5.1.2 矩形的判定 同步练习（含解析）

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初中数学浙教版八年级下册5.1.2
矩形的判定
同步练习
一、单选题
1.已知四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是（??
）
A.?AC⊥BD??????????????????????B.?∠ABC＝90°??????????????????????C.?AC与BD互相平分??????????????????????D.?AB＝BC
2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点的四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（??
）
A.?AB∥DC?????????????????????????????B.?AC=BD?????????????????????????????C.?AC⊥BD?????????????????????????????D.?AB=CD
3.在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°，则下列结论错误的是（??
）
A.?AC＝BD????????????????????????????B.?OA＝OB????????????????????????????C.?AC⊥BD????????????????????????????D.?AB＝CD
4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O
，
添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（??
）
A.?OA＝OC?????????????????????????B.?AC＝BD?????????????????????????C.?DA⊥AB?????????????????????????D.?∠OAB＝∠OBA
5.下列命题中，能判断四边形是矩形的是（???
）
A.?对角线相等????????????B.?对角线互相平分????????????C.?对角线相等且互相平分????????????D.?对角线互相垂直
6.检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（?
）
A.?测量两条对角线是否相等
B.?用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C.?测量两条对角线是否互相平分
D.?测量门框的三个角是否都是直角
7.四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E
，
使DE＝AD
，
连接EB
，
EC
，
DB
．
添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　
)
A.?DB＝DE???????????????????????????B.?AB＝BE???????????????????????????C.?∠ADB＝90°???????????????????????????D.?CE⊥DE
8.如图，?ABCD的对角线
、
交于点
，顺次联结?ABCD各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①
⊥
；②
；③
；④
，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（???
）
A.?1个；??????????????????????????????????B.?2个；??????????????????????????????????C.?3个；??????????????????????????????????D.?4个．
9.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是(???
)
A.?2
??????????????????????????????????????B.?3
??????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????D.?4
10.如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AM=BM，则平行四边形ABCD是（???
）
A.?一般平行四边形??????????????????????????????B.?矩形??????????????????????????????C.?菱形??????????????????????????????D.?正方形
二、填空题
11.工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是________.
12.如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=6，BC=5，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是________
．
13.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC
=BC=
6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是________．
14.如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快________s后，四边ABPQ成为矩形.
三、解答题
15.已知：四边形
，
．求证：四边形
是矩形．
16.如图，
的对角线AC，
BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO=
1，
BO=2，
，求证：四边形OCED是矩形．
17.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，且BC=2AF。
（1）求证：四边形ADEF为矩形；
（2）若∠C=30°、AF=2，写出矩形ADEF的周长。
18.
ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF。
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE-3，DF=5，求矩形BFDE的面积。
答案解析部分
一、单选题
1.
C
考点：矩形的判定
解：四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是AC与BD互相平分，理由如下：
∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
故答案为：C.
分析：四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，又由AC＝BD，即可求得答案.
2.
C
考点：矩形的判定，三角形的中位线定理
解：依题意得：四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形），当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度，四边形EFGH为矩形．
故答案为：C．
分析：根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG＝90度．由此推出AC⊥BD．
3.
C
考点：矩形的判定与性质
解：根据题意作图，如下所示：
∵
，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形.
∵矩形ABCD，
∴AB=CD，OA=OB，AC=BD.
∵条件不足无法判定四边形为菱形，
∴AC⊥BD无法判定，故C错误.
故答案为：C.
分析：本题根据平行四边形的性质，加之∠ABC=90°进行矩形的证明，最后根据矩形性质求解本题.
4.
A
考点：矩形的判定
解：∵四边形ABCD为平行四边形，要是其成为一矩形，
B、AC＝BD，所以平行四边形ABCD是矩形，不能满足条件，B不符合题意；
C、由
得
，所以平行四边形ABCD是矩形，不能满足条件，C不符合题意；
D、由
得OA=OB，则AC=BD，所以平行四边形ABCD是矩形，不能满足条件，D不符合题意．
故答案为：A．
分析：根据矩形的判定，在平行四边形的基础上，一个角是直角，对角线相等均可得到其为矩形．
5.
C
考点：矩形的判定
解：A、对角线相等不一定为矩形，也可能为等腰梯形等，故A不符合题意；
B、对角线互相平分不一定为矩形，也可能为一般的平行四边形，故B不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故C符合题意；
D、对角线互相垂直不一定为矩形，也可能为菱形，故D不符合题意．
故答案为：C．
分析：根据矩形的判定定理逐一判定即可．
6.
C
考点：矩形的判定
解：.A.对角线相等平行四边形一定是矩形，不符合题意；
B.有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，不符合题意;
C.两条对角线是否互相平分只能证明是否为平行四边形，不能说明是不是是矩形，符合题意；
D.
根据矩形的判定，三个角都为直角，四边形就是矩形，不符合题意．
故答案为：C．
分析：根据矩形的判定定理逐一判断即可．
7.
A
考点：矩形的判定
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵DE＝AD，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵DB=DE，∴?DBCE为菱形，故本选项符合题意；
B、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴∠EDB=90°，∴?DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴?DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴?DBCE为矩形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
分析：根据矩形的判定方法求解即可。
8.
C
考点：矩形的判定
解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=DO．
∵C△ABO=C△CBO
，
∴AB=BC．
根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO=∠ADO．
∵∠DAO=∠CBO，∴∠ADO=∠DAO．
∴AO=OD．
∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④∵∠DAO=∠BAO，BO=DO，
∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴新四边形是矩形．符合条件．
所以①②④符合条件．
故答案为：C．
分析：根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
9.
A
考点：矩形的判定与性质
解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC=
=2
．
∴BE=CD=
．
∴四边形BCDE的面积为：2×
=2
．
故答案为：A．
分析：根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.
10.
B
考点：全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定，线段的中点
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M是CD的中点，
∴CM=DM，
在△ADM和△BCM中，
，
∴△ADM≌△BCM（SSS）；
∴∠ADM=∠BCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM+∠BCM=180°，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：B
分析：
首先利用平行四边形的对边平行且相等，得出AD=BC，AD∥BC，以及M是CD的中点，AM=BM，利用SSS证得△ADM≌△BCM，利用全等三角形的对应角相等得出∠ADM=∠BCM，利用两直线平行互补得出∠ADM+∠BCM=180°，进一步得出∠ADM=∠BCM是直角，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形ABCD是矩形．
二、填空题
11.
四个角都是90°的四边形是矩形
考点：矩形的判定
解：用直角尺判定门框的四个角是否都为90°，故采用的判定方法是“四个角都是90°的四边形是矩形”，故填“四个角都是90°的四边形是矩形”
分析：根据矩形的判定定理，可得出四个角都是90°的四边形是矩形。
12.
考点：矩形的判定与性质
解：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠B=90°，AB∥CD，AD∥BC
∵EF//AD，HG//AB
∴四边形AHIE和四边形IFCG为矩形
∴HE=AI，FG=CI
∴HE+FG的长度也就是AI+CI的长度
又因为AI+CI≥AC
∴当A，I，C三点共线时，AI+CI最小，即AC的长度
在Rt△ABC中，
∴HE+FG的最小值为
故答案为：
分析：由EF//AD，HG//AB，结合矩形的性质可得四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，然后根据矩形的性质可的HE+FG的长度也就是AI+CI的长度，然后利用两点之间，线段最短求其最小值即可．
13.
12
考点：矩形的判定与性质
解：∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°．∴四边形FCGE是矩形．
∴FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，∴∠BEG=∠A=45°=∠B．∴EG=BG．
同理AF=EF，
∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12．
故答案为：12
分析：先求出∠C=∠EFC=∠EGC=90°，再证明EG=BG和AF=EF，最后计算求解即可。
14.
10
考点：矩形的判定与性质
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，此时AQ=BP
∴3x=40-x
∴x=10
故答案为：10.
分析：根据矩形的四个角都是直角且对边相等得出∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm，根据运动的观点来看，DQ=x，BP=3x，故AQ=40-x，当四边形ABPQ成为矩形时，AQ=BP，从而即可列出方程，求解即可.
三、解答题
15.
证明：在四边形
中，
，
，
，
∴四边形
是矩形．
考点：矩形的判定
分析：证出
，
直接利用三个角是直角的四边形是矩形，进而得出即可。
16.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=
，
∵将△ABO平移到△DCE，
∴AO=DE=1，BO=CE=2，
∴CO=DE，DO=CE，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵CO2+DO2=1+4=5，CD2=5，
∴CO2+DO2=CD2
，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
考点：矩形的判定
分析：由平行四边形的性质可得AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=
，由平移的性质可得AO=CO=DE=1，DO=CE=BO=2，可证四边形OCED是平行四边形，由勾股定理的逆定理可证∠COD=90°，可得结论．
17.
（1）证明：连接DE，
∵E、F分别是AC，BC中点
∴EF//AB,EF=
AB
∵点D是AB中点
∴AD=
AB,AD=EF
∴四边形ADFE为平行四边形
∵点D、E分别为AB、AC中点
∴DE=
BC,
∵BC=2AF
∴DE=AF
∴四边形ADEF为矩形
（2）解：∵四边形ADFE是矩形，
∴∠BAC=∠FEC=90°，
∵AF=2，F为BC中点，
∴BC=4，CF=2，
∵∠C=30°
∴AC=
，CE=
，EF=1，
∴AE=
∴矩形ADEF的周长为
考点：矩形的判定与性质
分析：（1）连接DE．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAC=∠FEC=90°，解直角三角形即可得到结论．
18.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF=5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE=
=4，
∴矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20
考点：矩形的判定
分析：（1）先判断四边形BFDE是平行四边形，再判断出一个角等于90°，即证明出四边形BFDE是矩形。
（2）先根据角相等得出
AD=DF，再根据勾股定理求出DE，就能求出矩形BFDE的面积。
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