5.2.2菱形的判定 同步练习（含解析）

初中数学浙教版八年级下册5.2.2菱形的判定 同步练习
一、单选题
1.如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果 AD//BC ，则结论①AB // CD；②AB=CD；③ AB⊥BC ；④ AO=OC 中正确的是（? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.如图，在 △ABC 中，点D在边BC上，过点D作 DE//AC ， DF//AB ，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（??? ）
A.?四边形 AEDF 是平行四边形?????????????????????????B.?若 ∠B+∠C=90° ，则四边形 AEDF 是矩形
C.?若 BD=CD ，则四边形 AEDF 是菱形???????D.?若 AD=BD ，则四边形 AEDF 是矩形
3.如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E ， 连接AE ． 添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（?? ）
A.?∠BAD=∠BDA?????????????????B.?AB=DE?????????????????C.?DF=EF?????????????????D.?DE平分 ∠ADB
4.两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC.若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（?? ）.
A.?2?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?53?????????????????????????????????????????D.?43
5.某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（?? ）
A.?矩形?????????????????????????????????B.?菱形?????????????????????????????????C.?正方形?????????????????????????????????D.?等腰梯形
6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（　　）
A.?5??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
7.如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(??? )
A.?16?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?13
8.如图，在 ? ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（??? ）
A.?∠A=60????????????????????????B.?DE=DF???????????????????????C.?EF⊥BD???????????????????????D.?BD 是∠EDF的平分线
9.如图，某同学作线段AB的垂直平分线：分别以点A和点B为圆心，大于 12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD为线段AB的垂直平分线.根据这个同学的作图方法可知四边形ADBC一定是（?? ）
A.?菱形?????????????????????????????B.?平行四边形?????????????????????????????C.?矩形?????????????????????????????D.?一般的四边形
10.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（??? ）
A.?当AB=BC时，它是菱形??????????????????????????????????????B.?当AC⊥BD时，它是菱形
C.?当 ∠ABC=90? 时，它是矩形??????????????????????????D.?当 AC=BD 时，它是菱形
二、填空题
11.如图，在□ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N ， 再分别以点M、N为圆心，以大于 12MN 长为半径画圆弧，两弧交于点P ， 作射线AP交边CD于点E ， 过点E作EF∥AD交AB于点F ． 若AB=5，CE=2，则四边形ADEF的周长为________．
12.如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为________.
13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，则四边形周长为________，面积为________.
14.如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为________．

三、解答题
15.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10．求证：四边形ABCD是菱形．
16.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
17.老师布置了一个作业，如下：
已知：如图1 ?ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 F ，交 BC 于点 E ，交 AC 于点 O ．求证：四边形 AECF 是菱形．
嘉琪同学写出了如图2所示的证明过程，老师说嘉琪同学的作业是错误的．请你解答下列问题：
（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；
（2）请你给出本题的符合题意证明过程．
18.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？不用证明．
19.如图，直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A ， B ， 直线y =12 x+3交y轴于点C ， 两直线相交于点D ．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y =12 x+3于点E ， 连接AC ， BE ． 求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG ， FG ， 当CG=FG ， 且∠CGF=∠ABC时，求点G的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：菱形的判定与性质，轴对称的性质
解：如图所示：
∵直线l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴AB∥CD，故①正确；
∴四边形ABCD是菱形；
∴AB=CD，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形；
∴AO=OC，故④正确.
∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误.
故答案为：C.
分析：根据轴对称图形的性质得出AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，根据平行线的性质得出∠2=∠3，根据等量代换得出∠1=∠4，进而根据内错角相等，二直线平行得出AB∥CD，根据一组邻边相等且两组对边分别平行的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质即可一一判断得出答案.
2. C
考点：平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定
解： ∵ DE//AC,DF//AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形，故A选项不符合题意；
∵ 四边形AEDF是平行四边形， ∠B+∠C=90°
∴∠BAC=90°
∴ 四边形AEDF是矩形，故B选项不符合题意；
∵DE//AC
∴DEAC=BDBC=12
∴DE=12AC
同理 DF=12AB
要想四边形AEDF是菱形，只需 DE=DF ,则需 AC=AB 显然没有这个条件，故C选项符合题意；
∵AD=BD ,则 ∠B=∠DAB , ∠DAC=∠C ,
∵∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC=90°
∴ ∴ 四边形AEDF是矩形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
分析：根据平行四边形、矩形、菱形的判定逐项判定即可。
3. D
考点：菱形的判定
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB=∠EBA，
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，
∵∠AFD=∠BFE，
∴△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
A、当 ∠BAD=∠BDA 时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
D、当DE平分 ∠ADB 时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
分析：先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项分析即可。
4. C
考点：勾股定理，菱形的判定与性质
解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
{∠AGB=∠CGE∠B=∠EAB=CE ，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2 ，
解得：x= 53 ，
∴CG= 53 ，
∴菱形AGCH的面积=CG ? AB= 53×1=53 ，
即图中重叠（阴影）部分的面积为 53 .
故答案为：C.
分析：证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积.
5. B
考点：平行四边形的判定与性质，菱形的判定
解：过点A作 AE⊥BC 于E， AF⊥CD 于F，如图，
∵ 两条彩带宽度相同，
∴AB//CD ， AD//BC ， AE=AF .
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF .
又 ∵AE=AF .
∴BC=CD ，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
故答案为： B .
分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形.
6. C
考点：菱形的判定与性质，矩形的性质
解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°
∴OC＝OD，
∴四边形CODE是菱形
∵AB＝4，BC＝3
∴AC=AB2+BC2=5
∴OC＝ 52
∴四边形CODE的周长＝4× 52 ＝10
故答案为：C.
分析：由矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，易证得四边形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的长，继而求得OC的长，则可求得答案.
7. A
考点：角平分线的性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的性质
解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= AB2-OB2=102-62 =8，
∴AE=2OA=16.
故答案为：A.
分析：首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长.
8. A
考点：平行四边形的性质，菱形的判定
解：由题意知：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，AB // CD
又∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，
∴∠ADE=∠FBC，
在△ADE和△CBF中
{∠A=∠CAD=BC∠ADE=∠FBC
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF，DE=BF
又∵AB=CD，AB // CD ，AE=CF
∴DF=BE，DF // BE、
∴四边形BFDE是平行四边形．
A、∵AB//CD，
∴∠AED=∠EDC，
又∵∠ADE=∠EDC，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
又∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，
无法判断平行四边形BFDE是菱形．
B、∵DE=DF，
∴平行四边形BFDE是菱形．
C、∵EF⊥BD，
∴平行四边形BFDE是菱形．
D、∵BD 是∠EDF的平分线，
∴∠EDB=∠FDB，
又∵DF//BE，
∴∠FDB=∠EBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=DB，
∴平行四边形BFDE是菱形．
故答案为：A．
分析：先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐项进行分析判断即可．
9. A
考点：菱形的判定
解：∵分别以A和B为圆心，大于 12 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故答案为：A.
分析：根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.
10. D
考点：菱形的判定，矩形的判定
解：A、当AB＝BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项不符合题意；
B、当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形， B选项不符合题意；
C、当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，故C选项不符合题意；
D、当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
分析：根据矩形、菱形、正方形的的判定方法判断即可．
二、填空题
11. 12
考点：平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
解：∵□ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD
∴DE∥AF，∠AED=∠BAE
∵EF∥AD
∴四边形ADEF是平行四边形
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠AED=∠DAE
∴AD=DE
∴四边形ADEF是菱形
∵AB=5，CE=2，
∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3
∴四边形ADEF的周长为3×4=12
故答案为：12.
分析：首先判定四边形ADEF是平行四边形，然后根据角平分线的性质得出AD=DE，进而判定四边形ADEF是菱形，即可求出其周长.
12. 6 3
考点：含30度角的直角三角形，勾股定理，菱形的判定与性质
解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2 ，
∴AB＝2 3 ，
同理：BC＝2 3 ，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝2 3 ，
∴S菱形ABCD＝AD?BE＝6 3 .
故答案为：6 3 .
分析：首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.
13. 52；120
考点：菱形的判定与性质
解：∵AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，
∴四边形ABCD是菱形，OD=5，OA=12
∴ AD=OA2+OD2=122+52=13
∴四边形的周长为AD×4=13×4=52
面积为 12×10×24=120 ；
故答案为52，120.
分析：根据AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24可知四边形ABCD是菱形，从而可求答案.
14. 6
考点：勾股定理，菱形的判定与性质
解：连结EF，AE与BF交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB= 12 BF=4，OA= 12 AE．
∵AB=5，
在Rt△AOB中，AO= 52-42 =3，
∴AE=2AO=6．
故答案为：6．
分析：由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论．
三、解答题
15. 解： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， AC=24,BD=10 ，
∴OA=12AC=12,OB=12BD=5 ，
∵ 在 △AOB 中， OA=12,OB=5,AB=13 ，
∴OA2+OB2=AB2 ，
∴△AOB 是直角三角形，且 ∠AOB=90° ，
∴AC⊥BD ，
∴ 四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
考点：菱形的判定
分析：先根据平行四边形的性质可得 OA=12,OB=5 ，再根据勾股定理的逆定理可得 △AOB 是直角三角形，从而可得 AC⊥BD ，然后根据菱形的判定即可得证．
16. 解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形.
考点：菱形的判定
分析：先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定.
17. （1）解：能；嘉琪同学错在 AC 和 EF 并不是互相平分的， EF 垂直平分 AC ，
但未证明 AC 垂直平分 EF ，需要通过证明得出
（2）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//BC ．
∴ ∠FAC=∠ECA ．
∵ EF 是 AC 的垂直平分线，
∴ OA=OC ．
∵∠AOF=∠EOC．
∴ ΔAOF≌ΔCOE(ASA) ．
∴ EO=FO ．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵ AC 垂直平分 EF ．
∴ EF 与 AC 互相垂直平分．
∴四边形 AECF 是菱形
考点：菱形的判定
分析：（1）题目中只说对角线 AC 的垂直平分线是 EF ，所以，只能得到EF垂直平分AC，并不能得到AC是平分EF的，所以不能说明四边形是平行四边形，故后面的结论不对，由此可知嘉琪的不符合题意；（2）根据 EF 是 AC 的垂直平分线，所以 OA=OC ，由 AD//BC ．推出 ∠FAC=∠ECA ，再结合对顶角，证明 ΔAOF≌ΔCOE ，可证四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直，可证明菱形．
18. （1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM= 12 AD，CN= 12 BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AM＝CN
∴△MBA≌△NDC（SAS）
（2）解：四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，∠MDQ=∠NBP，DQ=BP，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= 12 AN，MQ= 12 BM，
∵MP= 12 BM
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP为菱形．
考点：三角形全等及其性质，三角形全等的判定，菱形的判定，矩形的性质
分析：(1)根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形，连接AN，由(1)可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．
19. （1）解：根据题意可得： {y=-2x+8y=12x+3 ，
解得： {x=2y=4 ，
∴点D坐标(2，4)
（2）解：∵直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，
∴点B(0，8)，点A(4，0)．
∵直线y =12 x+3交y轴于点C，
∴点C(0，3)．
∵AE∥y轴交直线y =12 x+3于点E，
∴点E(4，5)
∵点B(0，8)，点A(4，0)，点C(0，3)，点E(4，5)，
∴BC=5，AE=5，AC =42+32= 5，BE =42+(8-5)2= 5，
∴BC=AE=AC=BE，
∴四边形ACBE是菱形
（3）解：∵BC=AC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，
∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，
∴△ACG≌△BGF(AAS)，
∴BG=AC=5，
设点G(a，﹣2a+8)，
∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52 ，
∴a=± 5 ，
∵点G在线段AB上，
∴a =5 ，
∴点G( 5 ，8﹣2 5 )
考点：两一次函数图象相交或平行问题，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，菱形的判定
分析：(1)两个解析式组成方程组，可求交点D坐标；?(2)先求出点A，点B，点E，点C坐标，由两点距离公式可求BC=AE=AC=BE=5，可证四边形ACBE是菱形；?(3)由“AAS”可证△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由两点距离公式可求点G坐标．