第五章 特殊平行四边形章末检测题（基础篇含解析）

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初中数学浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形 章末检测（基础篇）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是（ ）
A. BC＝CD B. AB＝CD C. ∠D＝90° D. AD＝BC
2.菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
3.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当 AB=BC 时，它是菱形 B. 当 AC⊥BD 时，它是菱形
C. 当 ∠ABC=90° 时，它是矩形 D. 当 AC=BD 时，它是正方形
4.下列说法中，错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分
C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线相等
5.如图，已知点P为长方形 内一点（不含边界），设 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，四边形 是长方形，点 是 长线上一点， 是 上一点，并且 ， ．若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. 30° D.
7.如图，在 中， ， 于点 ， 是 的外角的平分线， 交 于点 ，则四边形 的形状是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
8.如图，四边形 OABC 是矩形，A（2，1），B（0，5），点 C 在第二象限，则点 C 的坐标是（ ）
A. （1，3） B. （﹣1，2） C. （﹣2，﹣3） D. （﹣2，4）
9.在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点的坐标A，B，C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），则顶点D的坐标为（ ）
A. （0，﹣1） B. （﹣2，1） C. （2，1） D. （0，﹣2）
10.七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是用右图所示的七巧板拼成的，则不能用七巧板拼成的那幅图是（ ）
A. 金字塔 B. 拱桥
C. 房屋 D. 金鱼
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）
11.杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面________.（填“合格”或“不合格”）.
12.如图，四边形 的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件是________．
13.菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为________.
14.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则该菱形ABCD的周长为________.
15.如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=PB=10，并且P点到CD的距离也等于10，则正方形面积是________
16.正方形 的对角线长为 ，面积为________.
三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
17. （本小题6分）如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长．
18. （本小题6分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是 的平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE且交AD于F，连接BF、CE．
求证：四边形BECF是菱形．
19. （本小题6分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是 AB上一点，且AF= AB.
求证：CE⊥EF.
20. （本小题8分）如图，16个形状大小完全相同的菱形组成网格 ，菱形的顶点称为格点.

（1）在图1中画出矩形 ，使得 ， ， ， 分别落在 ， ， ， 边（包含端点）的格点上；
（2）如图2，已知点 ， ， ， ， 均在格点上，请在网格中（包含边界）找一格点 ，连结 ，使得直线 平分 的面积.
21. （本小题8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．
22. （本小题10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=10cm，OA=8cm．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）若把△OBC绕BC的中点E旋转180 得到四边形OBFC，求证：四边形OBFC是矩形．
23. （本小题10分）已知，如图，在 中，分别在边 上取两点，使得 ,连接 相交于点 ,若
（1）求证：四边形 是菱形； .
（2）若菱形 的周长为 求 的长.
24. （本小题12分）如图， 中， ， ，且 ， 是 的中点.
（1）求证：四边形 是菱形.
（2）如果 ， ，求四边形 的面积.
（3）当 ________度时，四边形 是正方形（不证明）
答案解析部分
一、单选题
1. A
考点：菱形的判定
解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如下图，
若BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形；
若AB＝CD，则还是平行四边形；
若∠ADC＝90°，则平行四边形ABCD是矩形；
若AD＝BC，则还是平行四边形；
故答案为：A.
分析：由已知可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定方法即可得出结论.
2. B
考点：菱形的性质，矩形的性质
解：A、两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直；故B符合题意；
C、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故C不符合题意；
D、两组对角分别相等是平行四边形的基本性质，两者都具有，故D不符合题意；
故答案为：B.
分析：菱形与矩形都是平行四边i形，故平行四边形的性质二者都具有，菱形的对角线互相垂直 ，矩形的对角线相等，逐项进行判断，即可求解.
3. D
考点：菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
解：由四边形ABCD 是平行四边形，
A、 当 AB=BC时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；
B、 当 AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不符合题意；
C、 当 ∠ABC=90°时，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C不符合题意；
D、 当 AC=BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故D符合题意.
故答案为：D.
分析：根据菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法逐项进行判断，即可求解.
4. C
考点：平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质
解：A、平行四边形的对角线互相平分，A不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直平分，B不符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，C符合题意；
D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，D不符合题意；
故答案为：C．
分析：平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且互相平分，正方形的对角线相等且互相垂直平分，据此逐一判断即可.
5. A
考点：三角形内角和定理，矩形的性质
解：如图：
∵ABCD是长方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣θ1 ， ∠DCP＝90°﹣θ3 ，
在△ABP中，∵90°﹣θ1+θ2+80°＝180°，∴θ2﹣θ1＝10°①,
在△DCP中，∵90°﹣θ3+θ4+50°＝180°，∴θ4﹣θ3＝40°②,
由②﹣①可得：（θ4﹣θ3）﹣（θ2﹣θ1）＝30°，
即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°．
故答案为：A．
分析：依据矩形的性质和角的和差可得∠BAP＝90°﹣θ1 ， ∠DCP＝90°﹣θ3 ， 在△ABP和△DCP中，根据三角形内角和定理可得θ2﹣θ1＝10°，θ4﹣θ3＝40°，两式相减即可得到答案．
6. C
考点：矩形的性质
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝15°，
∴∠GAF＝∠F＝15°，
∴∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F＝30°，
故答案为：C．
分析：先根据矩形的性质求出AD∥BC，∠DCB＝90°，再求出∠GAF＝∠F＝15°，最后求解即可。
7. B
考点：等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定
解：如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠HAC＝∠ABC＋∠ACB＝2∠ABC，
∵AE是∠HAC的平分线，
∴∠HAC＝ 2∠HAE，
∴∠HAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴AE＝CD，
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵AD⊥CD，
∴四边形ADCE是矩形，
故答案为：B.
分析：由等腰三角形的性质和角平分线的性质可证AE∥BC，可得四边形ABDE是平行四边形，可得AE＝BD，由等腰三角形的性质可得BD＝CD＝AE，AD⊥CD,可得四边形ADCE是矩形.
8. D
考点：全等三角形的性质，矩形的性质，点的坐标与象限的关系
解：过C作CE⊥y轴与E，过A作AF⊥y轴于F．
∴∠CEO=∠AFB=90°
∵四边形ABCO为矩形
∴AB=OC，AB OC
∴∠ABF=∠COE
∴△OCE≌△BAF（AAS）
同理可得
∴△BCE≌△OAF（AAS）
∴CE=AF，OE=BF，BE=OF
∵A（2，1），B（0，5）
∴AF=CE=2，BE=OF=1，OB=5
∴OE=4,
∴点C的坐标为（-2，4）
故答案为：D．
分析：先分别过C和A作y轴的垂线，构造两组全等三角形，用矩形的相关性质即可证明，再利用两组三角形全等对应边相等CE=AF、BE=OF，结合已知坐标就能求得C点坐标．
9. A
考点：坐标与图形性质，菱形的性质
解：如图所示，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，A、B、C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），
∴D（0，﹣1）.
故答案为：A.
分析：根据题意画出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可得出结论.
10. C
考点：七巧板
解：如图，
设正方形的边长为2，从而可知①②都是直角边为 的等腰直角三角形；
③⑥都是直角边为 的等腰直角三角形；
④是两边长分别为1和 的平行四边形；
④是边长为 的正方形；
⑦是直角边为1的等腰直角三角形，
观察图形可知，C中等腰直角三角形的直角边与平行四边形的长边不可能重合，故七巧板构不成图案C.
故答案为：C.
分析：七巧板是由：五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形，设正方形的边长为2，根据这些图形的性质分别算出各个图形的边长，故C中等腰直角三角形的直角边与平行四边形的长边不可能重合，从而得出答案。
二、填空题
11. 不合格
考点：勾股定理的逆定理，矩形的判定
解：如图：
∵22+1.52=6.25 2.152 ，
即：AD2+DC2 AC2 ，
∴∠D 90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
分析：只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.
12. （答案不唯一）
考点：矩形的判定
解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为AC=BD（答案不唯一）.
分析：由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．
13. 8
考点：菱形的性质
解：设另一条对角线的长为x，则有
=16，
解得：x=8，
故答案为8.
分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求得.
14. 20
考点：勾股定理，菱形的性质
解：如图，
∵菱形对角线互相垂直平分，AC＝8，BD＝6，
∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，
∴AB＝ ＝5，
故该菱形ABCD的周长为20，
故答案为：20.
分析：根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长.
15. 256
考点：勾股定理，正方形的性质
解：过P作EF⊥AB于E，交CD于F，则PF⊥CD
所以PF＝PA＝PB＝10，E为AB中点
设PE＝x，则AB＝AD＝10＋x

所以AE＝ AB＝ （10＋x）
在Rt△PAE中，PA2＝PE2＋AE2
所以102＝x2＋[ （10＋x）]2所以x＝6
所以正方形ABCD面积＝AB2＝（10＋6）2＝256．
故填：256．
分析：设PE＝x，根据正方形各边相等的等量关系式，即可得到FP+PE=AB的等量关系式，再列出方程求解即可。
16. 1
考点：正方形的性质
解：如图，
四边形 为正方形，
， ，
正方形 的面积 ，
故答案为：1.
分析：根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可.
三、解答题
17. 解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°.
∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），
∴AF=AD=10，DE=EF，
在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=
∴CF=BC﹣BF=4.
设CE=x，则DE=EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2 ，
∴42+x2=（8﹣x）2 ， 解得x=3
∴EC的长为3cm．
考点：勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质，解含括号的一元一次方程
分析：根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到∴42+x2=（8﹣x）2 ， 然后解方程即可．
18. 证明：∵AB=AC，AD是角平分线，
∴BD=CD，
∵CF∥BE，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴CF=BE，
又∵CF∥BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
又∵四边形BFCE是平行四边形，
∴四边形BFCE是菱形．
考点：菱形的判定
分析：利用ASA易证得△BDE≌△CDF，推出CF=BE，证得四边形BFCE是平行四边形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得四边形BFCE是菱形．
19. 证明：连接 ，
∵ 为正方形
∴ ， .
设
∵E是 的中点，且
∴ ，
∴ .
在 中，由勾股定理可得
同理可得：
.
∵
∴ 为直角三角形
∴
∴ .
考点：勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质
分析：利用正方形的性质得出 ， ，设出边长为 ，进一步利用勾股定理求得 、 、 的长，再利用勾股定理逆定理判定即可.
20. （1）解：矩形MNEF如图所示.
（2）解：如图2中，点Q即为所求.
考点：平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定
分析：（1）根据菱形的性质及矩形的判定方法作出图形即可（答案不唯一）；
（2）根据平行四边形的中心对称性，故直线PQ经过平行四边形的中心即可.
21. （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
即AF∥EC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AECF是矩形。
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE=3，AD=5，
∴AB=BC=AD=5，DF=BE=3，
∴AE= =4，
CE=BE+BC=8，
∴ ，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OC，
∵四边形AECF为矩形，
∴点O是对角线AC与EF的交点，
∴ ．
考点：勾股定理，矩形的判定与性质
分析：（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得出结论；（2）根据已知条件得到AE=4，CE=8，求得AC= ，从而得出答案．
22. （1）∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD ．
在直角三角形AOB中，AB=10cm，OA=8cm
OB= = =6cm．
∴AC=2OA=2×8=16cm ；BD=2OB=2×6=12cm
∴菱形ABCD的面积= ×AC×BD= ×16×12=96cm2 ．
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠BOC=
∴在Rt△BOC中，∠OBC+∠OCB= ．
又∵把△OBC绕BC的中点E旋转 得到四边形OBFC
∴∠F=∠BOC= ，∠OBC=∠BCF
∴∠BCF+∠OCB= ，即∠OCF= ．
∴四边形OBFC是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
考点：菱形的性质，矩形的判定
分析：（1）利用勾股定理，求出OB，继而求出菱形的面积，即可．（2）求出四边形OBFC的各个角的大小，利用矩形的判定定理，即可证明．
23. （1）证明：∵四边形 是平行四边形，
，
又∵ ，
，
，
四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵菱形 的周长为 ，
，
又∵ ，
，
为等边三角形，
，
.
考点：等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定
分析：（1）根据已知可得 ，故ABEF为平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得证；（2）根据菱形的性质可证得 为等边三角形，即可求解.
24. （1）证明：∵∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴EB＝EC＝EA＝ AC，
∵DB＝ AC，
∴AE＝DB＝EB，
∵DB∥AC，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵DB＝EB，
∴四边形ADBE是菱形
（2）解：∵在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，
∴S△ABC＝ ×BC×AB＝ ×6×8＝24，
∵E是AC的中点，
∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×24＝12，
∵AB是菱形ADBE的对角线，
∴S四边形ADBE＝2S△ABE＝2×12＝24
（3）45
考点：三角形的面积，菱形的判定，正方形的判定
解：（3）当∠C＝45°时，四边形ADBE是正方形，
∵∠ABC＝90°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝45°＝∠C，
∵四边形ADBE是菱形，
∴∠DAE＝2∠BAC＝90°，
∴四边形ADBE是正方形.
故答案为：45.
分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EB＝EC＝EA，根据一组对边平行且相等可证四边形ADBE是平行四边形，最后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）先求出Rt△ABC的面积，根据E是AC的中点可得△ABE的面积，最后根据S四边形ADBE＝2S△ABE进行求解；
（3）根据有一个角为90°的菱形是正方形进行求证.
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