第4章 平行四边形 单元测评培优卷（原版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年浙教版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第4章
平行四边形
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山东八年级期末）下列图形是物理学中的力学、电学等器件的平面示意图，从左至右分别代表小车、音叉、凹透镜和砝码，其中是中心对称图形的是（
　
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·沧州市第十三中学八年级月考）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成(　　)个三角形．
A．6
B．5
C．8
D．7
3．（2020·珠海市九洲中学八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·湖南八年级期末）在中，如果，
那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·广东八年级期末）如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，且?ABCD的周长为40，则?ABCD的面积为（　　）
A．24
B．36
C．40
D．48
6．（2020·江苏八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为
(
)
A．4
B．4.5
C．5
D．6
7．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级月考）在如图所示的平面直角坐标系中，△是边长为2的等边三角形，作△与△关于点成中心对称，再作△与△关于点成中心对称，如此作下去，则△（n是正整数）的顶点的坐标是（
）
A．(4n-1,)
B．(2n-1,)
C．(4n+1,)
D．(2n+1,)
8．（2020·江苏八年级期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·湖南九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E且AB＝AE，延长AB与DE的延长线相交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③BF＝AD；④S△BEF＝S△ABC；⑤S△CEF＝S△ABE；其中正确的有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
10．（2020·广东八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021·辽宁九年级期末）在平面直角坐标系中，点P（4，1）关于点（2，0）中心对称的点的坐标是_______.
12．（2020·广西八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝2，则AE的长为_____．
13．（2020·浙江八年级期中）已知平面上有三个点，点，以点，点点为顶点画平行四边形，则第四个顶点的坐标为____．
14．（2020·山东八年级期末）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依次作下去，则第2019个三角形的周长为_________.
15．（2020·山西九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为_____．
16．（2020·浙江八年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°②③④，正确的个数是______________
17．（2020·浙江实验中学八年级期中）如图，在?ABCD中，P为AB上的一点，E、F分别是DP、CP的中点，G、H为CD上的点，连接EG、FH，若?ABCD的面积为24，，则图中阴影部分的面积为_____．
18．（2020·全国九年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·广西九年级月考）如图，知四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD点F．求证：四边形BCEF是平行四边形．
20．（2020·江苏九年级）如图，四边形为平行四边形，为的中点，连接并延长交
的延长线于点．（1）求证：△≌△；（2）过点作于点，为的中点．判断与的位置关系，并说明理由．
21．（2021·浙江八年级期中）如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．设运动时间为秒，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？
22．（2020·齐齐哈尔市第五十三中学校九年级月考）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式的最大整数解，线段OB的长是一元二次方程的一个根，将沿BE折叠，使AB边落在OB边所在的y轴上，点A与点D重合．
（1）求OA、OB的长；（2）求直线BE的解析式；（3）在平面内是否存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2020·武钢实验学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，分别以AO、CO为边向外作等边三角形△AOD和等边三角形△COE，DF⊥AO于F，连DE交AO于G．
（1）求证：△DFG≌△EOG；（2）H为AD的中点，连HG，求证：CD＝2HG；
（3）在（2）的条件下，AC＝4，若M为AC的中点，求MG的长．
24．（2020·河北九年级）如图，在四边形中，是上一点，交于点．（1）求证：；（2）若，求；（3）若，求证：四边形是平行四边形．
25．（2020·重庆九年级期末）在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；
（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．
2020-2021学年浙教版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第4章
平行四边形
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山东八年级期末）下列图形是物理学中的力学、电学等器件的平面示意图，从左至右分别代表小车、音叉、凹透镜和砝码，其中是中心对称图形的是（
　
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2020·沧州市第十三中学八年级月考）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成(　　)个三角形．
A．6
B．5
C．8
D．7
【答案】B
【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形．故选B．
【点睛】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n-2）个三角形．
3．（2020·珠海市九洲中学八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠DAB=180°-100°=80°，由角平分线的定义得
出∠DAE=∠DAB=40°即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B=180°，∴∠DAB=180°-100°=80°，
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠DAB=40°；故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DAB的度数是解决问题的关键．
4．（2020·湖南八年级期末）在中，如果，
那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，进而可得∠A+∠B=180°，而，从而求出，最后根据平行四边形的性质从而可得答案．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB//CD
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°
∵∠A=2∠B，∴∠A=120°，∴∠B=∠D=60°故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．
5．（2020·广东八年级期末）如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，且?ABCD的周长为40，则?ABCD的面积为（　　）
A．24
B．36
C．40
D．48
【答案】D
【分析】根据平行四边形的周长求出BC+CD＝20，再根据平行四边形的两种面积计算方法求出BC＝CD，由此可以求出CD的值，进而具体求得平行四边形的面积．
【详解】解：∵?ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，∴S?ABCD＝4BC＝6CD，整理得，BC＝CD②，
联立①②解得，CD＝8，∴?ABCD的面积＝AF?CD＝6CD＝6×8＝48．故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的面积计算，利用方程的思想方法求得平行四边形的底是解题关键．
6．（2020·江苏八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为
(
)
A．4
B．4.5
C．5
D．6
【答案】A
【分析】取MB的中点P，连接FP，EP，DN，由中位线的性质，可得当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为?EFP，求出当点N与点A重合时，FP的值，以及FP上的高，进而即可求解．
【详解】取MB的中点P，连接FP，EP，DN，∵FP是?MNB的中位线，EF是?DMN的中位线，
∴FP∥BN，FP=，EF∥DN，EF=，
∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为?EFP．
∴当点N与点A重合时，FP===4，过点D作DQ⊥AB于点Q，
∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，∴AQ=8-5=3，∴DQ=，
∴当点N与点Q重合时，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，
∴?EFP中，FP上的高=2，∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=×4×2=4．
故选A．
【点睛】本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
7．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级月考）在如图所示的平面直角坐标系中，△是边长为2的等边三角形，作△与△关于点成中心对称，再作△与△关于点成中心对称，如此作下去，则△（n是正整数）的顶点的坐标是（
）
A．(4n-1,)
B．(2n-1,)
C．(4n+1,)
D．(2n+1,)
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可求得点A1、B1的坐标，然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标；最后总结出An的坐标的规律，从而可得答案．
【详解】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2的坐标是（3，﹣），点B2的坐标是（4，0），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3的坐标是（5，），点B3的坐标是（6，0），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4的坐标是（7，﹣），……，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，），
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中心对称的性质和点的坐标规律探求，属于常考题型，具有一定的难度，熟练掌握上述知识、找到规律是解题的关键．
8．（2020·江苏八年级期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．
【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，
9．（2020·湖南九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E且AB＝AE，延长AB与DE的延长线相交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③BF＝AD；④S△BEF＝S△ABC；⑤S△CEF＝S△ABE；其中正确的有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，即可证明∠EAD=∠ABE，利用SAS可证明△ABC≌△EAD；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD，即可证明∠ABE=∠BEA=∠BAE，可得AB＝BE＝AE，得出②正确；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠BEA=∠EAD，
∵AB=AE，∴∠ABE=∠BEA，∴∠EAD=∠ABE，
在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确；
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，
∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，
∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．
若AD=BF，则BF＝BC，题中未限定这一条件，∴③不一定正确；
如图，过点E作EH⊥AB于H，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABE是等边三角形，∴AG=EH，
若S△BEF＝S△ABC，则BF=BC，题中未限定这一条件，∴④不一定正确；
综上所述：正确的有①②⑤．故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键．
10．（2020·广东八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】由，得出∠BAC=90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；∠FDA=180°－∠DFE=30°，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果．
【详解】解：∵，∴，∴∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，∴∠DAE=150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，过点作于点，
∴，故④不正确；∴正确的个数是3个，故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021·辽宁九年级期末）在平面直角坐标系中，点P（4，1）关于点（2，0）中心对称的点的坐标是_______.
【答案】（0，-1）
【分析】在平面直角坐标系中画出图形，根据已知条件列出方程并求解，从而确定点关于点中心对称的点的坐标．
【详解】解：连接并延长到点，使，设，过作轴于点，如图：
在和中∴∴，
∵，∴，∴，∴
故答案是：
【点睛】本题考查了一个点关于某个点对称的点的坐标，关键在于掌握点的坐标的变化规律．
12．（2020·广西八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝2，则AE的长为_____．
【答案】
【分析】由“ASA”可证△ADF≌△ECF，可得AF＝EF，由平行线的性质和角平分线的性质可得AD＝DF，由等腰三角形的性质和勾股定理可求AG＝GF＝2，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝8，AB∥CD，∴∠ADF＝∠ECF，
∵点F为边DC的中点，∴DF＝CF＝4，
又∵∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴AF＝EF，
∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，又∵DG⊥AF，∴AG＝GF，
∵GF＝＝＝2，∴AG＝GF＝2，
∴AF＝4＝EF，∴AE＝8，故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
13．（2020·浙江八年级期中）已知平面上有三个点，点，以点，点点为顶点画平行四边形，则第四个顶点的坐标为____．
【答案】或或
【分析】根据平行四边形的性质，分别以AB、AC、BC为对角线画出平行四边形，然后写出第四个顶点D的坐标．
【详解】如图，以A、B、C为顶点的平行四边形第四个顶点D的坐标（0，2）或（6，6）或（4，-2）．
故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，-2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．根据平行四边形的性质，结合坐标画出图形，找出D点坐标的三种情况．
14．（2020·山东八年级期末）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依次作下去，则第2019个三角形的周长为_________.
【答案】
【分析】易得第2个三角形的周长为，那么第三个三角形的周长为…第2019个三角形的周长为.
【详解】解：根据三角形的中位线定理知：它的三条中位线组成的第二个三角形的周长是第一个三角形周长的一半，即，第三个三角形的周长为依此类推，则第2019个三角形的周长是．
故答案是：．
【点睛】此题既考查了三角形的中位线定理，又考查了是否能够正确找到规律．
15．（2020·山西九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为_____．
【答案】4
【分析】设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝，BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．
【详解】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，
连接BE，
∵AB＝OB，AE＝OE∴BE⊥AO∴∠BEM＝45°，∴BM＝EM＝MC＝x，∴BM＝FE，
易得△ENF≌△MNB，∴EN＝MN＝，BN＝FN＝5，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，
即解得，x＝，∴BC＝2x＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
16．（2020·浙江八年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°②③④，正确的个数是______________
【答案】①②③④
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OB的长，可得BD的长；③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理及直角三角形30°角的性质可作判断.
【详解】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=1，
∵BC=2，∴EC=1，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=30°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACE=30°，故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，∴OE=AB=，OE∥AB，∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=，
∴OA=OC=,Rt△OAB中，OB=，
∴BD=2OB=，故②正确；③由②知：∠BAC=90°，∴S?ABCD=AB?AC，故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE=AB，
∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，∴AB=BC=AD,∴,故④正确；
本题正确的有：①②③④,4个，故答案为：①②③④.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质，直角三角形30°角的性质、平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键.
17．（2020·浙江实验中学八年级期中）如图，在?ABCD中，P为AB上的一点，E、F分别是DP、CP的中点，G、H为CD上的点，连接EG、FH，若?ABCD的面积为24，，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】．
【分析】设EG，FH交于点O，根据平行四边形的性质可得求解S△PCD＝12，利用三角形的中位线可求解S△PEF＝3，由平行线的性质可求解S△OEF＝S△OGH＝S△PEF＝1.5，进而可求解．
【详解】解：如图，设EG，FH交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，且?ABCD的面积为24，
∴S△PCD＝S?ABCD＝12，AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别是DP、CP的中点，∴EF为△PCD的中位线，
∴CD＝2EF，EF∥CD∥AB，∴S△PEF：S△PCD＝1：4，∴S△PEF＝3，
∵GH＝AB，∴EF＝GH，EF∥GH，∴S△OEF＝S△OGH＝S△PEF＝1.5，
∴S阴影＝3+2×1.5＝6，故答案为6．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的面积等知识的综合运用．
18．（2020·全国九年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，经过点，，，
，，，，
四边形周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·广西九年级月考）如图，知四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD点F．求证：四边形BCEF是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】由矩形的性质得出∠BAD=90°，DC=AB，DC∥AB，得出∠CDF=∠DBA，证出∠BFA=∠CED=90°．∠CDF=∠ECD，证出EC∥BF，再证明△ECD≌△FBA，得出EC=BF，即可得出结论
【详解】证明：∵四边形是矩形，∴，∴
∵，∴∴
∵于点，∴．∴=
在和中，，∴，∴，
又∵∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2020·江苏九年级）如图，四边形为平行四边形，为的中点，连接并延长交
的延长线于点．（1）求证：△≌△；（2）过点作于点，为的中点．判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）CH⊥DG，见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得：AB‖DC，则可求出∠BAE=∠CFE，结合题目条件可证得结论；（2）由（1）可证得CF=CD，可得CH为三角形DFG的中位线，则可得CH‖AF，可证CH⊥DG．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB‖DC，∴∠BAE=∠CFE，
∵E为BC的中点，∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中：
,∴△ABE△FCE（AAS）；
（2）解：CH⊥DG，理由如下：由（1）得△ABE△FCE，∴AB=CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴CF=CD，∴C为FD的中点，
∵为的中点，∴CH为△DFG的中位线，∴CH‖AF，
∵DG⊥AE，∴∠DHC=∠DGF=90°，∴DG⊥AE．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，三角形全等和中位线，其中第二问证明中位线是关键．
21．（2021·浙江八年级期中）如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．设运动时间为秒，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】秒、秒或秒
【分析】根据平行四边形的性质，可得，结合题意可知PD=BQ，然后分四种情况考虑，根据PD=BQ即可列出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论.
【详解】解：四边形为平行四边形，．
若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则．
分四种情况讨论：
（1）当时，，，，，
，（不合题意，舍去）；
（2）当时，，，，，解得：；
（3）当时，，，，，
，解得：；
（4）当时，，，，
，解得：．
综上所述可知，当运动时间为秒、秒或秒时，以、、、四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及一元一次方程的实际应用，解题的关键是要分四种情况列出一元一次方程.
22．（2020·齐齐哈尔市第五十三中学校九年级月考）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式的最大整数解，线段OB的长是一元二次方程的一个根，将沿BE折叠，使AB边落在OB边所在的y轴上，点A与点D重合．
（1）求OA、OB的长；（2）求直线BE的解析式；（3）在平面内是否存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）OA=4，OB=3；（2）；（3）存在，；；
【分析】（1）求出不等式的解集，求出OA，求出方程的解，得出OB；（2）根据对折得出DE=AE，BD=AB=5，设OE=x，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程22+x2=（4-x）2，求出x，得出E的坐标，设直线BE的解析式是y=kx+b，把B、E的坐标代入求出即可；（3）分别以OB、BE、OE为对角线，得出符合条件的四边形有三个，根据B、E的坐标即可求出M的坐标．
【详解】解：（1）∵5x-4＜3（x+2），5x-4＜3x+6，2x＜10，x＜5，∴OA=4，
∵x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，x-3=0，x+1=0，x=3，x=1，∴OB=3，答：OA=4，OB=3；
（2）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
∵OB=3，∴B（0，3），设OE=x，
∵将Rt△ABO沿BE折叠，使AB边落在OB边上，A与D重合，
∴DE=AE，BD=AB=5，∴DE=AE=4-x，OD=5-3=2，
在Rt△OED中，由勾股定理得：22+x2=（4-x）2，解得：x=，即E的坐标是：（，0）．
设直线BE的解析式是y=kx+b，
∵把B、E的坐标代入得：，解得：k=-2，b=3，∴直线BE的解析式是：y=-2x+3；
（3）如图所示：在平面内存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标是（，3）或（，3）或（，3）．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元二次方程，勾股定理，平行四边形性质，折叠问题的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：用了方程思想和分类讨论思想．
23．（2020·武钢实验学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，分别以AO、CO为边向外作等边三角形△AOD和等边三角形△COE，DF⊥AO于F，连DE交AO于G．
（1）求证：△DFG≌△EOG；（2）H为AD的中点，连HG，求证：CD＝2HG；
（3）在（2）的条件下，AC＝4，若M为AC的中点，求MG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，通过等边三角形的性质利用AAS定理解答本题．
（2）本题考查三角形中位线定理以及全等三角形的判定，通过构造辅助线利用SAS定理解答．
（3）本题考查三角形中位线定理以及等边三角形的证明，通过构造辅助线，结合角度的计算加以证明，最后求解边长．
【详解】证明：（1）如图1，∵∠AOC＝30°，∴∠GOE＝90°．
设AC＝a，则OA＝2a，OE＝OC＝a，在等边△AOD中，DF⊥OA，
∴DF＝a，∴DF＝OE．又∵∠DGF=∠EGO,∠DFG=∠EOG，∴△DFG≌△EOG（AAS）．
（2）如下图图2所示，连接AE，
∵H、G分别为AD、DE的中点，∴HG∥AE，HG＝AE．
∵DO=AO，CO=OE,∠DOC=∠AOE=90°，∴△DOC≌△AOE（SAS），∴DC＝AE，∴DC＝2HG．
（3）如下图图2所示，连接HM，
∵H、M分别为AD、AC的中点，∴HM＝CD．∵DC=2HG，∴HM＝HG．
又∠DHG＝∠DAE＝60°+∠OAE＝60°+∠ODC，∠AHM＝∠ADC，
∴∠MHG＝180°﹣∠AHM﹣∠DHG＝180°﹣∠ADC﹣60°﹣∠ODC＝120°﹣（∠ADC+∠ODC）＝120°﹣∠ADO＝60°，∴△HMG为等边三角形．
∵AC＝4，∴OA＝OD＝8，OC＝，CD＝，∴MG＝HG＝CD＝．
【点睛】本题主要考查全等的判定、中位线定理的应用以及等边三角形的性质，难点主要在于辅助线的构造，本题题干中出现多个中点信息，即提示需要做中位线．
24．（2020·河北九年级）如图，在四边形中，是上一点，交于点．（1）求证：；（2）若，求；（3）若，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）详见解析；（2）36°；（3）详见解析
【分析】（1）根据三角形全等的判定定理，即可得到结论；（2）由，，，可得，进而即可求解；（3）先证出，再证明AE=BD=BC，根据平行四边形的判定定理，即可得到结论．
【详解】（1），，
在和中，∵，；
（2），
∵，∴，
，，
．
（3），，，，
．，，，，
，，，，，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理，是解题的关键．
25．（2020·重庆九年级期末）在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；
（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．
【答案】（1）26；（2）见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，由BE平分∠ABC，得出∠ABE＝∠CBE，推出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝5，得出AB＝5，即可得出结果；
（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，则∠FBG＝∠CKG，由点G是CF的中点，得出FG＝CG，由AAS证得△FBG≌△CKG，得出BG＝KG，CK＝BF＝CD，由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，由平行线的性质得出∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，易证∠EKC＝∠D，∠CKB＝∠BAE，由AAS证得△AEB≌△KBC，得出BC＝BE，则∠KEC＝∠BCE，推出∠KEC＝∠DEC，由AAS证得△KEC≌△DEC，得出KE＝ED，即可得出结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，
∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，∴AB＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；
（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：则∠FBG＝∠CKG，
∵点G是CF的中点，∴FG＝CG，在△FBG和△CKG中，∵
，
∴△FBG≌△CKG（AAS），∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，
∵∠FBE+∠ABC＝180°，∴∠FBE+∠D＝180°，∴∠CKB+∠D＝180°，∴∠EKC＝∠D，
∵∠BAE+∠D＝180°，∴∠CKB＝∠BAE，
在△AEB和△KBC中，∵，∴△AEB≌△KBC（AAS），
∴BC＝EB，∴∠KEC＝∠BCE，∴∠KEC＝∠DEC，
在△KEC和△DEC中，∵，∴△KEC≌△DEC（AAS），∴KE＝ED，
∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，∴2BG+ED＝BC．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理和平行四边形的性质定理的综合应用，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)