4.4 平行四边形的判定 同步练习（含解析）

初中数学浙教版八年级下册4.4 平行四边形的判定 同步练习
一、单选题
1.如图，已知 AD//BC ，下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（?? ）
A.?AB//DC????????????????????B.?AD=BC????????????????????C.?AB=DC????????????????????D.?∠B+∠C=180°
2.如图， AC//HD//GE ， AG//BF//CE ，则图中一共有平行四边形（??? ）
?
A.?7个??????????????????????????????????????B.?8个??????????????????????????????????????C.?9个??????????????????????????????????????D.?10个
3.下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　）
A.?3∶4∶3∶4???????????????????????B.?3∶3∶4∶4???????????????????????C.?2∶3∶4∶5???????????????????????D.?3∶4∶4∶3
4.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（?? ）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
5.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（?? ）
A.?AB∥DC?????????????????????????????B.?∠B＝∠D?????????????????????????????C.?∠A＝∠C?????????????????????????????D.?AB＝BC
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列选项不能得到四边形ABCD是平行四边形的是（??? ）
A.?AC＝BD，OA＝OC?????????B.?OB＝OD，OA＝OC?????????C.?AD＝BC，AD∥BC?????????D.?△ABC≌△CDA
7.在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，且 AD//BC ，给出下列条件：① AB//CD ；② AB=CD ；③ ∠DAB=∠DCB ；④ OA=OC ．从中选1个作为条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有(??? )
A.?2 种?????????????????????????????????????B.?3 种?????????????????????????????????????C.?4 种?????????????????????????????????????D.?5 种
8.已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.其中正确的说法是（?? ）
A.?①②??????????????????????????????????B.?①③④??????????????????????????????????C.?②③??????????????????????????????????D.?②③④
9.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（?? ）
A.?∠ADE=∠CBF????????????????????????B.?∠ABE=∠CDF????????????????????????C.?DE=BF????????????????????????D.?OE=OF
10.由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（? ）．
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
二、填空题
11.在四边形ABCD中，AB∥CD ， AD∥BC ， 如果∠B＝50°，则∠D＝________．
12.已知：线段AB，BC．
求作：平行四边形ABCD．
以下是甲同学的作业．
①联结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②联结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，联结AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．
如图，甲同学的作图依据是：________．
13.已知四边形 ABCD ，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点，且 OA=OC ，请再添加一个条件，使得四边形 ABCD 成为平行四边形，那么添加的条件可以是________．（用数学符号语言表达）
14.如图，四边形ABCD中，AD∥BC ， AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝________秒时，以点P ， Q ， E ， D为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
15.如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
16.如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，请你用无刻度的直尺，在CD边上画出点 F，使四边形AECF为平行四边形，并说明理由．
17.如图，在四边形ABCD中， AD//BC,∠A=∠C,∠ABC 的平分线交CD于点E，
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）当E是CD中点，AD=3时，求四边形ABCD的周长；
18.如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC ， BE交AD于点F ， F是AD的中点，连接EC ．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若四边形ABCE的面积为S ， 请直接写出图中所有面积是 13 S的三角形．
19.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，已知O为BE的中点，连接DO并延长交BC边于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）设BE＝m，DF＝n，BD＝a，BF＝b，求证：m2+n2＝2a2+2b2 ．
20.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x向下平移后与y轴交于点A，且过点B (6，2).C为直线y＝x上一动点.
（1）求直线AB的解析式；
（2）当AC+BC最小时，在平面直角坐标系中存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标.
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：平行四边形的判定
解：A、 ∵AD//BC ， AB//CD ，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；故此选项不合题意；
B、 ∵AD//BC ， AD=BC ，
∴ 变形 ABCD 是平行四边形；故此选项不合题意；
C、 ∵AD//BC ， AB=DC ，
∴ 四边形 ABCD 可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；故此选项符合题意；
D、 ∵∠B+∠C=180° ，
∴AB//CD ，
∵AD//BC ，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；故此选项不合题意；
故答案为：C.
分析：根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推理判断，即可得出结论.
2. C
考点：平行四边形的判定
解：∵ AC//HD//GE ， AG//BF//CE ，
∴四边形AHOB、四边形HGFO、四边形BODC、四边形OFED、四边形AGFB、四边形BFEC、四边形AHDC、四边形HGED、四边形AGEC都是平行四边形，
故答案为：C．
分析：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
3. A
考点：平行四边形的判定与性质
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确，B,C,D错误
故答案为：A.
分析：由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形.其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定.
4. C
考点：平行四边形的判定
解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
分析：确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题.
5. D
考点：平行四边形的判定与性质
解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
AB＝BC不正确，因为平行四边形的临边不一定相等.
故答案为：D.
分析：先根据AB＝CD，AD＝BC判断四边形是平行四边形；再根据平行四边形的性质找出正确的和不正确的结论作出选择即可.
6. A
考点：平行四边形的判定
解：A、AC＝BD，OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
B、OB＝OD，OA＝OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、AD＝BC，AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、△ABC≌△CDA，可得AB=CD，AD=BC，可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意．
故答案为：A．
分析：根据平行四边形的判定定理进行分析即可．
7. B
考点：平行四边形的判定
解：已知AD∥BC，
加上①AB∥CD可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定；
加上②AB=CD不能判定是平行四边形；
加上③∠DAB=∠DCB可证明AB∥CD，可根据两组对边平行的四边形是平行四边形进行判定；
加上④OA=OC可证明△AOD≌△COB可得BO=DO，可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定；
综上所述，共3种，
故答案为：B．
分析：根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
8. C
考点：平行四边形的判定
解：其中正确的说法是②、③.因为再加上条件“∠BAD=∠BCD”，即可求得另一组对角相等，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“AO=OC”，即可证明△AOB≌△COD，从而得出AB=DC，那么四边形ABCD一定是平行四边形.
故正确的说法②、③.
故答案为：C.
分析：①一组对边平行、另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，它还可能是等腰梯形；
②根据内错角相等两直线平行可得BC∥AD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
③结合已知可证△ABO≌△CDO，于是可得AB=DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
④不能判定四边形ABCD是平行四边形.
9. C
考点：平行四边形的判定与性质
解：A、在平行四边形ABCD中，
∵AO=CO，DO=BO，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
若∠ADE=∠CBF，
在△ADE与△CBF中，
{∠DAE＝∠BCFAD＝BC∠ADE＝∠CBF ，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、若∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
{∠BAE＝∠DCFAB＝CD∠ABE＝∠CDF ，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AO=CO，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
C、若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点M使DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则此选项错误；
D、若OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故答案为：C.
分析：根据平行四边形的性质，以及平行四边形的判定定理即可作出判断.
10. B
考点：平行四边形的判定
解：如图所示：
则有平行四边形有四边形ABCD、四边形BDCF、四边形BDEC共计3个．
故答案为：B
分析：根据平行四边形的判定求解即可。
二、填空题
11. 50°
考点：平行四边形的判定与性质
解：在四边形ABCD中，AB∥CD ， AD∥BC ， 根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得∠B＝∠D＝50°.
分析：根据平行四边形的判定和性质定理，即可求解.
12. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
考点：平行四边形的判定
解：由作图可知，AM=MC，BM=MD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
分析：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解决问题即可．
13. OB=OD
考点：平行四边形的判定
解：如图所示：
∵OA=OC，
由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴可以是OB=OD（答案不唯一）．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
分析：由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．
14. 1或 73
考点：平行四边形的判定与性质，一元一次方程的实际应用-几何问题
解：由已知梯形，
当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t- 82 =3-t，
解得：t= 73 ，
当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得： 82 -2t=3-t，
解得：t=1，
故当运动时间t为1或 73 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：1或 73 ．
分析：由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
三、解答题
15. 证明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA
∵在△ADF和△CBE中， {∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEBAF=CE ，
∴△ADF≌△CBE（AAS）
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形
考点：平行四边形的判定
分析：首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可.
16. 解：连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F；
则四边形AECF为平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中， {∠EAO＝∠FCOOA＝OC∠AOE＝∠COF ，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
考点：全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
分析：连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F；由平行四边形的性质得出AB∥CD，OA=OC，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，即可得出结论．
17. （1）证明：∵ AD//BC ，
?∴∠ABC+∠A=180°，
?∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴AB // CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）解：∵∠ABC的平分线交CD于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AB // CD，
∴∠ABE =∠CEB ，
∴∠CEB=∠EBC，
∴ CE=BC，????????????????????????
∵E是CD中点，
?∴CD=2CE，
?∴CD=2BC，??????????????????????????
又∵BC=AD=3，
∴CD=2BC=6，
∴ ? ABCD 的周长= (3+6)×2=18 .
考点：平行四边形的判定与性质
分析：（1）证 AB//CD ，即可得出结论；
（2）证出 ∠CEB=∠EBC ，则 CE=BC ，得出 CD=2BC ，则 CD=2BC=6 ，进而得出答案.
18. （1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠DBF，
在△AFE和△DFB中，
{∠AEF=∠DBF∠AFE=∠DFBAF=DF ，
∴△AFE≌△DFB（AAS），
∴AE＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：∵ 四边形ABCE的面积为S，
∴ 四边形ABCE的面积可以分成三部分，即△ABD的面积+△ADC的面积+△AEC的面积＝S，
∵ BD＝DC=CE，AE∥BC，
∴面积是 13 S的三角形有△ABD，△ACD，△ACE，△ABE
考点：三角形的面积，平行四边形的判定
分析：（1）首先证明△AFE≌△DFB可得AE＝BD，进而可证明AE＝CD，再由AE∥BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形；（2）根据三角形的面积公式解答即可．
19. （1）证明：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴∠ODE＝∠OFB，
∵BO＝OE，∠DOE＝∠BOF，
∴△DEO≌△FBO，
∴DE＝BF，∵DE∥FB，
∴四边形DEFB是平行四边形．
（2）作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H．
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE，EF∥AB，
∴FG＝HE，
∴Rt△BGF≌Rt△DHG，∴BG＝DH，
设BG＝DH＝x，FG＝EH＝h，
∴DG＝a﹣x，BH＝a+x，
在Rt△FDG和Rt△EBH中，
n2＝（a﹣x）2+h2 ， m2＝（a+x）2+h2 ，
在Rt△FBG中，x2+h2＝b2 ，
∴m2+n2＝2a2+2b2 ．
考点：勾股定理，平行四边形的判定与性质
分析：（1）欲证明四边形BDEF是平行四边形，只要证明DE＝BF，DE∥BF即可；（2）作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H．设BG＝DH＝x，FG＝EH＝h，TCDG＝a﹣x，BH＝a+x，在Rt△FDG和Rt△EBH中，n2＝（a﹣x）2+h2 ， m2＝（a+x）2+h2 ， 在Rt△FBG中，x2+h2＝b2 ， 由此即可解决问题；
20. （1）解：设直线AB解析式为：y＝x+b，过点B（6，2），
∴2＝6+b，
∴b＝﹣4，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4；
（2）解：如图，作点A关于直线y＝x的对称点A'，
∵直线AB与y轴交于点A，
∴点A（0，﹣4），
∴点A关于直线y＝x的对称点A'（﹣4，0），
∴设直线A'B的解析式为：y＝kx+n，
∴ {0=-4k+n2=6k+n ，
解得： {k=15b=45 ，
∴直线A'B的解析式为：y＝ 15 x+ 45 ，
联立方程组得： {y=xy=15x+45
解得 {x=1y=1 ，
∴点C坐标为（1，1），
设点D（x，y），
若AB为对角线，则 {6+02=1+x2-4+22=1+y2 ，
∴x＝5，y＝﹣3，
∴点D（5，﹣3），
若BC为对角线，则 {6+12=0+x22+12=-4+y2 ，
∴x＝7，y＝7，
∴点D（7，7），
若AC为对角线，则 {0+12=6+x2-4+12=2+y2 ，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴点D（﹣5，﹣5），
综上所述：点D坐标为：(5，﹣3)或(7，7)或(﹣5，﹣5).
考点：待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的判定
分析：（1）设直线AB解析式为：y＝x+b，将点B坐标代入可求解；（2）先求出点C坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式可求解.