2.2一元二次方程的解法-2020-2021学年浙教版八年级数学下册同步提升训练（含答案）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册《2.2一元二次方程的解法》同步提升训练（附答案）
1．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x＝1，配方后的结果是（　　）
A．（x﹣1）2＝ B．（2x﹣1）2＝0 C．2（x﹣1）2＝1 D．（x+2）2＝
2．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）
A．10 B． C．10或 D．
3．若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（　　）
A．c＝10 B．c＝5 C．c＝﹣5 D．c＝4
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则k的最大整数值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．不存在
5．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝m2（m为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个不相等实数根 B．两个相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
6．下列关于x的一元二次方程中没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣5＝﹣x
C．x2﹣2ax+a2＝0 D．x2﹣ax+a2+1＝0
7．若代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，则x的值为（　　）
A．1或3 B．﹣1或﹣3 C．1或﹣1 D．3或﹣3
8．关于x的一元二次方程mx2+6x＝9有两个实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m≥﹣1且m≠0 B．m≤1且m≠0 C．m≥1 D．m≥﹣1
9．关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式8m﹣2m2+10的值为（　　）
A．18 B．10 C．4 D．2
10．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．m的取值范围是　 　．
11．如果一元二次方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，那么p的值是　 　．
12．若关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
13．关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　 　．
14．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是　 　．
15．已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2﹣5n+2021＝　 　．
16．若关于x的方程x2﹣5x+a＝3的一根为1，则方程的另一个根为　 　．
17．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0没有实数根，则k的取值范围是　 　．
18．已知方程x2﹣10x+16＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为　 　．
19．一元二次方程（x﹣2）（x+3）﹣2（x﹣1）2＝﹣5的解为　 　．
20．等腰三角形的底边长为7，腰长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根，则这个等腰三角形的周长为　 　．
21．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝　 　．
22．已知α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，则α3+8β+6的值为　 　．
23．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）若n＝3，求此方程的根；
（2）求n的取值范围．
24．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根是﹣1时，求m的值．
25．解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0． （2）x2﹣x﹣＝0．
26．解方程：
（1）x2﹣6x﹣9＝0； （2）9（2x+3）2＝16（1﹣3x）2．
27．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
28．已知是方程组的解．
（1）求ab的值；
（2）若已知一个三角形的一条边长为4，它的另外两条边的长是方程x2﹣（a+b）x+ab＝0的解，试判断这个三角形的形状并说明理由．
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
参考答案
1．解：∵2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
故选：A．
2．解：当5为腰长时，将x＝5代入原方程得25﹣7×5+k＝0，
解得：k＝10，
∴原方程为x2﹣7x+10＝0，
∴x1＝2，x2＝5，
长度为2，5，5的三条边能围成三角形，
∴k＝10符合题意；
当5为底边长时，△＝（﹣7）2﹣4k＝0，
解得：k＝，
∴原方程为x2﹣7x+＝0，
∴x1＝x2＝，
长度为，，5的三条边能围成三角形，
∴k＝符合题意；
综上，k的值为10或，
故选：C．
3．解：∵方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣c）2﹣4×1×4＞0，即c2＞16，
则c＜﹣4或c＞4，
故选：D．
4．解：根据题意得△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
所以k的最大整数值为0．
故选：C．
5．解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝m2（m为常数），
∴x2+x﹣2﹣m2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4m2＝9+4m2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．解：A、△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、方程变形为2x2+x﹣5＝0，△＝12﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△＝（﹣2a）2﹣4×a2＝0，方程有两个相等的实数根，所以C选项不符合题意；
C、△＝（﹣a）2﹣4×（a2+1）＝﹣3a2+1＜0，方程没有实数根，所以D选项符合题意．
故选：D．
7．解：∵代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，
∴x（x﹣1）+3（1﹣x）＝0，
整理，得x2﹣4x+3＝0，
即（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x＝3或x＝1．
故选：A．
8．解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，
∴，
解得：m≥﹣1且m≠0．
故选：A．
9．解：根据题意，得△＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，
整理，得m2﹣4m＝4，
所以原式＝﹣2（m2﹣4m）+10＝﹣2×4+10＝2，
故选：D．
10．解：∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＞0，整理得﹣8m+13＞0，
解得m＜，
故答案为：m＜．
11．解：∵一元二次方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣p）2﹣4×1×3＝0，
解得p＝，
故答案为：±2．
12．解：∵关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣＝0有实数根，
∴m≠0且△＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣）＝﹣2m+1≥0，
则m的范围为m≤且m≠0．
故答案为：m≤且m≠0．
13．解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4c＝0，
∴c＝，
∴原方程可表示为：x2+bx+＝0，
∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，
∴m2+bm+＝（m+2）2+b（m+2）+，
∴b＝﹣2m﹣2，
∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x+，
当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m+＝m2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，
故答案为：1．
14．解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
15．解：∵m为方程x2+5x+1＝0的根，
∴m2+5m+1＝0，
∴m2＝﹣5m﹣1，
∴m2﹣5n+2021＝﹣5m﹣1﹣5n+2021＝﹣5（m+n）+2020，
∵m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，
∴m+n＝﹣5，
∴m2﹣5n+2021＝﹣5×（﹣5）+2020＝2045．
故答案为：2045．
16．解：∵方程的一个根是1，
∴12﹣5+a＝3，
解得：a＝7，
∴原方程为：x2﹣5x+4＝0，
设另一根为x2，则x2+1＝5．
∴x2＝4．
故方程的另一个根是4．
故答案为4．
17．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0没有实数根，
∴，
解得：k＞．
故答案为：k＞．
18．解：解方程x2﹣10x+16＝0可得x＝2或x＝8，
∴等腰三角形的两边长为2或8，
当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、8、8，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为18；
当底为8时，则等腰三角形的三边长为8、2、2，2+2＜8，不满足三角形三边关系；
∴等腰三角形的周长为18，
故答案为18．
19．解：方程整理得：x2+3x﹣2x﹣6﹣2（x2﹣2x+1）＝﹣5，
去括号得：x2+3x﹣2x﹣6﹣2x2+4x﹣2+5＝0，
即x2﹣5x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
20．解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝3，x2＝6，
当三边是3，3，7时，
∵3+3＝6，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是6，6，7时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是6+6+7＝19；
故答案为：19．
21．解：设x2+3x＝y，
方程变形得：y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3，即x2+3x＝1或x2+3x＝﹣3（无解），
故答案为：1．
22．解：∵α方程x2﹣2x﹣4＝0的实根，
∴α2﹣2α﹣4＝0，即α2＝2α+4，
∴α3＝2α2+4α＝2（2α+4）+4α＝8α+8，
∴原式＝8α+8+8β+6
＝8（α+β）+14，
∵α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，
∴α+β＝2，
∴原式＝8×2+14＝30．
故答案为30．
23．解：（1）n＝3时，原方程为x2+2x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，
∴△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
则x＝＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（2）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，
解得n＞0．
24．（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，
∵方程有一个根为﹣1，
∴﹣1+x2＝﹣（2m+1），x2＝﹣m+2，
∴﹣2m＝﹣m+2，
∴m＝﹣2．
25．解：（1）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1．
（2）x2﹣x﹣＝0，
∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，
∴△＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝3＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
26．解：（1）∵x2﹣6x﹣9＝0，
∴x2﹣6x＝9，
则x2﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）2＝18，
∴x﹣3＝，
∴x1＝3+3，x2＝3﹣3；
（2）∵9（2x+3）2＝16（1﹣3x）2，
∴3（2x+3）＝4（1﹣3x）或3（2x+3）＝﹣4（1﹣3x），
解得x2＝，x2＝．
27．解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝＝＝6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，
∴b2＝a2+4a．
28．解：（1）把代入方程组，
得，
解得：．
所以ab＝3×5＝15；
（2）该三角形是直角三角形．理由如下：
由（1）知，，则a+b＝8，ab＝15．
由题意知，x2﹣8x+15＝0．
整理，得（x﹣3）（x﹣5）＝0．
解得x1＝3，x2＝5，
所以该三角形的三边长分别是3，4，5．
因为32+42＝52．
所以该三角形是直角三角形．
29．解：（1）由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4m＞0．
解得m＜3；
（2）当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）2＝2，
解得x1＝1+，x2＝1﹣