2.4一元二次方程根与系数的关系-2020-2021学年浙教版八年级数学下册同步提升训练（含答案）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程根与系数的关系》
同步提升训练（附答案）
1．关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝5，则x1x2的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．0
2．已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣2
3．关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　）
A．﹣8 B．﹣5 C．1 D．2
4．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
5．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
6．设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（　　）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
7．设a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
8．已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（　　）
A．﹣4 B．8 C．﹣4或﹣8 D．4或﹣8
9．已知关于x的方程x2+x+n＝0有两个实数根3，m，则m＝　 　．
10．已知方程x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝　 　．
11．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，则b的值为　 　．
12．已知m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，则＝　 　．
13．已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2﹣5n+2021＝　 　．
14．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
15．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，则式子x12﹣2x1+x2的值为　 　．
16．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　 　．
17．若x1，x2是方程x2+2019x﹣2020＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值为　 　．
18．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值　 　．
19．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，则x13+2021x2﹣2020＝　 　．
20．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x12+3x2+x1x2的值为　 　．
21．若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝　 　．
22．关于x的一元二次方程kx2+5x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2﹣x12x22＝1，求k的值．
23．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．
24．m为实数，关于x的方程x（x﹣2m）+m（m﹣1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若方程两实根的平方和为12，试求m的值．
25．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2，是否存在实数k，满足+＝﹣2，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．
28．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
参考答案
1．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝4﹣m，x1?x2＝m，
又x1+x2＝5，
∴4﹣m＝5，
∴m＝﹣1，则x1?x2＝﹣1，
故选：B．
2．解：∵关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，
∴﹣2+3＝﹣，﹣2×3＝，
∴b＝﹣2，c＝﹣12，
∴b+c＝﹣2﹣12＝﹣14，
故选：C．
3．解：∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≥﹣2；
∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2k+4，x1?x2＝k2+2k，
x12+x22﹣x1?x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1?x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8，
当k≥﹣2时，（k+5）2﹣8的值随k的增大而增大，
∴k＝﹣2时，x12+x22﹣x1?x2+1的值最小为（﹣2+5）2﹣8＝1．
故选：C．
4．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
5．解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2022，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．故选：C．
6．解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，
所以原式＝x1x2（x1+x2）
＝﹣3×（﹣3）
＝9．
故选：A．
7．解：∵a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝2021，a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）＝2021﹣3＝2018．
故选：A．
8．解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6．
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
9．解：∵关于x的方程x2+x+n＝0有两个实数根3，m，
∴3+m＝﹣1，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
10．解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，
所以（1﹣x1）（1﹣x2）＝1﹣（x1+x2）+x1x2＝1﹣4﹣（﹣1）＝﹣2．
故答案为﹣2．
11．解：由题意得，x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣4，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4+b＝﹣7，
∴b＝﹣3，
故答案是：﹣3．
12．解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣4，
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
13．解：∵m为方程x2+5x+1＝0的根，
∴m2+5m+1＝0，
∴m2＝﹣5m﹣1，
∴m2﹣5n+2021＝﹣5m﹣1﹣5n+2021
＝﹣5（m+n）+2020，
∵m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，
∴m+n＝﹣5，
∴m2﹣5n+2021＝﹣5×（﹣5）+2020＝2045．
故答案为：2045．
14．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032．
故答案为：2032．
15．解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，
∴x1+x2＝3，x12﹣3x1﹣1＝0，
∴x12﹣3x1＝1，
∴x12﹣2x1+x2＝x12﹣3x1+x1+x2＝1+3＝4．
故答案为：4．
16．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2023＝0，m+n＝﹣2，
∴m2+2m＝2023，
∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝2013﹣2＝2021．
故答案为：2021．
17．解：根据题意得x1+x2＝﹣2019，x1x2＝﹣2020，
所以x1+x2﹣x1x2＝﹣2019﹣（﹣2020）＝1．
故答案为1．
18．解：当a＝b时，
由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，
∴a+b＝8±2；
当a≠b时，
a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8．
故答案为8或8±2．
19．解：∵x1是方程x2﹣x﹣2020＝0的实数根，
∴x12﹣x1﹣2020＝0，
∴x12＝x1+2020，
∴x13＝x1（x1+2020）＝x1+2020+2020x1＝2021x1+2020，
∴x13+2021x2﹣2020＝2021x1+2020+2021x2﹣2020＝2021（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，
∴x1+x2＝1，
∴x13+2021x2﹣2020＝2021×1＝2021．
故答案为：2021．
20．解：∵方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x12﹣3x1﹣2＝0，
∴x12＝3x1+2，
∴x12+3x2+x1x2＝3x1+2+3x2+x1?x2＝3（x1+x2）+x1x2+2＝3×3+（﹣2）+2＝9．
故答案为：9．
21．解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，
∴a2﹣a＝5，a+b＝1，
∴a3﹣a2＝5a，
∴a3﹣a2+5b﹣2＝5a+5b﹣2＝5（a+b）﹣2＝5×1﹣2＝3．
故答案为：3．
22．解：（1）∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝25+8k≥0，
解得k．
又∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴k≠0．
∴实数k的取值范围是k且k≠0．
（2）由根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣，x1?x2＝﹣，
∵x1+x2﹣x12x22＝1，
∴﹣﹣（﹣）2＝1．
整理，得k2+5k+4＝0．
解得k＝﹣4或k＝﹣1．
又由（1）知，k且k≠0．
∴k＝﹣1．
23．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围为：k≤1．
（2）由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．
解得k＝2（舍去）或k＝﹣4．
故k的值是﹣4．
24．解：（1）已知方程整理为x2﹣2mx+m2﹣m＝0是一元二次方程
∵△＝4m2﹣4（m2﹣m）＝4m≥0，
∴m≥0．即m的取值范围是m≥0；
（2）设方程两实根为x1，x2，则x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m，
由x12+x22＝12，得（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，
∴4m2﹣2（m2﹣m）＝12，
整理，得m2+m﹣6＝0，
解得m＝2或m＝﹣3，
∵m≥0，
∴m＝2．
25．解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，
∵x12﹣x22＝0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
即﹣（2m+1）＝0或△＝（2m+1）2﹣4m2＝0，
解得m＝﹣或m＝﹣，
而m≥﹣，
∴m的值为﹣．
26．解：（1）∵此方程有两个实数根
∴△≥0即△＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）＝﹣4k﹣4≥0，
∴k≤﹣1；
（2）存在，
∵x1+x2＝2k，，
∴，
∴k1＝k2＝﹣1符合题意，即k＝﹣1．
27．（1）证明：∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC＝m+2，AB?AC＝2m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（AB+AC）2﹣2AB?AC＝BC2，
即（m+2）2﹣2×2m＝32，
解得：m＝±，
∴m的值是±．
又∵AB?AC＝2m，m为正数，
∴m的值是．
28．解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，
[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，
x1＝，x2＝1，
∵此方程的两个根都是正整数，
∴＞0，
当m+1＞0，m﹣1＞0时，解得m＞1，
当m+1＜0，m﹣1＜0时，解得m＜﹣1，
∴m＝2或m＝3；
（3）∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解为x1＝，x2＝1，
∵△ABC是等腰三角形，第三边BC的长为5，
∴＝5，
解得m＝1.5，
经检验，m＝1.5是原方程的解．
故m的值是1.5．