＝CF；
（3）如图（3），连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．
17．如图，⊙是的外接圆，弦AE交BC于点D，且．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．
18．如图，为正方形的对角线上一点，过作的垂线交于，连，取中点．
（1）如图1，连，试证明；
（2）如图2，连接，并延长交对角线于点，试探究线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，延长对角线至，延长至，连，若，且，则____________．（直接写出结果）
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