2020-2021学年浙教新版八年级下册数学《第5章 特殊平行四边形》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年浙教新版八年级下册数学《第5章
特殊平行四边形》单元测试卷
一．选择题
1．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
2．顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．正方形
D．菱形
3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．8
4．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AB＝BC
D．AD＝BC
5．下列说法不正确的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．10
B．12
C．16
D．18
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（　　）
A．6
B．
C．
D．5
8．如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　）
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
9．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG＝（BC﹣AD），其中正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（　　）
A．16cm2
B．8cm2
C．16cm2
D．32cm2
二．填空题
11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝4，则四边形CODE的周长　
　．
12．菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为　
　cm2．
13．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　
　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　
　，平行四边形CDEB为菱形．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝　
　度．
16．若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件　
　（一个即可）使四边形ABCD为矩形．
17．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是　
　cm．
18．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为　
　．
19．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理　
　．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　
　．
三．解答题
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
22．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
23．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．
24．如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．
26．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，求证：AB＝FB．
27．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．
2．解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH＝HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
4．解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
5．解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
故选：D．
6．解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，
∴OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16；
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
则AD＝5，
∵S菱形ABCD＝?AC?BD，
S菱形ABCD＝DH?AB，
∴DH?5＝×6×8，
∴DH＝．
故选：B．
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
9．解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是菱形，正确；
③HF平分∠EHG，正确；
④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，
∴连接CD，延长EG到CD上一点N，
∴EN＝BC，GN＝AD，
∴EG＝（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误．
综上所述，①②③共3个正确．
故选：C．
10．解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EG＝EF＝×4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，DO＝BO，AO＝CO，
∴OD＝OA，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOA＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝AO＝AD＝OC＝4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×4＝16，
故答案为：16．
12．解：菱形的面积等于两对角线的积的一半，则这个菱形的面积是6×10×＝30cm2．
故答案为30．
13．解：OA＝OC，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
14．解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵AB?OC＝AC?BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故答案是：．
15．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故答案为：90．
16．解：添加条件∠A＝90°，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°．
17．解：连接BP，
（cm2），
∴AB＝BC＝＝3（cm），
∴（cm2），
∴，
∴（cm），
故答案为：2．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AO＝OC，
∴BO＝AC＝5，
∵AO＝OC，AM＝MD＝4，
∴OM＝CD＝3，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．
故答案为18．
19．解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）
20．解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案是：2．
三．解答题
21．证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
22．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC＝×180°＝60°，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB＝2cm，
∴OA＝AB＝1cm，
∴OB＝＝，
∴AC＝2OA＝2cm，BD＝2OB＝2cm；
（2）S菱形ABCD＝AC?BD＝×2×2＝2（cm2）．
23．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB＝CE，
∴AC＝CE．
24．证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD．
∵在?DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
25．解：（1）四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）∵菱形ABCD，
∴OA＝8，
∵OE＝10，
∴AE＝6，
∴OB＝6，
∴△ABC的面积＝，
∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝96．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH＝DC＝AB，
即B是AH的中点，
又∵∠AFH＝90°，
∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．
27．（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴．