2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 432.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-14 07:19:53 | ||
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文档简介
2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第2章
直线与圆的位置关系》单元测试卷
一．选择题
1．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
2．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4
B．8
C．4或6
D．4或8
4．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70°
B．55°
C．70°或110°
D．55°或125°
5．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50°
B．60°
C．100°
D．120°
6．如图，点A的坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，0）
B．（﹣2，0）
C．（﹣4，0）或（﹣2，0）
D．（﹣3，0）
7．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．25°
B．65°
C．50°
D．75°
8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．1或5
10．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
二．填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝
cm时，BC与⊙A相切．
12．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝
．
13．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于
．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为
．
15．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE，对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是
．
16．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为
．
17．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为
．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是
．
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为
．
20．如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是
．
三．解答题
21．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
22．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求∠BEC的正切值．
23．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
25．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
26．如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，
∴5＜7，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
2．解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，
所以圆与y轴相交，
故选：C．
3．解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧．∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒，
当点P在点O的右侧时，同法可得t＝8秒
故选：D．
4．解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
5．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
6．解：连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，
∴P点的坐标是（﹣3，0）．
故选：D．
7．解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∠COD＝2∠A＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
8．解：作AH⊥BC于H，如图，BE＝2t，BD＝8﹣2t，
∵AB＝AC＝5，
∴BH＝CH＝BC＝4，
当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，
∵∠EBD＝∠ABH，
∴△BED∽△BHA，
∴＝，即＝，解得t＝．
故选：A．
9．解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
故选：D．
10．解：A、如图，连接OE，
则OB＝OE，
∵∠B＝60°
∴∠BOE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOE＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、∵∠B＝60°，OB＝OE，
∴BE＝OB，
∵BE＝CE，
∴BC＝AB＝2BO，
∴AO＝OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC＝60°，
∴OH＝AO≠OB，
∴C选项错误；
D、如图，∵BE＝EC，
∴CE＝BE，
∵AB＝BC，BO＝BE，
∴AO＝CE＝OB，
∴OH＝AO＝OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD＝AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．
12．解：连接BD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠40°
∵PD切⊙O于D，
∴∠ADP＝∠ABD＝40°，
故答案为：40°．
13．解：根据题意知，OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝70°，
∴在△AOB中，∠O＝40°；
∵AC为切线，
∴∠O＝2∠BAC，
∴∠BAC＝20°．
14．解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
15．解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
而AB＝CB，
∴AD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CB，
∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，
∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴和不能确定相等，所以③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故答案为①②④．
16．解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝1，
∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：＝π，
故答案为：．
17．解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
18．解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵△ABC的面积＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝，
即圆心C到AB的距离d＝，
∵AC＜BC，
∴以C为圆心，r＝4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是＜r≤3．
故答案为：＜r≤3．
19．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
20．解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝或OP＝，
∴P（﹣，0）或P（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）或P（﹣，0）．
三．解答题
21．解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
22．解：（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切．
理由：
连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
即：OD⊥CE，
∴直线CD
是⊙O的切线．
即：直线CD
与⊙O的位置关系是相切．
（2）∵AC＝2，⊙O的半径是3，
∴OC＝2+3＝5，OD＝3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD＝4．
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE＝EB，∠CBE＝90°，
设DE＝EB＝x，
在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2＝BE2+BC2，
则
（4+x）2＝x2+（5+3）2，
解得：x＝6，
即
BE＝6，
∴tan∠BEC＝，
即：tan∠BEC＝．
23．证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
（2）连接OD；
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
24．解：（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，
∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，
又∵OA＝OD，
∴PD＝OA，
∵PD＝，
∴2OA＝2PD＝2．
∴⊙O的直径为2．
25．解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴OF＝＝4.8cm．
26．证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；
连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，
于是
因为C、E、O、D四点共圆，
所以PC?PE＝PD?PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以
即PS2＝PD?PO
而由切割线定理知PS2＝PA?PB
所以
即
直线与圆的位置关系》单元测试卷
一．选择题
1．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
2．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4
B．8
C．4或6
D．4或8
4．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70°
B．55°
C．70°或110°
D．55°或125°
5．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50°
B．60°
C．100°
D．120°
6．如图，点A的坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，0）
B．（﹣2，0）
C．（﹣4，0）或（﹣2，0）
D．（﹣3，0）
7．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．25°
B．65°
C．50°
D．75°
8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．1或5
10．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
二．填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝
cm时，BC与⊙A相切．
12．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝
．
13．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于
．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为
．
15．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE，对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是
．
16．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为
．
17．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为
．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是
．
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为
．
20．如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是
．
三．解答题
21．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
22．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求∠BEC的正切值．
23．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
25．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
26．如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，
∴5＜7，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
2．解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，
所以圆与y轴相交，
故选：C．
3．解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧．∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒，
当点P在点O的右侧时，同法可得t＝8秒
故选：D．
4．解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
5．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
6．解：连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，
∴P点的坐标是（﹣3，0）．
故选：D．
7．解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∠COD＝2∠A＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
8．解：作AH⊥BC于H，如图，BE＝2t，BD＝8﹣2t，
∵AB＝AC＝5，
∴BH＝CH＝BC＝4，
当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，
∵∠EBD＝∠ABH，
∴△BED∽△BHA，
∴＝，即＝，解得t＝．
故选：A．
9．解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
故选：D．
10．解：A、如图，连接OE，
则OB＝OE，
∵∠B＝60°
∴∠BOE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOE＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、∵∠B＝60°，OB＝OE，
∴BE＝OB，
∵BE＝CE，
∴BC＝AB＝2BO，
∴AO＝OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC＝60°，
∴OH＝AO≠OB，
∴C选项错误；
D、如图，∵BE＝EC，
∴CE＝BE，
∵AB＝BC，BO＝BE，
∴AO＝CE＝OB，
∴OH＝AO＝OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD＝AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．
12．解：连接BD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠40°
∵PD切⊙O于D，
∴∠ADP＝∠ABD＝40°，
故答案为：40°．
13．解：根据题意知，OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝70°，
∴在△AOB中，∠O＝40°；
∵AC为切线，
∴∠O＝2∠BAC，
∴∠BAC＝20°．
14．解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
15．解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
而AB＝CB，
∴AD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CB，
∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，
∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴和不能确定相等，所以③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故答案为①②④．
16．解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝1，
∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：＝π，
故答案为：．
17．解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
18．解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵△ABC的面积＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝，
即圆心C到AB的距离d＝，
∵AC＜BC，
∴以C为圆心，r＝4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是＜r≤3．
故答案为：＜r≤3．
19．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
20．解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝或OP＝，
∴P（﹣，0）或P（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）或P（﹣，0）．
三．解答题
21．解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
22．解：（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切．
理由：
连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
即：OD⊥CE，
∴直线CD
是⊙O的切线．
即：直线CD
与⊙O的位置关系是相切．
（2）∵AC＝2，⊙O的半径是3，
∴OC＝2+3＝5，OD＝3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD＝4．
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE＝EB，∠CBE＝90°，
设DE＝EB＝x，
在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2＝BE2+BC2，
则
（4+x）2＝x2+（5+3）2，
解得：x＝6，
即
BE＝6，
∴tan∠BEC＝，
即：tan∠BEC＝．
23．证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
（2）连接OD；
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
24．解：（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，
∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，
又∵OA＝OD，
∴PD＝OA，
∵PD＝，
∴2OA＝2PD＝2．
∴⊙O的直径为2．
25．解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴OF＝＝4.8cm．
26．证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；
连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，
于是
因为C、E、O、D四点共圆，
所以PC?PE＝PD?PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以
即PS2＝PD?PO
而由切割线定理知PS2＝PA?PB
所以
即