【授课内容】勾股定理的方程思想
【适用年级】八年级上
【执教教师】宁波镇海蛟川书院 滕丽
【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。
【教学过程】
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揭示课题，明确任务 师：同学们，我们已经学习了勾股定理。我们知道任意的一个直角三角形，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就称为勾股定理，即如果为直角三角形的两条直角边长，为斜边长，则 。在直角三角中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢？这就是今天我们所要学习内容。 幻灯片：勾股定理
讲解例1 师：我们先来看一个简单的问题。例1在△ABC中，∠C=Rt∠,(1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长.(2)如果AC=5, AB=BC+1,求AB、BC的长.师：在第(1)小题中，已知了直角三角形ABC的一条边BC的长及另两边的数量关系: AB:AC=5:3，根据这个数量关系，可以把AB设成5x, AC为3x,根据勾股定理得就能列出含x的方程，从而求出x的值。下面我们一起来解答这个小题。解：(1)设AB=5x, 则AC=3x(x>0) 由勾股定理得162+(3x)2=(5x)2解得： x2=16∵x>0 ∴x=4∴AB=20,AC=12.师:下面我们来看第(2)小题,同学们你们会求吗 (停顿)师:是的。我们可以从AB=BC+1这个数量关系入手，设BC= x, 则AB=x+1，根据勾股定理列方程。下面我们一起来解答这个小题。(2) 设BC= x, 则AB=x+1 (x>0)由勾股定理得x2+ 52=( x+1)2解得： x=12∴BC=12,AB=13.师：我们总结一下步骤：在直角三角形中（已知两边的数量关系） 设其中一边为x 利用勾股定理列方程解方程 求各边长这就是我们今天所学习的《勾股定理的方程思想求边长》，你掌握了吗？ 读题思考 幻灯片：出示例1题目出示解答过程出示解答过程出示流程图
讲解例2 师：我们再来看一个例子。请同学们先读一下题目。例2如图，在Rt△ABC中，∠C=900, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，求AD的长. 师：首先我们来分析一下条件.已知AB的中垂线DE交BC于点D,即D在线段AB的中垂线上，则有AD=BD.根据BC=3可得到BD+CD=AD+CD=3.这个时候我们来看Rt△ACD，AC的长已知，AD、CD满足和等于3，那么我们不妨设AD=x,则CD=3- x，根据勾股定理列方程就可以求出AD的长.师：好的，同学们理清思路了吗？我们一起来完成解答过程。解：∵D在线段AB的中垂线上∴AD=BD∵BC=3∴BD+CD=AD+CD=3设AD=x,则CD=3- x，由勾股定理得：x2= (3-x)2+12 解得: x= ∴AD=师：从这个例题我们可以看到在许多问题中，直角三角形某两边的数量关系并不是条件直接给出的，而是通过条件推理得到，在这种情况下，同学们要仔细分析条件，把数量关系都集中到一个直角三角形中，就可以转化成例1中的类型了。 读题思考 幻灯片：出示例2题目依次出现两个结论出示解答过程
讲解例3 师：我们最后来看一个课本中的练习题，请同学们先读题目。例3在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？请解这道题。师：首先我们根据题意画出示意图。芦苇可以用线段AD来表示，其中BD表示露出水面的部分，拉动芦苇后的位置用线段AC来表示。根据拉动后芦苇的顶端恰好到达水面可以知道，若连结BC，则有BC⊥AD. 根据题意，BD=1尺，BC=0.5丈=5尺，特别地，在芦苇拉动过程中长度不改变，即AC=AD. 这个时候我们来看Rt△ABC，BC的长已知，AC比AB长1尺，那么我们不妨设AB=x尺,则AC=(x+1) 尺，根据勾股定理列方程就可以求出x的值.师：好的，同学们理清思路了吗？我们一起来完成解答过程。解：设水深有x尺，则芦苇长(x+1) 尺。由题意，得 x2+52=(x+1)2 解得： x=12 答：水深12尺，芦苇长13尺。 读题思考 幻灯片：出示例3题目出示示意图出示解答过程
随堂解题 师：刚才老师举了几个例子，同学们是否都掌握了呢？下面请大家做一个随堂练习。
练习 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长. 师：请同学们先独立思考完成。（停顿）师：好,我们简单理一下思路：由折叠可知，AE＝AC＝6cm，CD＝DE,∠C= ∠AED=90°。在Rt△BDE中，BE＝ABAE 106＝4cm, 而BD+DE=BD+CD= BC=8cm,这样我们可以从这个数量关系入手设未知数列方程。下面我们一起来看解答。解：在Rt△ABC中, AC=6cm，BC=8cm ∴ AB=10cm 由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE, ∠C= ∠AED=90° ∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90° 设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm 在Rt△BDE中,由勾股定理可得（8-x）2 ＝x2+42解得x＝3∴ CD=DE=3cm 学生读题解题学生读题解题 出示练习出示解答过程
小结 今天我们学习了已知直角三角形一边及另两边的数量关系求各边长的这类问题，解决这类问题的关键是先从数量关系入手设未知数，再根据勾股定理列方程，从而求出各边的长。同学们你们学会了吗？(共13张PPT)
B
C
A
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
在△ABC中，∠C=Rt∠,
(1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长.
(2)如果AC=5, AB=BC+1,求AB、BC的长.
解：（1）设AB=5x, 则AC=3x(x>0)
由勾股定理得162+(3x)2=(5x)2
解得： x2=16
∵x>0 ∴x=4
∴AB=20,AC=12.
16
5x
3x
(2) 设BC= x, 则AB=x+1 (x>0)
由勾股定理得x2+ 52=( x+1)2
解得： x=12
∴BC=12, AB=13.
x
x+1
在△ABC中，∠C=Rt∠,
(1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长.
(2)如果AC=5, AB=BC+1,求AB、BC的长.
在直角三角形中（已知两边的数量关系）
设其中一边为x
利用勾股定理列方程
解方程
求各边长
AB的中垂线DE交BC于点D
AD=BD
BC=3
BD+CD
AD+CD
=
=
3
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，求AD的长.
x
3-x
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，求AD的长.
解：∵AB的中垂线DE交BC于点D
∴AD=BD
∵BC=3
∴BD+CD= AD+CD=3
∴AD=
设AD=x,则CD=3- x，
由勾股定理得：x2= (3-x)2+12
解得: x=
x
3-x
在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭
赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”
这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？请解这道题。
有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？
解:设水深x尺，则芦苇长(x+1)尺，
由题意，得x2+52=(x+1)2
有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？
解得： x=12
答：水深12尺，芦苇长13尺。
5
x
1
x+1
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.
C
B
A
D
E
6
6
解：在Rt△ABC中
AC=6cm，BC=8cm
∴ AB=10cm
设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm
由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,
∠C= ∠AED=90°
解得x＝3 ∴ CD=DE=3cm
∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90°
在Rt△BDE中
由勾股定理可得（8-x）2 ＝x2+42
C
B
A
D
E
6
6
