4.2平行四边形及其性质-2020-2021学年浙教版八年级数学下册同步提升训练（含答案）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册《4.2平行四边形及其性质》同步提升训练（附答案）
1．如图，平行四边形ABCD的周长为80，△BOC的周长比△AOB的周长多20，则BC长为（　　）
A．40 B．10 C．20 D．30
2．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　）
A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（　　）
A． B． C．3 D．5
4．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O（AD＞AB）．下列说法：①AB＝CD；②S△AOB＝S△AOD； ③∠ABD＝∠CBD；④对边AB，CD之间的距离相等且等于BC的长．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在?ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，DE平分∠ADC交AB于点E，则下列说法中不正确的是（　　）
A．AD＝DF B．AF⊥DE C．AE＝DF D．AE＝DE
6．已知平行四边形两邻边长16，20，若两个长边间距离为8，则两条短边间距离（　　）
A．4 B．5 C．10 D．8
7．如图，在?ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（　　）
A．84° B．96° C．98° D．106°
8．在?ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠B＝　 　度．
9．如图，在?ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则?ABCD的周长为　 　．
10．如图，?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为　 　．
11．E为?ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF．若∠C＝52°，那么∠ABE＝　 　．
12．平面直角坐标系中，已知?ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是　 　．
13．平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OAB的周长比△BOC的周长小3cm，若AB＝5cm，则平行四边形ABCD的周长是　 　cm．
14．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，则DE+DF的长度为　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为　 　．
16．已知平面直角坐标系上有三个点，点A（2，0），B（5，2），C（3，4），以点A，点B，点C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标为_　 　．
17．如图，平行四边形的周长为20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，平行四边形ABCD的面积为　 　cm2．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，D点的纵坐标为6，CD＝10，顶点A在y轴上，边BC在x轴上，设点P是边BC上（不与点B、C重合）的一个动点，则当△ABP为等腰三角形时点P的坐标是　 　．
19．如图，四边形ABCD和四边形ACEF都是平行四边形，EF经过点D，若平行四边形ABCD的面积为S1，平行四边形ACEF的面积为S2，则S1与S2的大小关系为S1　 　S2．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．
21．如图，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
22．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F．求证：AE＝CF．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF、DE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝10，CF＝6，直接写出DE的长为　 　．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝55°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF．
25．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．
（1）求证：BP＝CP；
（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．
27．如图，在?ABCD中，AP、BP分别是∠DAB和∠CBA的角平分线，已知AD＝5．
（1）求线段AB的长；
（2）延长AP，交BC的延长线于点Q．
①请在答卷上补全图形；
②若BP＝6，求△ABQ的周长．
参考答案
1．解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多20，
∴BC﹣AB＝20，①
∵平行四边形ABCD的周长为80，
∴BC+AB＝40，②
由①+②，可得2BC＝60，
∴BC＝30．
故选：D．
2．解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2，BD＝4，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，
∵AB＝，
∴12+（）2＝22，
∴AO2+AB2＝BO2，
∴△ABO是直角三角形，
∴BC＝
＝
＝．
故选：B．
4．解：A．∵平行四边形ABCD的对边相等，故此选项正确；
B．∵四边形ABCD被对角线分成的四个三角形面积都相等，故此选项正确；
C．∵四边形ABCD对角线不会平分对角，故此选项不正确；
D．∵四边形ABCD对边之间的距离是垂线段的长度，故此选项不正确；
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，∠AFD＝∠FAB，∠ADC+∠DAB＝180°，
∵AF平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠DAF＝∠FAB＝∠DAB，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∴∠DAF＝∠AFD，∠ADE＝∠AED，
∴AD＝DF，AE＝AD，
∴AE＝DF，故A、C选项正确，不符合题意；
∴∠DAF+∠ADE＝∠DAB+∠ADC＝（∠DAB+∠ADC）＝90°，
∴AF⊥DE，故B选项正确，不符合题意；
故选：D．
6．解：设两短边间的距离为x，
∵平行四边形两邻边分别为16，20，两长边间的距离为8，
∴20×8＝16x，
解得：x＝10．
∴两短边间的距离为10．
故选：C．
7．解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CED＝∠ADF＝42°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠DEC＝42°，
∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
故选：B．
8．解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝∠C＝70°，
∴∠B＝110°．
故答案为：110．
9．解：∵在?ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝60°，
∴∠ABF＝∠CBE＝90°﹣∠EBF＝30°，
∵在Rt△BCE中，CE＝2，
∴BC＝2CE＝4，
∴AD＝BC＝4，
∵DF＝1，
∴AF＝AD﹣DF＝3，
在Rt△ABF中，AB＝2AF＝6，
∴CD＝AB＝6，
∴?ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20．
故答案为：20．
10．解：分两种情况：
（1）当∠BPC＝90°时，
①点P在AB边上时，
∵∠B＝60°，
∴∠BCP＝30°，
∴BP＝BC＝2；
②点P在边AD上，AP＝DP＝2时，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，∠D＝∠B＝60°，
∴DP＝CD，
∴△PCD是等边三角形，PC＝CD＝2，
∴BP＝＝＝2；
（2）当∠BCP＝90°时，如图3所示：
则CPD＝90°，
∵CD＝AB＝2，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠PCD＝30°，
∴PD＝CD＝1，CP＝PD＝，
∴BP＝＝；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2或．
故答案为：2或2或．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝52°，
由折叠的性质得：∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，
∵EF＝DF，
∴∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠EDF＝102°，
∴∠ABE＝∠ABD＝51°；
故答案为：51°．
12．解：设D（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
由中点坐标公式可得，解得，
∴点D的坐标为（﹣2，1），
故答案为（﹣2，1）
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵△OAB的周长比△OBC的周长小3cm，
∴（BC+OC+OB）﹣（AB+OA+OB）＝3cm，
∴BC﹣AB＝3cm，
∴BC＝AB+3cm＝8cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝26cm；
故答案为：26．
14．解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AEB＝∠ABF，
∴AB＝AE，
同理可得：BC＝CF，
∵AB＝3cm，BC＝5cm，
∴AE＝3cm．CF＝5cm，
∴DE＝5﹣3＝2cm，DF＝5﹣3＝2cm，
∴DE+DF＝2+2＝4cm，
故答案为：4cm．
15．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴∠AED＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°，
∴∠AED＝85°．
故答案为：85°
16．解：以AC为对角线，将AB向上平移2个单位，再向左平移2个单位，A点对应的位置为（0，2）就是第四个顶点D；
以AB为对角线，将BC向下平移4个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（4，﹣2）就是第四个顶点D′；
以BC为对角线，将AB向上平移4个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（6，6）就是第四个顶点D″；
∴第四个顶点D的坐标为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2），
故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2）．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵周长为20cm，
∴BC+CD＝10①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，
∴2BC＝3CD②，
联立①②得，
解得：，
∴平行四边形ABCD的面积为：AE×CB＝2BC＝2×6＝12，
故答案为：12．
18．解：∵D点的纵坐标为6，CD＝10，
∴OB＝＝8，
如图，当AP＝BP时，BP＝AP＝OB﹣OP＝8﹣OP，
由勾股定理得，OP2+OA2＝AP2，即（8﹣OP）2＝62+OP2，
解得，OP＝，
则点P的坐标为（﹣，0），
当AB＝AP＝10时，此时BO＝PO，
此时P点的坐标为（8，0）；
当AB＝BP＝10时，此时点P的坐标为（2，0），
当△ABP为等腰三角形时点P的坐标为（﹣，0）或（8，0）或（2，0）．
故答案为：（﹣，0）或（8，0）或（2，0）．
19．解：S1与S2的大小关系为相等，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形ACEF都是平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积＝2倍的△ABC的面积，平行四边形ACEF＝2倍的△ADC的面积，
∵S△ABC＝S△ADC，
∴S1＝S2，
故答案为：＝．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝74°，
∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝16°，
∵∠EAD＝3∠CAE，
∴∠EAD＝3×16°＝48°，
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝48°﹣16°＝32°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC＝32°．
21．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AE⊥DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
又∵∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
同理可得CD＝CE，
∴BF＝CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，
∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AF＝CK＝8，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC＝6，
∴KI＝CI＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵CI⊥DE，
∴EI＝DI，
∵DI＝＝＝2，
∴DE＝2DI＝4．
22．证明：∵?ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF．
23．解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点E，F分别为OA、OC的中点，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∵BD＝2AB，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AB＝OB＝OD＝CD，
∵AB＝10，CF＝6，
∴AB＝OB＝OD＝CD＝10，AE＝6，
∵AB＝OB，点E、F分别为OA、OC的中点，
∴BE⊥AO，DF⊥CO，AE＝CF＝EO＝OF＝6，
∴DF＝BE＝8，EF＝12，
在Rt△DEF中，
DE＝＝＝4．
24．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝55°，
∴∠BCD＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠ADE＝∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）△ABF是等腰直角三角形，
证明：∵CF⊥DE，
∴∠CFE＝90°，
又∵∠CEF＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，
∴EF＝CF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（SAS），
∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，
∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，
即∠AFB＝∠EFC＝90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．
26．解：（1）设AP与BC交于H，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC，
∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，
∴AP平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AH垂直平分BC，
∴PB＝PC；
（2）∵AH垂直平分BC，
∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，
∵∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．
27．解：（1）∵在?ABCD中，AD＝5，
∴BC＝5，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DPA，
∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴DP＝AD＝5，
同理可得，CP＝BC＝5，
∴CD＝10，
∴AB＝10；
（2）①如图所示：
②∵AD∥BQ，
∴∠Q＝∠DAP，
又∵∠DAP＝∠BAP，
∴∠Q＝∠BAP，
∴AB＝QB＝10，
又∵BP平分∠ABQ，
∴BP⊥AQ，AP＝QP，
∴Rt△ABP中，AP＝＝＝8，
∴AQ＝16，
∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．