第四章 平行四边形基础巩固训练（含解析）

初中数学浙教版八年级下册第四章 平行四边形 基础巩固训练
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1. 下面列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（?? ）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
2. 从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
3. 一个多边形内角和是720?，则这个多边形的对角线条数为（??? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?12
4. 下列说法中，正确的个数有：（ ??）
①同旁内角互补；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④平行线间的距离处处相等．
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
5. 在平行四边形 ABCD 中，若 ∠A=2∠B ，则 ∠D 的度数是（? ）
A.?50°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?70°???????????????????????????????????????D.?80°
6. 如图，在 ?ABCD 中， AC 、 BD 相交于点O， AB⊥AC ，若 AB=4 ， AC=6 ，则 ΔCOD 的周长是（?? ）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?16
7. 能判定四边形ABCD是平行四边形的是（??? ）
A.?AB∥CD,AB＝CD???????????B.?AB＝BC,AD＝CD???????????C.?AC＝BD,AB＝CD???????????D.?AB∥CD,AD＝CB
8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BC边上的中点，若 OE=2,AD=5 ，则平行四边形ABCD的周长为（? ）?
?
A.?9?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?18?????????????????????????????????????????D.?20
9. 用反证法证明命题“在四边形中至少有一个内角不大于90°”时，首先应假设（?? ）
A.?每个内角都小于90°
B.?每个内角都大于90°
C.?没有一个内角大于90°
D.?每个内角都等于90°
10. 如图 ∠1,∠2,∠3 是正五边形 ABCDE 的三个外角，若 ∠A+∠B=230°, 则 ∠1+∠2+∠3 =（??? ）
A.?140°?????????????????????????????????B.?180°?????????????????????????????????C.?230°?????????????????????????????????D.?320°
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）
11. 若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是________边形.
12. 如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则 △ACE 的面积为________.
13. 在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是________（只填序号）．
14. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E，F 两点均在对角线 AC 上．要使四边形 BEDF 为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是________（写出一个即可）．
?
15. 如图，AD、BE是△ABC的两条中线，△EDC的面积是2，则△ABD的面积是________．
16. 各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式 S=a+12b-1 （a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 S= ________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
17. (本小题 6分 ) 一个多边形除了一个内角a外，其余内角的和为2680°，求这个多边形的边数和这个内角a的度数.
18. (本小题 6分 ) 如图，在 ?ABCD 中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，测得∠AEB=27°，求∠D的度数．
19. ( 本小题6分 )△ABC 的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证： EF//DG ，且 EF=DG ．
20. ( 本小题8分 ) 在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
21. (本小题 8分 ) 如图是一种儿童的游乐设施—儿童荡板.小明想验证这个荡板上方的四边形是否是平行四边形，现在手头只有一根足够长的绳子，请你帮助他设计一个验证方案，并说明理由.
22. ( 本小题10分 ) 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，DE，BF与对角线AC分别交于点M，N，连接MF，NE．
（1）求证：DE∥BF
（2）判断四边形MENF是何特殊的四边形？并对结论给予证明；
23. ( 本小题10分 ) 如图，由4个全等的正方形组成L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形.
24. ( 本小题12分 ) 如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点 A(-8,O) ，点 C(3,4)BC 交y轴于点 D. 动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点A出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为 f( 秒 ) .
（1）用t的代数式表示： BE= ________， OF= ________
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
（3）当 △BEF 恰好是等腰三角形时，求t的值.
答案解析部分
一、单选题
1. D
考点：轴对称图形，中心对称及中心对称图形
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，所以本选项正确.
故答案为：D.
分析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
2. B
考点：多边形的对角线
解：∵多边形的边数为8，
∴可分成8-2=6个三角形.
故答案为：B.
分析：n边形从一个顶点引对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，据此即可得出答案.
3. C
考点：多边形的对角线，多边形内角与外角
解：多边形的边数 n=720°÷180°+2=6 ；
对角线的条数：6×(6-3)÷2=9．
故答案为：C．
分析：根据n变形内角和公式(n-2)·180°=720，可求出多边形边数，利用n边形对角线为n(n-3)2即可求出结论.
4. C
考点：垂线段最短，平行线的性质，平行线之间的距离
解： ① 两直线平行同旁内角互补，不符合题意；
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；符合题意；
③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；符合题意；
④平行线间的距离处处相等；符合题意；
故答案为：C.
分析：分别利用同旁内角互补的条件；垂线段的性质；点到直线的距离定义；以及平行间距离的特点进行判断。
5. B
考点：平行四边形的性质
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
又∵∠A=2∠B，
∴2∠B+∠B=180°，
解得：∠B=60°，
∴∠D=60°；
故答案为：B．
分析：根据平行四边形的邻边互补，结合已知进行求解.
6. C
考点：勾股定理，平行四边形的性质
解：∵在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，
∴AO=OC= 12 AC=3，CD=AB=4，
∴BO= AB2+AO2=42+32=5 ，
∴OD=BO=5，
∴△COD的周长=OD+OC+CD=5+3+4=12，
故答案为：C.
分析：利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出OD的长，进而解答即可.
7. A
考点：平行四边形的判定
解：A.∵AB//CD，AB＝CD，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A能判定四边形ABCD是平行四边形；
B.如图1，筝形ABCD中，满足AB＝BC，AD＝CD，但四边形ABCD不是平行四边形；
C.如图2，等腰梯形ABCD中，满足AC＝BD，AB＝CD，但四边形ABCD不是平行四边形；
D.如图3，等腰梯形ABCD中，满足AB∥CD，AD＝CB，但四边形ABCD不是平行四边形；
故答案为：A．
分析：根据平行四边形的判定方法，结合举反例即可判断．
8. C
考点：平行四边形的性质，三角形的中位线定理
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∵E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB=2OE=4，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=2×（4+5）=18.
故答案为：C.
分析：根据平行四边形的性质可得O是AC的中点，结合E是BC的中点，可得OE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可得AB的长，则平行四边形的周长可求.
9. B
考点：反证法
解：用反证法证明“中至少有一个内角不大于 90° ”时，等于应先假设：每一个内角都大于90°.
故答案为：B.
分析：至少有一个内角不大于90°的反面是每一个内角都大于90°，据此即可假设.
10. C
考点：多边形内角与外角
解：根据题意，五边形的内角和为： (5-2)×180°=540° ，
∵ ∠1+∠2+∠3=(180°-∠BCD)+(180°-∠CDE)+(180°-∠AED)
=540°-(∠BCD+∠CDE+∠AED) ，
∵ ∠BCD+∠CDE+∠AED=540°-(∠A+∠B) ，
∴ ∠1+∠2+∠3=540°-(540°-230°)=230° ；
故答案为：C.
分析：先求出五边形的内角和，结合 ∠A+∠B=230° ，即可求出答案.
二、填空题
11. 十
考点：多边形内角与外角
解：设所求n边形边数为n，先根据多边形的外角和为360度得到多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，即可得到结果．
由题意得多边形的内角和为1800°-360°=1440°，
设所求n边形边数为n，则180°（n-2）=1440°，解得n=10，
则此多边形是十边形.
分析：利用多边形的内角和和外角和列式求解即可。
12. 8
考点：平行线之间的距离，三角形的面积
解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，因为AE∥BD，所以h=h′，因为△ABD的面积为16，BD=8，所以h=4.则△ACB的面积= 12×4×4 =8.
故答案为：8.
分析：利用平行线间的距离处处相等，根据△ABD的面积及BD的长，可求出BD边上的高，再利用三角形的面积公式可求出△ACE的面积。
13. ②③④
考点：轴对称图形，中心对称及中心对称图形
解：①不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故不符合题意；
②③④都是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
⑤是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故不符合题意；
故本题答案为：②③④．
分析：根据轴对称图形以及中心对称图形的含义，判断得到答案即可。
14. AE=CF(答案不唯一)
考点：平行四边形的判定与性质
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．答案不唯一．
分析：连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可．
15. 4
考点：三角形的面积，三角形的中位线定理
解：∵AD、BE是△ABC的两条中线，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB ， DE= 12 AB ，
∴△ECD∽△ACB ，
∴S△EDC：S△ABC=DE2：AB2=1：4．
S△ABD= 12 S△ABC ，
∴S△EDC：S△ABD=1：2，
∵S△EDC=2
∴S△ABD=4
分析：根据三角形中位线的性质可得DE//AB，DE=12AB，即可得到△ECD∽△ACB ， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S△EDC：S△ABC的比值，再结合S△ABD= 12 S△ABC进行求解.
16. 6
考点：代数式求值
解：由图可知：五边形内部格点有4个，故 a=4
五边形边上格点有6个，故 b=6
∴ S=a+12b-1 ＝ 4+12×6-1=6
故答案为：6．
分析：根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入 S=a+12b-1 计算即可．
三、解答题
17. 解：∵一个多边形的内角和一定是 180° 的倍数，
∴ a+2680° 是 180° 的倍数，且 0180°×15=2700° ，则 a=20° ，
根据多边形内角和公式 180°(n-2) ，这个多边形的边数是17，这个内角a是 20° .
考点：多边形内角与外角
分析：根据多边形内角和公式可知多边形的内角和度数一定是 180° 的倍数，找到合适的度数，看它是 180° 的几倍，就可以算出边数和内角a的度数.
18. 解： ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC,∠D=∠ABC
∴∠CBE=∠AEB
∵∠AEB=27°
∴∠CBE=27°
又 ∵BE 是 ∠ABC 的平分线
∴∠ABC=2∠CBE=54°
∴∠D=54°
故 ∠D 的度数为 54°
考点：平行四边形的性质
分析：先根据平行四边形的性质可得 AD//BC,∠D=∠ABC ，再根据平行线的性质可得 ∠CBE=27° ，然后根据角平分线的定义可得 ∠ABC=54° ，由此即可得出答案．
19. 证明：连接DE，FG，
∵BD ，CE是 △ABC 的中位线，
∴D ，E是AB，AC的中点，
∴DE//BC ， DE=12BC ，
同理： FG//BC ， FG=12BC ，
∴DE//FG ， DE=FG ，
∴ 四边形DEFG是平行四边形，
∴EF//DG ， EF=DG ．
考点：平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理
分析：连接DE，FG，利用三角形的中位线的性质得到DE//FG，DE=FG，证出四边形DEFG是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到EF//DG? ， 且?EF=DG? ．
20. 证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
考点：反证法
分析：用反证法证明。首先否定结论即假设A≥60°，根据已知条件A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，由三角形内角和定理可得B≥A≥60°，C＞A≥60°，所以A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，所以原命题成立，即A＜60°.
21. 解：方案：先用绳子测量出四边形ABCD的边AB的长，并在绳子上做上标记，然后再用这根绳子测量出CD的长度做上标记，比较AB与CD的长短，用同样的方法比较BC、AD的长短，如果AB=CD，BC=AD，则四边形ABCD是平行四边形.
理由：两组对边对应相等的四边形是平行四边形
考点：平行四边形的判定
分析：本题是应用题,主要考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键,根据两组对边相等的四边形是平行四边形进行判定即可.
22. （1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF
（2）解：MENF为平行四边形，理由是：
如图，∵DE∥BF，
∴∠FNC=∠DMC=∠AME，
又∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB，又CF=AE= 12 AB= 12 CD，
∴△FNC≌EMA（AAS），
∴FN=EM，又FN∥EM，
∴MENF为平行四边形.
考点：平行四边形的判定与性质
分析：（1）根据已知条件证明四边形DEBF为平行四边形，即可得到；（2）证明△FNC≌EMA，得到FN=EM，又FN∥EM，可得结果.
23. （1）解：答案不唯一.如图a，图b，图c所示.
（2）解：如图d所示.
（3）解：答案不唯一.如图e.图f所示.
考点：轴对称图形，中心对称及中心对称图形
分析：（1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；（2）如（1），也是先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图；（3）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形.
注意此题有多种画法，答案不唯一.
24. （1）5-t；OF=2t
（2）解： ① 当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形， BE=AF ，
即 8-2t=5-t ，解得 t=3 ，
② 当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形， BE=AF ，即 5-t=2t-8 ，
解得 t=133 ；
（3）解：当 △BEF 恰好是等腰三角形时，有以下三种情况：
① 当 BF=EF 时， 5-2t=t ，解得 t=53 ；
② 当 EB=FB 时， (5-t)2=16+(5-2t)2 ，方程无解；
③ 当 BE=FE 时， (5-t)2=16+t2 ，解得 t=910 ；
所以，当 t=53 或 t=910 时，当 △BEF 恰好是等腰三角形.
考点：坐标与图形性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质
分析：(1根据题意，可得点B的坐标为 (-5,4) ，即可求得 BE=5-t ， OF=2f ；(2分两种情况讨论： ① 当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形， BE=AF ； ② 当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形， BE=AF ，列方程求解即可；(3分三种情况讨论： ① 当 BF=EF 时； ② 当 EB=FB 时； ③ 当 BE=FE 时，分别列方程求解即可.