5.1.1 矩形的性质同步练习（含解析）

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初中数学浙教版八年级下册5.1.1
矩形的性质
同步练习
一、单选题
1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（???
）
A.?3
????????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?2
????????????????????????????????????????D.?3
2.如图
，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
3.矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（???
）
A.?12?????????????????????????????????????????B.?24?????????????????????????????????????????C.?48?????????????????????????????????????????D.?50
4.如图，在长方形钟面示意图中，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形宽为
40cm
，
钟面数字
2
在长方形的顶点处，则长方形的长为（???
）cm
A.?80?????????????????????????????????????????B.?60?????????????????????????????????????????C.?50?????????????????????????????????????????D.?40
5.一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为
，
，
，那么第四个顶点的坐标为（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
6.如图，已知，矩形ABCD中，AB=3
cm，AD=9
cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（??
）
A.?3
cm??????????????????????????????????B.?4
cm??????????????????????????????????C.?5
cm??????????????????????????????????D.?
cm
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，则∠BOC的大小为（??
）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?60°??????????????????????????????????????C.?90°??????????????????????????????????????D.?120°
8.矩形不一定具有的性质是（
??）
A.?对角线互相平分????????????????B.?对角线互相垂直????????????????????C.?对角线相等????????????????D.?是轴对称图形
9.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（??
）
A.?对角相等???????????????????B.?对角线相等???????????????????C.?对角线互相平分???????????????????D.?对角线互相垂直
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，下列说法正确的是（???
）
A.?边CD的长也逐渐增大??????B.?∠AOB也逐渐增大??????C.?边OD的长也逐渐增大??????D.?∠ACB也逐渐增大
二、填空题
11.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长是________.
12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝________°．
13.矩形的一个角的平分线分一边为2和4两部分，则这个矩形的对角线的长________．
14.如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点.若BD＝8，则MN的长为________.
三、解答题
15.求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
16.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=15，AB=9.
求：
（1）FC的长；
（2）EF的长.
17.在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
答案解析部分
一、单选题
1.
A
考点：勾股定理，矩形的性质
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝6，
∴AO＝OB＝3，
∵∠ABO＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝3＝OA，
∴AD＝
＝3
，
故答案为：A．
分析：由矩形的性质可得AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝6，可证△AOB是等边三角形，可得AB＝3＝OA，由勾股定理可求解．
2.
C
考点：勾股定理，矩形的性质
解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，阴影部分长方形的长为=5
∴长方形的面积=1×5=5
故答案为：C.
分析：根据勾股定理求出矩形的长，继而由矩形的面积求出答案即可。
3.
C
考点：勾股定理，矩形的性质
解：∵矩形的两邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为10，
∴（3x）2+（4x）2＝102
，
解得：x＝2，
∴矩形的两邻边长分别为：6，8；
∴矩形的面积为：6×8＝48．
故答案为：C．
分析：设矩形的两邻边长分别为3x、4x，根据勾股定理可得（3x）2+（4x）2＝102
，
解方程求得x的值，即可求得矩形两邻边的长，根据矩形的面积公式即可求得矩形的面积.
4.
A
考点：矩形的性质
解：如上图，矩形的宽对应2个空格，长为40cm
∴1个空格的长度为：40÷2=20cm
矩形的长对应4个空格
∴长为：4×20=80cm
故答案为：A
分析：根据矩形的宽40cm对应2个空格长度，得到1个空格长度，利用矩形的长对应4个空格长求得.
5.
A
考点：点的坐标，矩形的性质
解：在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（-1，2），两点的横坐标相同，这两点连线平行y轴，第四点与（3，-1）连线也平行y轴，则第四点的横坐标为3，由于在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（3，-1）纵坐标相同，此两点连线平行x轴，为此（-1，2），与第四点两线平行x轴，则第四点的纵坐标为2，所以第四点的坐标为（3，2），
故答案为：A．
分析：先做出平面直角坐标系，将点坐标标号，再利用长方形的性质求点坐标即可。
6.
B
考点：勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质
解：∵矩形ABCD折叠后点B与点D重合，
∴BE=ED，设AE=x，则ED=9–x，BE=9–x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2
，
即32+x2=（9–x）2
，
解得x=4，
∴AE的长是4
cm.
故答案为：B.
分析：根据折叠的性质可得BE=ED，设AE=x，表示出BE=9-x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得出答案.
7.
D
考点：矩形的性质
解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OA，
∴∠ABD＝∠OAB＝60°，
∴∠BOC＝∠OAB+∠ABD＝60°+60°＝120°.
故答案为：D.
分析：据矩形的对角线互相平分且相等可得OB＝OA，再根据等边对等角可得∠ABD＝∠OAB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
8.
B
考点：矩形的性质
解：矩形的性质是对角线互相平分且相等，但不一定互相垂直，只有正方形对角线互相垂直平分且相等，矩形也是轴对称图形，对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
故答案为：B
分析：根据矩形的性质分析判断，矩形对角线互相平分且相等，其对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
9.
B
考点：平行四边形的性质，矩形的性质
解：A、矩形每个角都是直角当然相等，故本选项不符合；
B、平行四边形中矩形特有的，故本选项符合；
C、平行四边形都具备，矩形是平行四边形，故本选项不符合；
D、平行四边形都具备，矩形是平行四边形，故本选项不符合；
故答案为：B.
分析：利用矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分，再观察各选项，可得答案。
10.
C
考点：矩形的性质
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD=
BD，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，
∵边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，
∴CD的长不变，AC，BD的长逐渐增大，∠BAC的度数逐渐增大，
∴边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，
故答案为：C．
分析：由矩形的性质可得AB=CD，OA=OB=OC=OD=
BD，∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，由若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，可得边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，即可求解．
二、填空题
11.
4
考点：矩形的性质
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OA=2，
∴BD=4.
故答案为：4.
分析：根据矩形的对角线相等且互相平分的性质解答即可.
12.
考点：矩形的性质
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
，OA=OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴
，
∴
，
∵AE⊥BD，
∴
，
∴
，
．
故答案是
．
分析：由已知条件可先求得
，在Rt△ABE中可求得
，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得
，即可求得结果；
13.
2
或
2
考点：矩形的性质
解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，BE是∠ABC的角平分线，
∴AD=BC，AB=DC，AC＝BD，∠A＝90°，∠ABE＝∠CBE=45°，
∴AB＝AE；
当AE＝2，ED=4时，
则AB＝2，AD＝6，
∴BD＝
＝2
；
当AE＝4时，ED=2时，
则AB＝4，AD＝6，
∴BD＝
＝2
；
即这个矩形的对角线的长为2
或
2
；
故答案为：2
或
2
．
分析：根据矩形的角平分线会得到一个等腰直角三角形以及矩形的性质，结合勾股定理分情况讨论即可．
14.
2
考点：矩形的性质
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝
BD＝4.
∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN＝
BO＝2.
故答案为2.
分析：根据矩形的性质得到BO的长，再根据中位线的性质进行求解问题.
三、解答题
15.
解：已知：四边形
是矩形，
与
是对角线，
求证：
，
证明：
四边形
是矩形，
，
，
又
，
，
，
所以矩形的对角线相等
考点：矩形的性质
分析：由“四边形
是矩形”得知，
，
，矩形的四个角都是直角，再根据全等三角形的判定原理
判定全等三角形，由此，得出全等三角形的对应边相等的结论．
16.
（1）解：∵矩形对边相等，
∴AD=BC=15
∵折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F处
∴AF=AD=15，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
∴FC=BC·BF=15-12=3
（2）解：折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F处
∴EF=DE
设DE=x，则EC=9·x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
即
解得x=5
即EF的长为5.
考点：勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
分析：（1）?由据矩形的性质，可得AD=BC=15，
根据折叠可得AF=AD=15，
在Rt△ABF中，由勾股定理求出BF=12，由FC=BC-BF即可求出结论；
（2）由折叠可得EF=DE
设DE=x，则EC=9-x，在Rt△EFC中，由勾股定理得建立方程，解出x即可.
17.
（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝
＝
＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2
，
解得：x＝
，
即CE的长为
；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2
，
解得：y＝
，
即CG的长为
.
考点：直角三角形全等的判定（HL），勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝
∠DAC＝18°；
故答案为：18；
分析：（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝
∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
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