5.2.1 菱形的性质同步练习（含解析）

初中数学浙教版八年级下册5.2.1菱形的性质 同步练习
一、单选题
1.下面性质中，菱形不一定具备的是（?? ）
A.?四条边都相等???????????????B.?每一条对角线平分一组对角???????????????C.?邻角互补???????????????D.?对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O．下列结论不一定成立的是 （??? ）
A.?BD平分∠ADC??????????????????????????B.?AC=BD??????????????????????????C.?AC⊥BD??????????????????????????D.?OA=OC
3.下列性质中，菱形对角线不具有的是（?? ）
A.?对角线互相垂直???????????B.?对角线所在直线是对称轴???????????C.?对角线相等???????????D.?对角线互相平分
4.已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O， BD=10 ， AC=24 ，则该菱形的周长是（?? ）
A.?13???????????????????????????????????????B.?52???????????????????????????????????????C.?120???????????????????????????????????????D.?240
5.若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（?? ）
A.?96?????????????????????????????????????????B.?48?????????????????????????????????????????C.?24?????????????????????????????????????????D.?12
6.菱形 ABCD 的边长是 5cm ，一条对角线 AC 的长是 8cm ，则此菱形的面积为（?? ）
A.?40cm2??????????????????????????????B.?48cm2??????????????????????????????C.?243cm2??????????????????????????????D.?24cm2
7.如图，菱形 ABCD 中， ∠A=50° ，则 ∠ADB 的度数为（?? ）
A.?65°????????????????????????????????????B.?55°????????????????????????????????????C.?45°????????????????????????????????????D.?25°
8.菱形的一个内角是 60° ，边长是 3cm ，则这个菱形的较短的对角线长是（???? ）
A.?32cm????????????????????????????????B.?323cm????????????????????????????????C.?3cm????????????????????????????????D.?33cm
9.数轴上两点A、C表示的数分别为-2，6，以 AC 为对角线做菱形 ABCD ，连接 BD 交 AC 于O点，则O点所表示的数为（ ）
A.?－1??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?3
10.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（　　）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题
11.一个菱形的边长是 5cm ，一条对角线长 6cm ，则此菱形的面积为________ cm2 .
12.若菱形的面积为24，一条对角线长为8，则另一条对角线长为________，边长为________.
13.菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是________．
14.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是________．
15.如图，在边长为10的菱形 ABCD 中，对角线 BD=16 ，点O是线段 BD 上的动点， OE⊥AB 于E， OF⊥AD 于F.则 OE+OF= ________.
三、解答题
16.在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点.求证：OE＝OF.
17.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.

18.如图，在菱形ABCD，对角线AC,与BD交于点O,过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线交于点E,
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，菱形ABCD的周长为 45 ，求菱形ABCD的面积.
19.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点D作 DE//AC ，且 DE=12AC ，连接 CE,OE ，连接 AE 交 OD 于点F.
（1）求证： OE=CD ；
（2）若菱形ABCD的边长为4， ∠ABC=60? ，求 AE 的长.
答案解析部分
一、单选题
1. D
考点：菱形的性质
解：A. 菱形的四条边都相等，说法正确，不符合题意；
B. 菱形的每一条对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意；
C. 菱形的邻角互补，说法正确，不符合题意；
D. 菱形的对角线不一定相等，说法不正确，符合题意.
故答案为：D.
分析：根据菱形的性质即可得出答案.
2. B
考点：菱形的性质
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，OA=OC，AC⊥BD，
无法得出AC=BD，
B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故答案为：B．
分析：利用菱形的性质邻边相等、对角线互相垂直且平分进而分析即可．
3.C
考点：菱形的性质
解：∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分， ∴对角线所在直线是对称轴．
故A，B，D正确，C错误．
故选C．
分析：由菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形对角线所在直线是对称轴，继而求得答案．
4. B
考点：菱形的性质
解：∵菱形ABCD中，BD=10，AC=24，
∴OB=5，OA=12，∠AOB=90°
在Rt△ABO中，AB= 52+122 =13，
∴菱形ABCD的周长=4AB=52.
故答案为：B.
分析：由菱形的对角线垂直且互相平分得出OB=5，OA=12，∠AOB=90°，从而利用勾股定理算出AB的长，继而求得菱形ABCD的周长.
5. C
考点：菱形的性质
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S＝ 12 ×6×8＝24.
故答案为：C.
分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
6. D
考点：菱形的性质
解：根据题意画出图形，如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5cm ， AC⊥BD ， OA=OC ， OB=OD ，
又 AC 的长是 8cm ，
∴OA=4cm ，
∴OB=AB2-OA2=52-42=3cm ，
∴BD=6cm ，
∴ 菱形的面积 =12AC·BD=12×8×6=24cm2 .
故答案为：D.
分析：根据菱形 ABCD 的边长是 5cm ，一条对角线 AC 的长是 8cm ，可以求出另一条对角线的长度是 6cm ，利用菱形的面积等于 12AC·BD 可求出结果.
7. A
考点：菱形的性质
解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=（180°-∠A）÷2=（180°-50°）÷2=65°，
故答案为：A.
分析：由菱形的性质可得AD=AB，于是根据等边对等角可得∠ADB=∠ABD，然后由三角形内角和定理可求解.
8. C
考点：菱形的性质
解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．
∵菱形的边长是 3cm ，
∴这个菱形的较短的对角线长是3cm．
故答案为：C．
分析：根据 菱形的一个内角是?60°? ， 边长是?3cm ，进行求解即可。
9. C
考点：菱形的性质
解：AC=6-（-2）=8
以 AC 为对角线做菱形 ABCD ，连接 BD 交 AC 于O点，
AO=CO=4，
O点表示数为：-2+4=2，
故答案为：C．
分析：先确定AC的长，然后由菱形的性质，对角线互相平分求出AO的长，利用A点坐标加AO即可．
10. D
考点：菱形的性质
解：如图所示：
∵AC，BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，且DE=BE，AE=CE，
∵AD=CD=BC=AB，
∴在Rt△ADE和Rt△ABE中， {AD=ABAE=AE ，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE（HL），
同理可得出Rt△ADE≌Rt△CDE，Rt△CDE≌Rt△CBE，Rt△ABE≌Rt△CBE．
∴Rt△ADE≌Rt△CDE≌Rt△ABE≌Rt△CBE，
∴菱形中两条对角线把菱形分成全等中直角三角形的个数是4个，
故答案为：D．
分析：利用菱形的性质得出对角线垂直且互相平分，且4条边相等，即可得到全等的直角三角形的个数是4个．
二、填空题
11. 24
考点：菱形的性质
解：如图， AB=5cm,AC=6cm ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AO=12AC=3cm,OB=12BD,AC⊥BD ，
∴∠AOB=90° ?，
∴BO=AB2-AO2=4cm ，
∴BD=2OB=8cm ，
∴S=12AC?BD=12×6×8=24cm2 ，
故答案为：24.
分析：首先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长度，然后利用菱形的面积公式求解即可.
12. 6；5
考点：菱形的性质
解：如图：
∵菱形ABCD的面积为24
∴ 12 AC·BD=24，
∵AC=8，
∴BD=6；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴OA= 12 AC=4，OB= 12 BD=3，
∴AB= OA2+OB2=32+42 =5.
故答案为6，5.
分析：根菱形面积等于对角线积的一半，即可求得另一条对角线的长度，然后根据勾股定理即可求得菱形的边长.
13. 10
考点：菱形的性质
解：如图，
∵菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴OA＝ 12 AC＝6，OB＝ 12 BD＝8，AC⊥BD，
∴AB＝ OA2+OB2 ＝10，
即菱形的边长是10，
故答案为：10．
分析：根据菱形的性质求出OA和OB的长，再利用勾股定理进行计算求解即可。
14.3 3
考点：菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题
解：如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB=AD=CD=BC=6，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD=∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．
在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH= 12 ∠ADC=30°，
∴CH= 12 DC=3，DH= CD2-CH2 = 62-32 =3 3 ，
∴EF+DE的最小值=DH=3 3
故答案为3 3 ．
分析：作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在RT△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
15. 9.6
考点：菱形的性质
解：连接AC、OA，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，对角线 BD=16 ，边长为10，
∴DG=8，AC⊥BD，
∴AG= 102-82=6 ，
∵ SΔABD=SΔBOA+SΔDOA ，
即 12BD·AG=12AB·OE+12AD·OF ，
∴ 16×6=10OE+10OF ，
解得：OE+OF=9.6，
故答案为：9.6.
分析：连接AC、OA,先由菱形性质得到DG=8，AC⊥BD，再由勾股定理得到AG=6,接着根据SΔABD=SΔBOA+SΔDOA ， 由等面积法得到OE+OF的值.
三、解答题
16. 解：∵AC⊥BD，∴△AOB、△BOC为直角三角形，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴OE＝ 12AB ，OF＝ 12BC ，
∵AB＝BC，
∴OE＝OF.
考点：菱形的性质
分析：根据菱形ABCD，可得AC⊥BD，所以可得△AOB、△BOC为直角三角形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明OE＝OF.
17. 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=CF
考点：菱形的性质
分析：由菱形性质得AB=AD，∠B=∠D，根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF，由全等三角形性质即可得证.
18. （1）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以 AC⊥BD ，
∴∠COD=90° ，
∵CE//OD,DE//OC ，
所以四边形OCED是平行四边形，
∵∠COD=90° ，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形OCED是矩形，
则CE=OD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，
∵菱形ABCD的周长为 45 ，
∴CD=5 ，
∴OC=CD2-OD2=2 ，
∵AC=2OC=4,BD=2OD=2 ，
∴菱形ABCD的面积为： 12AC?BD=12×4×2=4 .
考点：菱形的性质，矩形的判定与性质
分析：（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答.
19. （1）证明：在菱形ABCD中
OC= 12 AC，AC⊥BD，
∵DE= 12 AC，
∴DE=OC，
∵DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴□OCED是矩形，
∴OE=CD.
（2）解：在菱形ABCD中,AB=BC=4，
∵∠ABC=60?，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，OA= 12 AC=2，
在Rt△AOB中， OB=AB2-OA2=23 ，
∵四边形OCED是矩形，
∴OD=CE=OB= 23 ，
在Rt△ACE中， AE=AC2+CE2=27 .
考点：等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定与性质
分析：（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.