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1.3二次根式的运算（3）教案
课题
1.3二次根式的性质（3）
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
能运用二次根式解决实际问题．
重点
运用二次根式解决实际问题．
难点
分析实际问题，通过二次根式的四则混合运算求出未知量．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题议一议
如图，两根高分别为2m和5m的竹竿相距6m，一根绳子拉直系在两竹竿的顶端，你能求此时绳子的长度吗？
试一试：如图，一道斜坡BC与AC的长度之比为1:10.(1)若AC=24m,则BC=_______(2)若BC=6m,则AC=_______注意：斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比.(1)2.4m
（2）60m
思考自议在等腰三角形中常构造直角三角形，从而应用勾股定理来求解．
(1)坡度：坡面的垂直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡度(或坡比)，坡度一般写成1∶m的形式；(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记做α；
讲授新课
提炼概念在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形的边长计算的问题时，经常用到二次根式及其运算.二次根式混合运算的结果应写成
最简二次根式（或整式）的形式并且分母中不含二次根式.三、典例精讲例6
如图，扶梯AB的坡比为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=
米，BC=
CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程(结果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米).阅读问题，并结合图形分析问题：（1）所求的路程实际上是哪些线段的和？
哪些线段的长是已知的？
哪些线段的长是未知的？
它们之间有什么关系？（2）列出的算式中有哪些运算？能化简吗？例7
如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.分别求出3张长方形纸条的长度.解：（1）在Rt△ABC中，AC=BC=40cm,∵最上面长方形纸条的长是
CD的2倍.∴其长度为2×
CD=10
cm.同理可得，其余两张长方形纸条的长度依次为：20
cm；30cm.(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠)，如图，正方形美术作品的面积为多少平方厘米cm?.(2)三张长方形纸条连接在一起的总长度为正方形的边长=正方形的面积=
从复杂的实际问题中整理出直角三角形，并利用直角三角形的相关知识求解．
二次根式混合运算的结果应写成
最简二次根式（或整式）的形式并且分母中不含二次根式.
课堂检测
四、巩固训练1.堤的横断面如图所示．堤高BC是5
m，迎水斜坡AB的长是13
m，那么斜坡AB的坡度是(
)A．1∶3
B．1∶2.6C．1∶2.4
D．1∶2【解析】
由勾股定理得AC＝12
m.则斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.
选C如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2
－2，BC＝2
＋2.解：(1)Rt△ABC的面积＝AC·BC＝×(2－2)×(2＋2)＝[(2)2－22]＝×(12－4)＝×8＝4；AB＝＝＝＝4.小明在海边观景台O处，观测到北偏东60°的A处有一艘货船，该船正向南匀速航行，10
min后再观察时，该船已航行到O的南偏东30°，且与O相距3
km的B处，如图所示．(1)求∠A和∠B的度数；(2)求AB的长.解：(1)∠A＝60°，∠B＝30°；(2)∵∠AOB＝60°＋30°＝90°，∴在Rt△OAB中，设OA＝x，则AB＝2x，由勾股定理，得x2＋32＝(2x)2，解得x＝.∴AB＝2
km.答：AB的长为2
km.
课堂小结
1.用二次根式解决简单的实际问题类型：(1)用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；(2)通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简．2.(1)坡度：坡面的垂直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡度(或坡比)，坡度一般写成1∶m的形式；(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记做α；(3)坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡，如1∶2>1∶3，则1∶2对应的坡角大，坡面较陡．
2
6
5
A
B
C
A
E
F
D
B
C
C
A
D
B
∵
CD⊥AB，AD=BD
,
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1.3二次根式的运算（3)
浙教版
八年级下
新知导入
情境引入
如图，两根高分别为2m和5m的竹竿相距6m，一根绳子拉直系在两竹竿的顶端，你能求此时绳子的长度吗？
6
2
5
A
B
C
如图，一道斜坡BC与AC的长度之比为1:10.
(1)若AC=24m,则BC=_______
(1)2.4m
A
B
C
注意：斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比.
(2)若BC=6m,则AC=_______
试一试：
（2）60m
提炼概念
在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形的边长计算的问题时，经常用到二次根式及其运算.
二次根式混合运算的结果应写成______________________的形式并且分母中不含二次根式.
最简二次根式（或整式）
典例精讲
新知讲解
例6
如图，扶梯AB的坡比为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，
AE=
米，BC=
CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程(结果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米).
A
E
F
D
B
C
BE与AE的长度之比
阅读问题，并结合图形分析问题：
（1）所求的路程实际上是哪些线段的和？
哪些线段的长是已知的？
哪些线段的长是未知的？
它们之间有什么关系？
（2）列出的算式中有哪些运算？能化简吗？
解：在Rt△AEB中，AE=
米，BE=
÷0.8=
米
在Rt△CFD中，DF=
×1.6=3米
答：这个男孩经过的总路程约为7.71米.
例7
如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.
(1)分别求出3张长方形纸条的长度.
C
A
D
B
解：（1）在Rt△ABC中，AC=BC=40cm,
∵
CD⊥AB，AD=BD
,
∵最上面长方形纸条的长是
CD的2倍.
∴其长度为2×
CD=2×5
=10
cm.
2×
CD=2×10
=20
cm
同理可得，其余两张长方形纸条的长度依次为：
2×
CD=2×15
=30
cm
答：三张长方形纸条的长度分别为
(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠)，如图，正方形美术作品的面积为多少平方厘米cm?.
(2)三张长方形纸条连接在一起的总长度为
因此，给这幅美术作品所镶的边框可以看做由四张宽为
cm，长为
cm的彩色纸条围城
则正方形的边长=
正方形的面积=
答：这幅正方形美术作品的面积为200cm2.
课堂练习
1.堤的横断面如图所示．堤高BC是5
m，迎水斜坡AB的长是13
m，那么斜坡AB的坡度是(
)
A．1∶3
B．1∶2.6
C．1∶2.4
D．1∶2
【解析】
由勾股定理得AC＝12
m.
则斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.
选C
(1)求Rt△ABC的面积；
(2)求斜边AB的长．
解：(1)∠A＝60°，∠B＝30°；
(2)∵∠AOB＝60°＋30°＝90°，
∴在Rt△OAB中，设OA＝x，则AB＝2x，
课堂总结
1.用二次根式解决简单的实际问题
类型：(1)用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；
(2)通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简．
2.(1)坡度：坡面的垂直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡度(或坡比)，坡度一般写成1∶m的形式；(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记做α；(3)坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡，如1∶2>1∶3，则1∶2对应的坡角大，坡面较陡．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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1.3二次根式的运（2）学案
课题
1.3二次根式的运算（2）
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
理解并掌握二次根式加减法法则；2.能熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算．
重点
二次根式的加减乘除混合运算．
难点
多项式乘法公式在二次根式的加减乘除混合运算．
教学过程
导入新课
创设情景，引出课题议一议
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运多少？_______________
2x+3x=5x(吨)(2)两列火车分别运煤
吨和
吨,问这两列火车共运多少？
新知讲解
提炼概念2x+3x=5x以前我们学过的整式运算的法则和方法也适用于二次根式的运算.例如，在二次根式的加减运算时，类似于合并同类项，我们可以把被开方数相同的二次根式进行合并.典例精讲
例3
化简
解：原式=思考：能否适用合并同类项的方法进行合并？像
这样，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式
.于是我们得到：二次根式的加减运算:（1）把算式中的每一个二次根式先化成最简二次根式；（2）合并同类二次根式.归纳:1.二次根式加减之前，应先化简二次根式；再把所含二次根式完全相同的合并成一项.2.在二次根式加减(或其它运算)时，把根号前的乘数看作它的系数.如
中的2就看作
的系数.例4
计算例5
计算
课堂练习
四、巩固训练1.计算－＋的结果是( )A．－
B.
C.
D.1.选A2.计算:(1)＋(－)；(2)(＋1)(－1)＋(－2)2；解：(1)原式＝＋2－3＝0；
(2)原式＝2－1＋3－4＋4＝8－4；3.已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值．(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.解：(1)当x＝＋1，y＝－1时，原式＝(x＋y)2＝(＋1＋－1)2＝12；(2)当x＝＋1，y＝－1时，原式＝(x＋y)(x－y)＝(＋1＋－1)(＋1－＋1)＝4.如图，两根高分别为4m和7m的竹杆相距6m，一根绳子拉直系在两根竹杆的顶端，问两竹杆顶端间的绳子有多长？
课堂小结
小
1．二次根式加减运算
二次根式的加减运算，是先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式进行合并．
运算依据：逆用乘法分配律．
运算步骤：(1)化简：将二次根式化简；(2)识别：找出被开方数相同的二次根式；(3)合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并．2．二次根式的混合运算
运算顺序：先____乘方__，再__乘除__，最后算___加减__，有括号的先算括号里面的．
运算依据：整式的乘法法则和乘法公式在二次根式的运算中同样适用．
4m
6m
7m
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