指 印
教学目标
一、知识教育目标
1．引导学生熟读课文，理清文章的论述线索，抓住作者的主要观点；
2．通过学习，了解有关数学文化的一些知识。
二、能力培养目标
1．引导学生悉心体会作者对数学源头的溯访，感受其令人信服的推理能力和独特的语言魅力；
2．鼓励学生结合自己的学习经验和阅读积累，就作者所阐发的观点作广泛深入的研讨，以提高探究能力。
三、德育渗透目标
引导学生像作者一样，站在人类文化的高度来审视数学文化，激发热爱科学的精神。
四、美育渗透目标
启发学生具有宏观的文化视野，以科学精神励志，以人文精神向学，开辟出一个语文学习的新境界。
重点、难点、疑点及解决办法
重点：
1．引导学生熟读课文，理清文章的论述线索，抓住作者的主要观点；
2．通过学习，了解有关数学文化的一些知识。
难点：
1．引导学生悉心体会作者对数学源头的溯访，感受其令人信服的推理能力和独特的语言魅力；
2．鼓励学生结合自己的学习经验和阅读积累，就作者所阐发的观点作广泛深入的研讨，以提高探究能力。
课时安排
1课时
教学步骤
一、明确目标
1．引导学生熟读课文，理清文章的论述线索，抓住作者的主要观点；
2．通过学习，了解有关数学文化的一些知识；
3．引导学生悉心体会作者对数学源头的溯访，感受其令人信服的推理能力和独特的语言魅力；
二、整体感知
1．导入新课
“屈指可数”“弹指一挥见”，手指在生活中的计数功能，直接催生了数学这门科学，丹齐克的《指印》为我们揭开了这二者的关系（板书课题）。
2．作者及相关背景介绍
丹齐克（1884—1956），原籍立陶宛，曾在巴黎大学求学。1910年去美国，入美国国籍，先后在哥伦比亚大学、约翰·霍普金斯大学、马里兰大学讲授数学。
三、重点、难点的学习与目标达成过程
1．感知课文，明确本文的整体写作思路。
（1）学生读课文，整理文章的结构脉络。
（2）小组交流讨论。
【明确】数学作为科学的语言，在当代科技发展中具有重要的地位。本文作者饶有兴味地给我们讲述了数学的起源——人类计数的历史。原来，让现代人望而生畏的数学在它的起步阶段并不是那么高深莫测，我们现在普遍采用的十进位制，只不过是原始人类以手指计数的遗迹。曾几何时，我们的祖先无法把握数量的多少，面对生活的难题，他们困惑不已。然而人类的理性终于从纷繁的事物中抽象出数的概念，发展了数学思想，从而推动了社会文明的发展。
数字的起源，如同文字的起源一样，是对人类心灵最具诱惑力的问题之一。作者在正文前面摘引古罗马诗人奥维德的诗句，表现出古人在这方面的好奇和迷惘。
课文节选部分共6节。第1节，谈人和动物的数觉。数觉是一种对数的原始直觉，是人和动物（如某些鸟类和昆虫）都具有的一种本领，是对小数目东西数量的判断能力。作者列举了鸟类、蜂类的例子，说明这种本领不独为人类所有。还讲了庄园主驱赶乌鸦的故事，说明这种依靠本能对数的辨识能力是十分有限的，有时会因此丢掉性命。
第2节，作者进一步对上述例子加以分析，举出了两种意见。一种是正确的，即“具有这种数觉的动物只限于极少的几类”，可能“只限于几种昆虫、几种鸟类和整个人类”；一种是片面的，即认为“动物数觉的范围实在太小，简直可以略而不论”。作者在第2节中主要是针对这种意见进行了辩驳，指出“人类的数觉范围也是十分有限的”，“如果人类单凭这种直接的数的直觉，在计算的技术上，就不会比鸟类有什么进步”。为了证明自己的观点，作者首先界定了数觉的概念，指出人类借助图形、心算、计数等辅助手段来识数不能算是数觉；另外，还从原始民族、原始语言和欧洲语言中找例证，如南非布须曼族表示数字的字只有一、二和多，英文、拉丁文、法文“三倍”（或“三”）都有表示“多”的意义。
第3节，继续举语言上的例子，指出很多原始语言表示数字的字都是具体的，没有抽象的“数”，就连英语“集合”（Collection）、“集”（Aggregate）两个表示数的抽象词都是外来语。由此证明“具体的东西总在抽象的东西之先”，由具体的、驳杂的对数的表示法，到“统一的抽象的数概念”，是“数学发展的前提”。作者援引罗素的精彩论述，说明了人类抽象能力的发展，经过了漫长的历史，读之令人感喟。
第4节，进而谈集合的对应和匹配原理。在现实生活场景中，“会堂的座位”与“出席的人”，可以通过比对看出多少来。但是这种比对的方法太笨了，既不能事先预知，也不能脱离现场来完成，于是产生了“各种模范集合”。模范集合起到了计量标准的作用，如同货币可以充当一般等价物一样。这样，人们要表示数字“二”时，就想到了“鸟的翼”；要表示数字“三”时，就想到了“苜蓿叶”；要表示数字“四”时，就想到了“兽足”；要表示数字“五”时，就想到了“自己的手指”。后来，这些模范集合的具体所指逐渐被淡化，人们只是习得了记住了它们的语音形式，抛弃了它们生动的模范的内容，于是较为抽象的数字产生了。
第5节，承接前面的话题，提出了基数与序数的概念。脱胎于模范集合、从“对应原则”产生出来的数，再抽象也是基数。单凭基数本身，是不能创造出“计数术”来的。一定要在对应中增加“序列”的概念，即完成由基数到序数的转化，才能摆脱古老的烦琐的“一一匹配”办法，“创造出一种计算方法”，实现“识数”的质的飞跃。
第6节，继续探讨“基数与序数的微妙区别”，并从屈指计数方便灵活上，推断“在用手指的时候，人类借助于这个工具，就不自觉地从基数转进到序数”。作者的这种推断，在许多语言中找到了“遗迹”，因为在许多语言中，“‘五’这个数，就用‘手’表示；而‘十’则用‘双手’”。作者至此点明本章（本文是其前半部分）主题，指出“人类在计算方面之所以成功，应当归功于十指分明”。
阅读本文，不但能增进我们对数字、计数起源的认识，也会在作者亲切、信实的叙述中，领略到其语言的魅力，为作者探究数学文化的执著精神所感动。
2．研读课文，讨论问题。
（1）作者在论述中列举了一些原始语言现象，是为了说明什么问题？
【明确】语言与数学似乎风马牛不相及，其实不然。它们是两种语言体系，而且在早期还具有同源关系。认识到这一点，才能深切体会到作者以大量原始语言现象说明数学起源问题的良苦用心。作者在论述中列举了一些原始语言现象，是为了说明原始人类的数觉或表现数的方式，来阐述人类数学能力的发展历程。如对南非的布须曼人只有一、二和“多”三个数字，间接说明了原始人类对数的感觉极为有限；对不列颠哥伦比亚的辛姆珊族语言的分析，论证了原始时代的数字经过了由多元具体系统到一元抽象系统的转变过程。
（2）作者为什么说“数觉和计数不能混为一谈”？它们有怎样的区别？
【明确】区分数觉和计数是作者在文中反复申明的，它是人与动物的数学能力的本质区别。要通读全文，才能充分理解作者这句话的深刻含义。这是作者自始至终强调的一个观点，也是本篇立论的关键所在。数觉是人与动物都有的一种对于数的直觉，而且就这种能力来说，人也不比某些鸟类或昆虫高明多少。但是计数是人类所独有的，它借助于人类的“十指分明”得以起飞，演变为计数，成为全部数学发展的基础。
（3）作为一篇谈论数学文化的文章，本文具有怎样的论述风格？
【明确】《数：科学的语言》一书主要是介绍数的概念及其发展历史的，然而作者却很少用艰深的数学语言来描述，尽量用日常语言娓娓道来，其目的是为了能让更多的普通读者读懂这本书，以激发大众对数学文化的关注和热爱。本书原版有一个副标题，为“为有文化而非专攻数学的人写的评论性概述”。所以，脉络清晰，条理分明，语言亲切、通俗是本书的主要特色，这在课文节选的部分也有突出的体现。另外，作者并没有就数学论数学，而是站在人类文化发展的高度，来描述数学发展的轨迹。所以旁征博引，亦庄亦谐，妙趣横生，可读性极强。这些来自作者对数学文化深厚的理解和热爱，来自他驾驭语言的能力，很值得我们借鉴和学习。
布置作业
完成“研讨与练习一、二、三”。(共24张PPT)
丹齐克
指 印
教学目标
一、知识教育目标 1．引导学生熟读课文，理清文章的论述线索，抓住作者的主要观点； 2．通过学习，了解有关数学文化的一些知识。 二、能力培养目标 1．引导学生悉心体会作者对数学源头的溯访，感受其令人信服的推理能力和独特的语言魅力； 2．鼓励学生结合自己的学习经验和阅读积累，就作者所阐发的观点作广泛深入的研讨，以提高探究能力。 三、德育渗透目标 引导学生像作者一样，站在人类文化的高度来审视数学文化，激发热爱科学的精神。 四、美育渗透目标 启发学生具有宏观的文化视野，以科学精神励志，以人文精神向学，开辟出一个语文学习的新境界。
重点、难点、疑点及解决办法
重点： 1．引导学生熟读课文，理清文章的论述线索，抓住作者的主要观点； 2．通过学习，了解有关数学文化的一些知识。 难点： 1．引导学生悉心体会作者对数学源头的溯访，感受其令人信服的推理能力和独特的语言魅力； 2．鼓励学生结合自己的学习经验和阅读积累，就作者所阐发的观点作广泛深入的研讨，以提高探究能力。
导入新课
“屈指可数”“弹指一挥见”，手指在生活中的计数功能，直接催生了数学这门科学，丹齐克的《指印》为我们揭开了这二者的关系（板书课题）。
作者介绍
丹齐克（1884—1956），原籍立陶宛，曾在巴黎大学求学。1910年去美国，入美国国籍，先后在哥伦比亚大学、约翰·霍普金斯大学、马里兰大学讲授数学。
感知课文，整理脉络
本文分为六个部分，每一部分的内容各有侧重。通读全文，根据下列表格，找出其中的论点论据，列出全文的结构提纲。
课文节选部分共6节。第1节，谈人和动物的数觉。数觉是一种对数的原始直觉，是人和动物（如某些鸟类和昆虫）都具有的一种本领，是对小数目东西数量的判断能力。作者列举了鸟类、蜂类的例子，说明这种本领不独为人类所有。还讲了庄园主驱赶乌鸦的故事，说明这种依靠本能对数的辨识能力是十分有限的，有时会因此丢掉性命。
第2节，作者进一步对上述例子加以分析，举出了两种意见。一种是正确的，即“具有这种数觉的动物只限于极少的几类”，可能“只限于几种昆虫、几种鸟类和整个人类”；一种是片面的，即认为“动物数觉的范围实在太小，简直可以略而不论”。作者在第2节中主要是针对这种意见进行了辩驳，指出“人类的数觉范围也是十分有限的”，“如果人类单凭这种直接的数的直觉，在计算的技术上，就不会比鸟类有什么进步”。为了证明自己的观点，作者首先界定了数觉的概念，指出人类借助图形、心算、计数等辅助手段来识数不能算是数觉；另外，还从原始民族、原始语言和欧洲语言中找例证，如南非布须曼族表示数字的字只有一、二和多，英文、拉丁文、法文“三倍”（或“三”）都有表示“多”的意义。
第3节，继续举语言上的例子，指出很多原始语言表示数字的字都是具体的，没有抽象的“数”，就连英语“集合”（Collection）、“集”（Aggregate）两个表示数的抽象词都是外来语。由此证明“具体的东西总在抽象的东西之先”，由具体的、驳杂的对数的表示法，到“统一的抽象的数概念”，是“数学发展的前提”。作者援引罗素的精彩论述，说明了人类抽象能力的发展，经过了漫长的历史，读之令人感喟。
第4节，进而谈集合的对应和匹配原理。在现实生活场景中，“会堂的座位”与“出席的人”，可以通过比对看出多少来。但是这种比对的方法太笨了，既不能事先预知，也不能脱离现场来完成，于是产生了“各种模范集合”。模范集合起到了计量标准的作用，如同货币可以充当一般等价物一样。这样，人们要表示数字“二”时，就想到了“鸟的翼”；要表示数字“三”时，就想到了“苜蓿叶”；要表示数字“四”时，就想到了“兽足”；要表示数字“五”时，就想到了“自己的手指”。后来，这些模范集合的具体所指逐渐被淡化，人们只是习得了记住了它们的语音形式，抛弃了它们生动的模范的内容，于是较为抽象的数字产生了。
第5节，承接前面的话题，提出了基数与序数的概念。脱胎于模范集合、从“对应原则”产生出来的数，再抽象也是基数。单凭基数本身，是不能创造出“计数术”来的。一定要在对应中增加“序列”的概念，即完成由基数到序数的转化，才能摆脱古老的烦琐的“一一匹配”办法，“创造出一种计算方法”，实现“识数”的质的飞跃。
第6节，继续探讨“基数与序数的微妙区别”，并从屈指计数方便灵活上，推断“在用手指的时候，人类借助于这个工具，就不自觉地从基数转进到序数”。作者的这种推断，在许多语言中找到了“遗迹”，因为在许多语言中，“‘五’这个数，就用‘手’表示；而‘十’则用‘双手’”。作者至此点明本章（本文是其前半部分）主题，指出“人类在计算方面之所以成功，应当归功于十指分明”。
研读课文，讨论问题
（1）作者在论述过程中，列举了哪些人类语言现象来说明问题？请找出这些用例，说说它们与作者所论述的数学问题有什么联系。
（2）作者对人类的“计数”能力有哪些评价？课文最后一段高度赞颂了人类手指对计数及“数的发展”的伟大贡献，试结合作者的论述，谈谈自己的认识。
（1）作者在论述过程中，列举了哪些人类语言现象来说明问题？请找出这些用例，说说它们与作者所论述的数学问题有什么联系。
一是列举原始语言的例子，证明人类早期对数字的感觉。如“南非的布须曼族，除了一、二和多之外，再没有别的数字了，而这三个字又是那么语调含糊”，用以说明人类的数觉能力十分有限；如对不列颠哥伦比亚的辛姆珊族语言中七种不同数字的分析，探讨了人类有关数字的概念由多元具体到一元抽象的转化过程。
研读课文，讨论问题
二是列举现代语言的例子，寻找人类原始时代关于数的“印迹”。如“在英文中，对于某些特种集合，有丰富的本国语言的表现方法”，然而表示“集合”“集”的单词（Collection、Aggregate）却是外来语，说明具象的集合数量词早于抽象的集合用语。如从英文tally（比对）一词来源于拉丁文的talea（刻），calculate（计算）一词来源于拉丁文的calculus（石卵），说明即使是欧洲的“文明人”，也可能经历了在树上刻痕迹或用小石卵计数的“蛮荒”阶段。
研读课文，讨论问题
（2）作者对人类的“计数”能力有哪些评价？课文最后一段高度赞颂了人类手指对计数及“数的发展”的伟大贡献，试结合作者的论述，谈谈自己的认识。
作者对人类的“计数”能力给予了高度的评价，这些评价是贯穿始终的。如第一部分中说“计数是一种人类独具的特性”，第三部分中说“正是计数，才使具体的、不同质的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念……是数学发展的前提”。作者认为，计数是人类区别于动物的特性之一，也是数学发展的基础。作者对人类“计数”能力的评价，
研读课文，讨论问题
（2）作者对人类的“计数”能力有哪些评价？课文最后一段高度赞颂了人类手指对计数及“数的发展”的伟大贡献，试结合作者的论述，谈谈自己的认识。
有时还体现在具体论述的字里行间，如第五部分，谈到由“基数转到了序数”，就“不用再找一个模范集合麻烦地来作一一匹配了——我们只消将它加以计数就成了”，对计数的赞美溢于言表。课文最后一段，赞美人类手指“教会人类计数”，也表现出作者对“计数”的伟大意义的肯定。
研读课文，讨论问题
（2）作者对人类的“计数”能力有哪些评价？课文最后一段高度赞颂了人类手指对计数及“数的发展”的伟大贡献，试结合作者的论述，谈谈自己的认识。
“谈谈自己的认识”，要注意两个方面：一、从手作为劳动工具方面来谈，正是生产生活的需要才促使人类有了“计数”的本领；二、从“计数”的数学意义方面来谈，例如，计数是如何“把数的范围无限地扩大开来”，如何使数学发展成为一种科学的语言，等等。
研读课文，讨论问题
课后作业
你还记得小时候学计数的经历吗？那时候你对“数”有哪些模糊的想法？学习本文后，又有哪些明晰的认识？参考下面的一些论述，写一篇几百字的短文，谈谈你的感想。
课后作业
1、就连一加上一，我也不敢说那么一加，是被加的一变成二，还是被加的一和加上的一变成二。我想不通，怎么把这个一与那个一分开了，哪个一就都是一，不是二；把它们放在一起，这一放就是它们变成二的原因。——［古希腊］苏格拉底
2、人是万物的尺度，是存在者存在的尺度，也是不存在者不存在的尺度。——［古希腊］普罗泰戈拉
课后作业
3、在漫长的时间中，一堆堆的鱼必须互相比出一个多少，一段一段的日子也要作出一个比较。但首先注意到7条鱼和7天之间的共同点的人必然使思想史进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人。——［英］怀特海《科学与近代世界》
课后作业
4、德国的著名数学家希尔伯特曾经用一个有趣的比喻来阐明有穷集和无穷集的不同：人间的旅店，无论多么大，无论有多少房间，一旦客满，再来的客只有改投另一家住宿。现在试想像一下，有一家拥有无穷多房间的旅店。房间的号码用尽了所有的自然数：1号，2号，3号，……至于无穷。现在客满了，又来了一位旅客，怎么办？服务员说：不要紧。1号房间的客人移到2号，2号客人移到3号，于是，1号房空出来了。原来的客人仍然各得其所。更严重的事态出现关于研讨与练习
一 本文分为六个部分，每一部分的内容各有侧重。通读全文，找出其中的论点论据，列出全文的结构提纲。
设题意图：通过对课文各部分内容的归纳整理，理清文章思路，把握作者的主要观点。
参考答案：
二 作者在论述过程中，列举了哪些人类语言现象来说明问题？请找出这些用例，说说它们与作者所论述的数学问题有什么联系。
设题意图：引导学生注意本文的论证方法。
参考答案：
一是列举原始语言的例子，证明人类早期对数字的感觉。如“南非的布须曼（Bushmen）族，除了一、二和多之外，再没有别的数字了，而这三个字又是那么语调含糊”，用以说明人类的数觉能力十分有限；如对不列颠哥伦比亚的辛姆珊（Thimshian）族语言中七种不同数字的分析，探讨了人类有关数字的概念由多元具体到一元抽象的转化过程。二是列举现代语言的例子，寻找人类原始时代关于数的“印迹”。如“在英文中，对于某些特种集合，有丰富的本国语言的表现方法”，然而表示“集合”“集”的单词（Collection、Aggregate）却是外来语，说明具象的集合数量词早于抽象的集合用语。如从英文tally（比对）一词来源于拉丁文的talea（刻），calculate（计算）一词来源于拉丁文的calculus（石卵），说明即使是欧洲的“文明人”，也可能经历了在树上刻痕迹或用小石卵计数的“蛮荒”阶段。
三 作者对人类的“计数”能力有哪些评价？课文最后一段高度赞颂了人类手指对计数及“数的发展”的伟大贡献，试结合作者的论述，谈谈自己的认识。
设题意图：引导学生抓住作者论述的重点问题，作深入的研讨。
参考答案：
作者对人类的“计数”能力给予了高度的评价，这些评价是贯穿始终的。如第一部分中说“计数是一种人类独具的特性”，第三部分中说“正是计数，才使具体的、不同质的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念……是数学发展的前提”。作者认为，计数是人类区别于动物的特性之一，也是数学发展的基础。作者对人类“计数”能力的评价，有时还体现在具体论述的字里行间，如第五部分，谈到由“基数转到了序数”，就“不用再找一个模范集合麻烦地来作一一匹配了——我们只消将它加以计数就成了”，对计数的赞美溢于言表。课文最后一段，赞美人类手指“教会人类计数”，也表现出作者对“计数”的伟大意义的肯定。
“谈谈自己的认识”，要注意两个方面：一、从手作为劳动工具方面来谈，正是生产生活的需要才促使人类有了“计数”的本领；二、从“计数”的数学意义方面来谈，例如，计数是如何“把数的范围无限地扩大开来”，如何使数学发展成为一种科学的语言，等等。
四 你还记得小时候学计数的经历吗？那时候你对“数”有哪些模糊的想法？学习本文后，又有哪些明晰的认识？参考下面的一些论述，写一篇几百字的短文，谈谈你的感想。
1．就连一加上一，我也不敢说那么一加，是被加的一变成二，还是被加的一和加上的一变成二。我想不通，怎么把这个一与那个一分开了，哪个一就都是一，不是二；把它们放在一起，这一放就是它们变成二的原因。
——［古希腊］苏格拉底
2．人是万物的尺度，是存在者存在的尺度，也是不存在者不存在的尺度。
——［古希腊］普罗泰戈拉
3．在漫长的时间中，一堆堆的鱼必须互相比出一个多少，一段一段的日子也要作出一个比较。但首先注意到7条鱼和7天之间的共同点的人必然使思想史进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人。
——［英］怀特海《科学与近代世界》
4．德国的著名数学家希尔伯特曾经用一个有趣的比喻来阐明有穷集和无穷集的不同：人间的旅店，无论多么大，无论有多少房间，一旦客满，再来的客只有改投另一家住宿。现在试想像一下，有一家拥有无穷多房间的旅店。房间的号码用尽了所有的自然数：1号，2号，3号，……至于无穷。现在客满了，又来了一位旅客，怎么办？服务员说：不要紧。1号房间的客人移到2号，2号客人移到3号，于是，1号房空出来了。原来的客人仍然各得其所。更严重的事态出现了：来了无穷多的一行旅客！服务员却仍然指挥若定，妥善安排：老住户都安排到双号房间，1号到2号，2号到4号，3号到6号……所有的单号房都空出来了。新来的客人尽管和自然数一样多，仍能住得下。无穷个房间和有穷个房间就是这样的不同。可以说，无穷集就是那种可以和自己的某个真子集建立一一对应的集合。
——张景中、任宏硕《漫话数学》（中国少年儿童出版社2003年版）
设题意图：引导学生结合自己的人生经验，结合古今中外哲人学者的有关论述，谈谈自己对数学文化的认识。
参考答案：略。
