5.3.1正方形的判定 同步练习（含解析）

初中数学浙教版八年级下册5.3.1正方形的判定 同步练习
一、单选题
1.要使矩形ABCD为正方形，需要添加的条件是（　　）
A.?AB=BC??????????????????????????????B.?AD=BC??????????????????????????????C.?AB=CD??????????????????????????????D.?AC=BD
2.已知平行四边形 ABCD 中， ∠A=∠B=∠C=90? ，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（??? ）
A.?∠D=90??????????????????????????B.?AB=CD?????????????????????????C.?AB=BC?????????????????????????D.?AC=BD
3.已知在四边形 ABCD 中， ∠A=∠B=∠C=90° ，下列可以判定四边形是正方形的是（??? ）
A.?∠D=90°?????????????????????????B.?AB=CD?????????????????????????C.?AC=BD?????????????????????????D.?BC=CD
4.如图，已知线段 AB ，按下列步骤作图：分别以 A 、 B 为圆心，大于 12AB 长为半径画弧，两弧相交于点 M 、 N ，作直线 MN ，交 AB 于点 O ，分别连接 MA 、 MB 、 NA 、 NB ，如果四边形 MANB 是正方形，需要添加的条件是（??? ）
A.?AO=MO???????????????????B.?MA//NB???????????????????C.?MA=NB???????????????????D.?AB 平分 ∠MAN
5.如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（?? ）

A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ???）
A.?选①②???????????????????????????????B.?选选①③???????????????????????????????C.?选②③???????????????????????????????D.?选②④
7.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当 ∠B=90° 时，如图1，测得AC=2，当 ∠B=60° 时，如图2，则AC的值为（?? ）
?
A.?22????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?2
8.在矩形ABCD中，E，P，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中正确的是（?? ）
①存在无数个四边形EFGH是平行四边形.②存在无数个四边形EFGH是矩形.③存在且仅有一个四边形EFGH是菱形.④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形.
A.?①②?????????????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?①②④?????????????????????????????????D.?①③④
9.下列命题中，真命题是（??? ）
A.?有一组边相等的平行四边形是菱形；??????????????????B.?有一个角是直角的平行四边形是正方形；
C.?有一个角为直角的菱形是正方形；??????????????????????D.?两条对角线相等的四边形是矩形．
10.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，顺次连接E、F、G、H四点，得到四边形EFGH，则下列结论不正确的是（　　）

A.?四边形EFGH一定是平行四边形???????????????????????????B.?当AB=CD时，四边形EFGH是菱形
C.?当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形?????????????????????D.?四边形EFGH可能是正方形
二、填空题
11.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，要使四边形ADEF是正方形，还需添加条件：________.
12.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF,请你添加一个条件________，使四边形BECF是正方形.

13.如图，在一块木板上钉上9颗钉子，每行和每列的距离都一样，以钉子为顶点拉上橡皮筋，组成一个正方形，这样的正方形一共有________个.
14.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB:AD=________时，四边形MENF是正方形．
三、解答题
15.如图，将 RtΔADF 绕着点A顺时针旋转 90° 得到 RtΔABE ，射线 EB 与 DF 相交于点C， ∠D=90° ，求证：四边形 ABCD 为正方形．
16.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-2,0）、B(0，-2)、C（2,0）、D（0，2）,求证：四边形ABCD是正方形.

17.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC ， 且交CE的延长线于点F ， 联结BF ．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；
（3）（填空）在（2）中再增加条件________．则四边形AFBD是正方形．
18.如图,点E,F, G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.

（1）求证:四边形EFGH是平行四边形.
（2）若连接AC,BD, 则当AC,BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形?请说明理由.
19.如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别为AB，AC上的点（E，F不与A重合），且EF//BC.将△AEF沿着直线EF向下翻折，得到 △A'EF ，再展开.
（1）请证明四边形 AEA'F 为菱形；
（2）当等腰△ABC满足什么条件时，按上述方法操作，四边形 AEA'F 将变成正方形？（只写结果，不作证明）
答案解析部分
一、单选题
1. A
考点：正方形的判定
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴要使矩形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：AB=BC或AC⊥BD．
故答案为：A．
分析：根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可解答．
2. C
考点：正方形的判定
解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，
故答案为：C．
分析：由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
3. D
考点：正方形的判定
解：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即BC=CD ，
故答案为：D ．
分析：由∠A=∠B=∠C=90°，可证四边形ABCD是矩形，根据对角线相等或邻边相等的四边形是正方形逐一进行判断即可.
4. A
考点：正方形的判定
解：由作法得AM=BM=AN=BN，
∴四边形AMBN为菱形，
∴当OA=OM时，即AB=MN时，四边形AMNB为正方形．
故答案为：A．
分析：先判断出四边形AMBN为菱形，再利用正方形的判定方法求解即可。
5. D
考点：正方形的判定
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠ABC=90°，
∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠FCB= 12 ∠DCB=45°，∠FBC= 12 ∠ABC=45°，
∴∠FCB=∠FBC=45°，
∴CF=BF，∠F=180°-45°-45°=90°，
①∵EB∥CF，CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵CF=BF，∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故①正确；
∵BE=CE，BF=BE，CF=BF，
∴BF=CF=CE=BE，
∴四边形BFCE是菱形，
∵∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故②正确；
∵BE∥CF，CE⊥BE，
∴CF⊥CE，
∴∠FCE=∠E=∠F=90°，
∴四边形BFCE是矩形，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故③正确；
∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，
∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，
∵∠F=90°，
∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故④正确；
即正确的个数是4个，
故答案为：D
分析：根据矩形的性质和角平分线的性质，添加条件，然后根据四个角都是直角，四边相等的四边形是正方形逐一判断即可.
6. C
考点：正方形的判定
解：A、由①得有一组部边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意
B、由①得有一组部边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出出平行四边形ABCD是正方形,错误,故本选项符合题意
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确故本选项不符合题意
故答案为：C.
分析：要判定是正方形形,则需能判定它既是菱形又是矩形。
7. D
考点：等边三角形的判定，勾股定理的应用，正方形的判定
解：如图1，∵AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2＋BC2＝AC2 ，
∴AB＝BC＝ 12AC2 ＝ 12×22 ＝ 2 ，
如图2，∠B＝60°，连接AC，
a
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝ 2 .
分析：图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得.
8. C
考点：平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定
解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
则四边形EFGH是平行四边形，
故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故①正确；
②如图，当EG＝HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形，故②正确；
③如图，当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形，故③错误；
④当四边形EFGH是正方形时，EH＝HG，
则△AEH≌△DHG，
∴AE＝HD，AH＝GD，
∵GD＝BE，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④正确；
故答案为：C.
分析：根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论.
9. C
考点：菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
解：A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；
B.有一个角是直角的菱形是正方形，故B不符合题意；
C.有一个角是直角的菱形是正方形，故C符合题意；
D.两条对角线相等的四边形可为等腰梯形，故D不符合题意．
故答案为：C．
分析：A选项根据菱形的判定进行判断；B，C选项根据正方形的判定进行判断；D选项根据矩形的判定进行判断．
10. C
考点：平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，三角形的中位线定理
解：∵E、F分别是BD、BC的中点，
∴EF∥CD，EF= 12 CD，
∵H、G分别是AD、AC的中点，
∴HG∥CD，HG= 12 CD，
∴HG∥EF，HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，A说法符合题意，不符合题意；
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴FG= 12 AB，
∵AB=CD，
∴FG=EF，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形，B说法符合题意，不符合题意；
当AB⊥BC时，EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，C说法不符合题意，符合题意；
当AB=CD，AB⊥BC时，四边形EFGH是正方形，说法符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
分析：根据三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
二、填空题
11. ∠A＝90°，AD＝AF(答案不唯一)
考点：正方形的判定
解：要证明四边形ADEF为正方形，
则要求其四边相等，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，
则得其为平行四边形，
且有一角为直角，
则在平行四边形的基础上得到正方形.
故答案为：AB=AC，∠A=90°（此题答案不唯一）.
分析：根据已知条件易证四边形ADEF是平行四边形，再根据正方形的判定定理添加条件即可，此题答案不唯一.
12. AC=BC
考点：正方形的判定
解：∵EF垂直平分BC ，
∴BE=EC ， BF=CF ，
∵BF=BE ，
∴BE=EC=CF=BF ，
∴四边形BECF是菱形；
当AC=BC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
分析：由条件可知四边形BECF是菱形，要想成为正方形需保证∠ACB=90，即∠ABC=45°,也就是△ABC是等腰直角三角形。
13. 6
考点：正方形的判定
解：如图所示，将木板上的九个点分别标号为1-9，
一共可能组成正方形的组合有6种，按照序号依次连接，即可得到正方形：①1、2、5、4；②2、3、6、5；③4、5、8、7；④5、6、9、8；⑤2、4、8、6；⑥1、3、9、7，
故答案为：6.
分析：正方形的定义即为：四条边相等且四个角都是直角的四边形，所以在该九个点中任取四个点，组成的四边形能满足定义即可.
14. 1:2
考点：正方形的判定
解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
分析：当AB=12AD时，四边形MENF为正方形，因为此时，AB=AM=BN，并且△ABM、△MDC、△BEN，△NCF都是等腰直角三角形，并且点E、F分别是BM和CM的中点，所以四边形MENF是正方形.
三、解答题
15. 证明：∵将 RtΔADF 绕着点A顺时针旋转 90° 得到 RtΔABE ，
∴ ∠EAF=90°,△ADF≌△ABE ，
∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，
∵∠D=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
考点：正方形的判定
分析：由题易得：∠D=∠ABC=∠BAD=90° ， 则有四边形ABCD是矩形，然后由AB=AD可求证。
16. 证明：由四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(-2.0)、B(0，-2)、C(2，0)、D(0，2),
可知OA=OB=OC=OD=2，
∴四边形ABCD为矩形.
?∵ AC⊥BD,
∴四边形ABCD是正方形
考点：正方形的判定
分析：由点A、B、C、D的坐标可得OA=OB=OC=OD=2，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，由图知，AC⊥BC，根据对角线互相垂直的矩形是正方形可求证。
17. （1）证明：∵点D是BC边的中点，点E是AD的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥BF，
∴AD∥BF，
∵AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形
（2）证明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB＝90°．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形
（3）∠BAC＝90°
考点：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定
解：（3）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：
∵四边形AFBD为平行四边形，
又∵等腰直角三角形ABC ， 且D为BC的中点，
∴AD＝BD ， ∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
分析：（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF＝BD ， 且AF与BD平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝BD ， 且根据三线合一得到AD与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD为正方形．
18. （1）证明：如图，连接BD，
∵E、F分别是CD和CB的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF=12BD，
同理HG∥BD，HG=12BD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）解：如图，连接AC、BD，当AC,BD相等且互相垂直时，四边形EFGH是正方形，理由如下：由上题知EF=HG=12BD，EH=FG=12AC，∵AC=BD，∴EF=FG=HG=EH，∵EH∥AC，HG∥BD，∴∠EHF=∠CMB=90°，∴四边形EFGH是正方形.
考点：平行四边形的判定与性质，正方形的判定，三角形的中位线定理
分析：（1）连接BD，E、F分别是CD和CB的中点，由三角形的中位线定理可知EF平行等于BD的一半，同理得出HG平行等于BD的一半，则EF和HG平行且相等，可证四边形EFGH是平行四边形.
（2）当AC=BD时，由中位线定理可得四边形EFGH的各边相等，因为四边形的邻边和AC和BD分别平行，可知它们的夹角相等，故AC和BD垂直时，四边形EFGH的各内角也等于90°，故四边形EFGH是正方形.
19. （1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，∠C＝∠AFE.
∴∠AEF＝∠AFE.
∴AE＝AF.
∵AE＝EA′，AF＝FA′，
∴AE＝EA′=AF＝FA′，
∴四边形AEA′F是菱形.
（2）解：当∠A=90°时，四边形AEA′F是正方形.
由（1）可知四边形AEA′F是菱形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEA′F是正方形..
考点：等腰三角形的性质，菱形的判定，正方形的判定，翻折变换（折叠问题）
分析：（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质可得∠AEF＝∠AFE ，由等角对等边可得AE=AF，结合折叠的性质可得AE＝EA′=AF＝FA′ ， 从而可证四边形AEA′F是菱形；
（2）因为有一角为直角的菱形是正方形，故当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形.