4.5三角形的中位线-2020-2021学年浙教版八年级数学下册同步提升训练（Word版含解析）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册《4.5三角形的中位线》同步提升训练（附答案）
1．如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；
④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（　　）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．
5．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）A．4.5 B．9 C．10 D．12
6．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．22 B．26 C．22或26 D．13
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
8．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
9．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，F为CD的中点，BE为∠ABC的角平分线，过点A作AE⊥BE于点E，连接EF，若AD＝4，则EF的长为（　　）
A．1.5 B． C．2 D．
10．如图，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，若BC的长为7，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，点F是DE上一点，连接AF，CF，且AF⊥CF，若AC＝6，EF＝1，则AB＝　 　．
12．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．
13．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为　 　．
14．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝10，BC＝6，则DE的长为　 　．
15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AD的延长线交BC于点E，F是AC中点，连接DF，若AB＝10，BC＝24，则DF的长为　 　．
16．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接BE，若AE＝3，DE＝2.5，∠BEC＝90°，则△ABC的周长是　 　．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为　 　．
18．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为　 　．
19．△ABC中，点D是BC中点，∠A＝2∠BED，AB＝9，AC﹣AE＝3，则BE＝　 　．
20．如图，M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线MN将△ABC分成了周长相等的两部分．已知AB＝6，∠A＝120°，则MN＝　 　．
21．如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为　 　．
22．如图，△ABC中，若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，则△ABC的面积＝　 　．
23．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．
24．【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为　 　．
25．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E为BC的中点．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB＝4，AC＝6，求DE的长．
26．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．
27．一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形．
28．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．
29．如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．
30．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
参考答案
1．解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，
∵AE平分∠GAC，AE⊥GC，
∴AG＝AC，GE＝CE，
同理可得，AB＝AH，BD＝HD，
∵BF＝CF，BD＝HD，
∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，
∴DF＝CH，
∵GE＝CE，BF＝CF，
∴EF＝BG，
∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，
∴GB＝CH，即EF＝DF，故②正确，
∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，
过G作GI⊥BH于I，
∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，
∴四边形GIDE是矩形，
∴GI＝ED，
∴BG＞GI＝ED，
∴AB﹣AC＞DE，故③错误；
∵EF∥BG，DF∥HC，
∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，
∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，
∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；
故选：C．
2．解：连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，
∵M、H分别是AD、AC的中点，
∴MH＝CD＝2，
同理可得，NH＝AB＝，
在△MHN中，MH﹣NH＜MN＜MH+NH，即＜MN＜，
当点H在MN上时，MN＝MH+NH＝，
∴＜MN≤，
故选：D．
3．解：连接EC，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，
∴DG＝AG＝CG＝EG，
在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；
∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．
4．解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
则BC＝＝＝12，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE＝BC＝6，
故选：B．
5．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
6．解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
8．解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴DP＝BP，
∵在△DEP与△BFP中，
，
∴△DEP≌△BFP（ASA），
∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，
∴FC＝BC，
PQ是△EFC中位线，
PQ＝FC，
∴PQ：BC＝1：4．
故选：A．
9．解：连接CE，
∵AE⊥BE，
∴∠BEA＝90°，
∵BE为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BEC＝∠BEA＝90°，
∴∠AEC＝∠BEC+∠BEA＝180°，
∴A，E，C共线，
∵F为CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF＝AD＝×4＝2，
故选：C．
10．解：取FC的中点H，连接DH，
∵CD＝DA，
∴DH是△ACF的中位线，
∴DH∥AF，
∵BE＝ED，
∴BF＝FH，
∴BF＝FH＝HC＝BC＝，
故选：A．
11．解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6，
∴DF＝AC＝×6＝3，
∵EF＝1，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8，
故答案为：8．
12．解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝DN，
当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，
∴EF长度的最大值为5，
故答案为：5．
13．解：根据题意，画出图形如图示，
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，
∵△ABC的周长是12cm，
∴AB+CB+AC＝12cm，
∴DE+DF+FE＝24÷2＝6（cm）．
故答案是：6cm．
14．解：延长CD交AB于F，
在△BDC和△BDF中，
，
∴△BDC≌△BDF（ASA），
∴BF＝BC＝6，CD＝DF，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
∵CD＝DF，CE＝EA，
∴DE＝AF＝2，
故答案为：2．
15．解：在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（ASA），
∴EB＝AB＝10，AD＝DE，
∵BC＝24，
∴CE＝BC﹣BE＝14，
∵AF＝FC，AD＝DE，
∴DF＝CE＝7，
故答案为：7．
16．解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝2.5，
∴BC＝2DE＝5，
∵E是AC的中点，BE⊥AC，
∴EC＝AE＝3，BA＝BC＝5，
∴AC＝AE+EC＝6，
∴△ABC的周长＝BA+BC+AC＝16，
故答案为：16．
17．解：连接AF并延长交BC于H，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝3，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝4，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF＝BH＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
18．解：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，DF＝BC，EF＝AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
∵四边形BEFD周长为14，
∴DF+EF＝7，
∴AB+BC＝14．
故答案为14．
19．解：过点D作DF∥AC，交AB于F，
∵点D是BC中点，
∴DF＝AC，DF∥AC，BF＝AF＝AB＝，
∴∠BFD＝∠A，
∵∠A＝2∠BED，∠BFD＝∠BED+∠EDF，
∴∠EDF＝∠BED，
∴FE＝FD，
∵AC﹣AE＝3，
∴AE＝AC﹣3＝2FE﹣3，
∴FE+2FE﹣3＝，
解得，FE＝，
∴BE＝BF+FE＝7，
故答案为：7．
20．解：如图，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD．
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝6．
∵M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线MN将△ABC分成了周长相等的两部分，
∴BM＝CM，BM+AB+AN＝CM+CN，
∴AB+AN＝CN，
∴AD+AN＝CN，即DN＝CN，
∵BM＝CM，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝BD＝3．
故答案为：3．
21．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，
∴DE＝2MN＝6，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝22，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，
故答案为：38．
22．解：∵点F是CD的中点，
∴S△DEF＝S△CEF，
设S△DEF＝S△CEF＝x，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴S△ADE＝S△CDE＝2x，S△BDC＝S△ADC＝4x，S△BDF＝2x，
∴S 四边形BDEF＝3x．
∵S 四边形BDEF＝6，
∴3x＝6，
∴x＝2，
∴S△ABC＝2S△BDC＝8x＝16，
故答案为：16．
23．解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA）．
∴AG＝AC＝8cm，
∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BG＝2cm．
答：EF的长为2cm，
24．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
25．（1）证明：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴BD＝HD，又E为BC的中点．
∴DE∥AC；
（2）解：∵△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝AC﹣AH＝2，
∵BD＝HD，又E为BC的中点，
∴DE＝CH＝1．
26．证明：连接EH，GH，GF，
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC，∴GH∥BF．
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG、HF互相平分．
27．证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ，
∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点，
∴EQ∥BD，EQ＝BD，FQ＝AC，FQ∥AC，
∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，
∵AC＝BD，
∴QE＝QF，
∴∠QEF＝∠QFE，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形．
28．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝20°．
29．证明：∵E，G为AB、BC中点，
∴EG＝AC，EG∥AC，
∴∠FEG＝∠OQP，
同理，FG＝BD，FG∥BD，
∴∠EFG＝∠OPQ，
∵AC＝BD，
∴EG＝FG，
∴∠FEG＝∠EFG，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∴OP＝OQ．
30．（1）证明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FG＝BD，FH＝CE，
∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．