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第五章：特殊平行四边形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B.对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D.一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
故选：D
2.答案：C
解析：菱形的面积等于对角线乘积的一半，
所以0.5×2x×2y=8，
化简得：，
故选：C．
3.答案：C
解析：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
设BE＝a，则CE＝8﹣a，
根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∴FC＝4．
在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，
∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，
解得：a＝3，∴8﹣a＝5．
故选C．
4.答案：D
解析：过点作轴于点，
∵四边形为菱形，，
∴，OB⊥AC，，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选D．
5.答案：B
解帮：如图：作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，
此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
故选B．
6.答案：A
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠BCD=90°，∠PAF=∠PCE=45°．
∵PF⊥AD，PE⊥CD，∴△APF和△CPE是等腰直角三角形，
∴PF=AP，PE=PC，∴PF+PE=（AP+PC）=AC=3．
故选A．
7.答案：D
解析：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，
即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
则BG=GE=FG=BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，
∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°．
故选D．
8.A
解析：∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，互相平分，且，
又∵为与的交点，
∴当的值时，的值就最小，
而当时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：．
9.答案：C
解析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，
∵AD=AB，
∴AE=AD，
又∠ABE=∠AHD=90°
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠OHD=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，
∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选C．
10.答案：A
解析：∵菱形ABCD，
∴,
∵,
∴和均为正三角形，
∴,
∵,
∴,
在△BDF和△DCE中，
,
∴≌(SAS),
故①正确；
∵≌，
∴,,
∴,
∴,
故②正确；
∵,
,
∵,
∴,
在△ABM和△ADH中，
,
∴△ABM≌△ADH(SAS),
∴,
,
∵,
∴为等边三角形，故③正确；
∵,
如果，
即,
由于E,F是BC和CD上的的随意点，
故不一定成立，
故④错误，故选择：A
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：由题意可得，，
故答案为
12.答案：3
解析：设，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
矩形的周长为，
，
，
即.
故答案为：.
13.答案：
解析：正方形ABCD中，
∠DAF=∠ABE=90，AD=AB，
∵AE⊥DF，
∴∠DOA=∠DAF
=90，
∴∠DAO+∠ADF
=∠DAO
+∠FAO
=90，
∴∠ADF
=∠FAO，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF△BAE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14.答案：
解析：四边形是正方形，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的面积，
同理可得：，
，
，
，
正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
，
故答案为：．
15.答案：2或．
解析：四边形是矩形，
，，
分两种情况：
①点在上时，点在处，如图1所示：
的面积为，
，
解得：；
②点在上时，如图2所示：
的面积为，
，
解得：，
，
解得：；
综上所述，当的面积为时，的值为2或；
故答案为：2或．
16.答案：①③
解析：在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD=AB，∴AH=AB=CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，
∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠AEB，故①正确；
设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，∴HE=，
∴HE=，故②错误；
∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°，
∵DH=CH，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，
∴∠OHA=22.5°，∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，
∴OH=OE，∴OH=AE，故③正确；
∵AH=DH，CD=CE，在△AFH与△CHE中，
∵∠AHF=∠HCE=22.5°，∠FAH=∠HEC=45°，AH=CE，
∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH，在△ABE与△AHE中，
∵AB=AH，∠BEA=∠HEA，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，
∴BE=EH，∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，故④错误，
故答案为①③．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，∴．
∴OC=EF=6.5．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
18.解析：（1）∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBE
∵F是AE中点
∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE
∴△ADF≌△BEF
∴BE＝AD
∵AB⊥AC，E是BC中点
∴AE＝BE＝EC
∴AD＝EC，且AD∥BC
∴四边形ADCE是平行四边形
且AE＝EC
∴四边形ADCE是菱形；
（2）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC
∴S△ABC＝10
∵E是BC中点
∴S△AEC＝S△ABC＝5
∵四边形ADCE是菱形
∴S△AEC＝S△ACD＝5
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15.
19.解析：（1）∵∥，
∴
∵平分
∴，
∴
∴
又∵
∴
又∵∥，
∴四边形是平行四边形
又∵
∴是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．
∴．，，
∴．
在中，．
∴．
∵，
∴．
在中，．为中点．
∴．
20.解析：（1）∵正方形ABCD，∴,
∴,
∵,∴,
∴,
在△EOB和△FOC中，
,
∴,
∵,
∴,
(2)∵,
要使EF达到最小，最小，
即,同时，
∵正方形边长为2，
∴，
∴
21.解析：（1）∵四边形OACB是矩形，
∴BC＝OA＝3，
在Rt△BCD中，∵CD＝5，BC＝3，
∴BD＝
＝4，
∴OB＝5，
∴B（0，5），C（3，5）；
（2）①当点P在AC上时，OD＝1，BC＝3，
∴S＝，
当点在BC上时，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，
∴S＝
×1×（8﹣t）＝﹣
t+4；（t≥0）
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，点D的对称点是（1，0），
∴E（1，0）；
（3）如图2∵点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，
则AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求．
故答案为（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求
22.解析：（1）∵M为BD中点，
Rt△DCB中，MC=BD，
Rt△DEB中，EM=BD，
∴MC=ME；
（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
∵CM=MB，
∴∠MCB=∠CBM，
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，
同理，∠DME=2∠EBM，
∴∠CME=2∠CBA=80°，
∴∠EMF=180°-80°=100°；
（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，
∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，
∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，
又∵CM=ME=BD=DM，
∴DE=EM=DM，
∴△DEM是等边三角形，
∴∠EDM=60°，
∴∠MBE=30°，
∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，
∵∠MCB+∠ACE=45°，
∠CBM+∠MBE=45°，
∴∠ACE=∠MBE=30°，
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，
连接AM，∵AE=EM=MB，
∴∠MEB=∠EBM=30°，
∠AME=∠MEB=15°，
∵∠CME=90°，
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，
∴AC=AM，
∵N为CM中点，
∴AN⊥CM，
∵CM⊥EM，
∴AN∥CM.
23.解析：（1）
当0≤t≤2.5时，
当2.5＜t≤5时，
∴
故答案为：t，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵
G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴，
∴
GF＝HE，
∴四
边
形
EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点
G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴
GH＝BC＝4，
∴
当
EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①当0≤t≤2.5时,AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5
②当2.5＜t≤5时，,AE＝CF＝t，EF＝2t-5＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
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精品试卷·第
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