4.6反证法-2020-2021学年浙教版八年级数学下册同步提升训练（Word版含解析）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册《4.6反证法》同步提升训练（附答案）
1．下列说法，正确的是（　　）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等
B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是真命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
2．下列语句正确的有（　　）个．
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．
③立方根等于它本身的数是非负数．
④用反证法证明：如果在△ABC中，∠C＝90°，那么∠A、∠B中至少有一个角不大于45°时，应假设∠A＞45°，∠B＞45°．
⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5m，则周长是9cm或12cm．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（　　）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
4．用反正法证明命题“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”时，证明的第一个步骤是（　　）
A．假设AB不平行于CD B．假设AB不平行于EF
C．假设CD∥EF D．假设CD不平行于EF
5．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（　　）
A． B． C．a＜b D．
6．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　　）
A．a∥c B．b∥c C．a∥c，b∥c D．a与b相交
7．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
8．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　）
A．5 B．12 C．14 D．16
9．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
10．用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（　　）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是钝角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是锐角
11．小明在解答“已知△ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以∠B＜90°．
（3）假设∠B≥90°．
（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
请你写出这四个步骤正确的顺序　 　．
12．用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．第一步应先假设　 　．
13．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设：　 　．
14．用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设　 　．
15．已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设　 　．
16．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设　 　成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
17．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
正确顺序的序号排列为　 　．
18．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：　 　．
19．用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设　 　．
20．为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是　 　．
21．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
22．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
23．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
24．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．
25．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果ab＜0，那么a+b＜0
反例：设a＝4，b＝﹣3，ab＝4×（﹣3）＝﹣12＜0，而a+b＝4+（﹣3）＝1＞0
所以，这个命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：
（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：
（画出图形，并加以说明）
参考答案
1．解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
B、“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是若a2＞b2，则a＞b，是假命题，例如（﹣2）2＞02，而﹣2＜0，故本选项说法错误，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
2．解：①“对顶角相等”的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，本小题说法错误；
②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，本小题说法错误；
③立方根等于它本身的数是0和±1，本小题说法错误；
④用反证法证明：如果在△ABC中，∠C＝90°，那么∠A、∠B中至少有一个角不大于45°时，应假设∠A＞45°，∠B＞45°，本小题说法正确；
⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5m，则三边长分别为2cm，5cm，5cm，周长是12cm，本小题说法错误；
故选：D．
3．解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．
故选：A．
4．解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．
∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．
故选：D．
5．解：要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设，
故选：D．
6．解：反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设a与b不平行，即a与b相交，
故选：D．
7．解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
8．解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案A错误；
B.12，
∵12是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案B错误；
C.14，
∵14是偶数，不是4的倍数，
∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是14，
故答案C正确；
D.16，
∵16是偶数，且也是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例；
故答案D错误；
故选：C．
9．解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；
B、∠α的补角∠β＝∠α，符合假命题的结论，故B错误；
C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；
D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．
故选：C．
10．解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角，
故选：D．
11．证明：假设∠B≥90°，
那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以∠B＜90°，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
12．解：用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．
第一步应先假设AC＝BC，
故答案为：AC＝BC．
13．解：用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”
第一步应假设：这两条直线不平行，
故答案为：这两条直线不平行．
14．证明：根据反证法的第一步：假设结论不成立，可以假设“等腰三角形的两底都是直角或钝角”．
故答案为：等腰三角形的两底都是直角或钝角．
15．解：已知：在△ABC中，AB＝AC，
求证：∠B＝∠C．
用反证法来证明这个结论，可以假设∠B≠∠C，
故答案为：∠B≠∠C．
16．解：根据反证法的第一步：从结论的反面出发假设命题不成立，
故用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，
第一个步骤是：先假设平行于同一条直线的两条直线相交．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线相交．
17．解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．
所以再确定步骤是③①②．
故答案为③①②．
18．解：根据反证法的步骤，则可假设AB∥CD，
故答案为：AB∥CD．
19．解：用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”的第一步是假设a2≤b2，
故答案为：a2≤b2，
20．解：当a＝2，b＝1时，满足命题的题设a＞b的要求，
而＝，＝1，显然，不支持原命题的结论，
故填当a＝2，b＝1时，a＞b，但．
21．解：有错误．改正：
假设AC＝BC，则∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC．
22．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1＝∠A+∠B，
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．
23．证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
24．证明：假设a与b相交，
则过M点有两条直线平行于直线c，
这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，
所以a∥b．
25．解：（1）取a＝2，b＝﹣1，则a+b＝1＞0，但ab＝﹣2＜0．所以此命题是假命题．
（2）取a＝1+，b＝1﹣，a、b均为无理数．但a+b＝2是有理数，所以此命题是假命题．
（3）如图所示，在△ABC与△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，∠ABD＝∠ABC，但△ABC与△ABD显然不全等．
所以此命题是假命题．