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2.1一元二次方程学案
课题
2.1一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般式；2.理解并掌握一元二次方程的解的概念，会运用解的定义解决相关的代数式求值问题．
重点
一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式.
难点
运用解的定义解决相关的代数式求值问题．
教学过程
导入新课
创设情景，引出课题议一议
什么是方程？什么是方程的解（或根）？答：含有未知数的等式叫做方程。使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解.曾学过哪些方程？什么叫做一元一次方程？方程的两边都是整式，只含有一个未知数；并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是
一次的方程叫做二元一次方程.由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.根据题意列方程1、有一棵树，刚移栽时，树高为2m，假设以后平均每年长0.3m，几年后树高为5m？设x年后树高为5m，可列出方程
0.3x+2=5
2、剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
.设这块铁片的宽为x
cm，那么它的长为（x+5)
cm.
根据题意，得x（x+5)=150.
去括号，得
x2+5x=150.把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边长为x，可列出方程
x2+3x=4你能尝试归纳得到一元二次方程的定义吗？
新知讲解
提炼概念方程
②
x2+5x=150和.③x2+3x=4的两边都是整式，并且只含有一个未知数，并且未知数最高次数为2次我们把这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程
①方程两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次辨一辨判断下列方程是否为一元二次方程：（1)
10x2=9
(
√
)
(2)
2(x-1)=3x
(
×
)
(3)2x2-3x-1=0
(
√)
(
×
)
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为
,的形式,我们把ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中ax2，bx,
c
分别称为二次项，一次项，
常项，a,b
分别称为二次项系数,一次项系数.典例精讲
例1
把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.解：（1）移项，整理得9x2+4x-5=0
二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5.(2）移项，整理得-3x2+2x+5=0二次项系数是–3，一次项系数是2，常数项是5.注意：1.要先化成
ax?+bx+c=0
的形式.2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形.3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号.例2
已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为x1=
，和x2=-3,求这个方程.思考：求一个方程经常可以通过确定方程中的未知数来实现的，所用的待定系数是怎样得到？解：将x1=
，和x2=-3代入方程2x2+bx+c=0得
∴
2x2+x-15=0
课堂练习
四、巩固训练1.下列方程中是一元二次方程的是
(
C
)①7x2＋6＝3x；②＝7；③6x2－x＝0；④2x2－5y＝0；⑤－x2＝0；⑥x(x－1)＋(x＋1)2＝2(x－1)(x＋3)．
A．①②③
B．②③④
C．①③⑤
D．③④⑥2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方 程一般形式二次项系 数一次项系 数常数项x2-4x-3=0?????(x+2)(x-1)=64-7x2=03.将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．(2＋y)(2－y)＝(y－3)2.解：去括号，得12－y2＝y2－6y＋9，
移项、合并，得2y2－6y－3＝0.
二次项系数为2，一次项系数为－6，常数项为－3.4.已知一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的两个根为x1＝－1，x2＝，求这个方程．解：将x1＝－1，x2＝代入方程ax2＋bx＋1＝0，解得所以这个一元二次方程是－2x2－x＋2＝0.
课堂小结
小
1.一元二次方程
定义：方程的两边都是整式，只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______次的方程叫做一元二次方程．
一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式．这种形式称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为__________、________和__________，a，b分别称为__________系数和__________系数．2．一元二次方程的根
定义：能使一元二次方程两边________的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)．
根的判断：判断一个或几个数值是否为某一元二次方程的根，只要把它们分别代入方程，看它们是否能使方程的左右两边相等．若相等，则它们是一元二次方程的根．否则不是．
x
x
x
3
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2.1一元二次方程
浙教版
八年级下
新知导入
情境引入
什么是方程？什么是方程的解（或根）？
答：含有未知数的等式叫做方程。使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解.
曾学过哪些方程？
什么叫做一元一次方程？
方程的两边都是整式，只含有一个未知数；并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.
含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是
一次的方程叫做二元一次方程.
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.
根据题意列方程
1、有一棵树，刚移栽时，树高为2m，假设以后平均每年长0.3m，几年后树高为5m？
设x年后树高为5m，可列出方程
.
0.3x+2=5
2、剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
解：设这块铁片的宽为x
cm，那么它的长为（x+5)
cm.
根据题意，得
x（x+5)=150.
去括号，得
x2+5x=150.
3、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边长为x，可列出方程
x
x
x
3
x2+3x=4
提炼概念
观察所列方程
②x2+5x=150
③x2+3x=4
①0.3x+2=5
观察上述两个方程与一元一次方程有什么相同点与不同点
共同点:(1)两边都是整式;
(2)只含有一个未知数;
不同点:
未知数最高次数为2次
你能尝试归纳得到一元二次方程的定义吗?
类比一元一次方程
共同点:(1)两边都是整式;
(2)只含有一个未知数;
不同点:
未知数最高次数为1次
提炼概念
方程
②
x2+5x=150和.③x2+3x=4的两边都是整式，并且只含有一个未知数，并且未知数最高次数为2次我们把这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程
①方程两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次
辨一辨
判断下列方程是否为一元二次方程：
（1)
10x2=9
(
)
(2)
2(x-1)=3x
(
)
(3)2x2-3x-1=0
(
)
(
)
√
√
×
×
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为
,的形式,我们把ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
其中ax2，bx,
c
分别称为二次项，一次项，
常数项，a,b
分别称为二次项系数,一次项系数.
典例精讲
新知讲解
例1
把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
解：（1）移项，整理得9x2+4x-5=0
二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5.
(2）移项，整理得-3x2+2x+5=0
二次项系数是–3，一次项系数是2，常数项是5.
归纳总结
注意：
1.要先化成
ax?+bx+c=0
的形式.
2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形.
3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号.
例2
已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为x1=
，和x2=-3,求这个方程.
思考：求一个方程经常可以通过确定方程中的未知数
来实现的，所用的待定系数是怎样得到？
解：将x1=
，x=-3代入方程2x2+bx+c=0得
解得，
∴
这个方程为2x2+x-15=0.
课堂练习
1.下列方程中是一元二次方程的是(
)
③6x2－x＝0；④2x2－5y＝0；
⑤－x2＝0；⑥x(x－1)＋(x＋1)2＝2(x－1)(x＋3)．
A．①②③
B．②③④
C．①③⑤
D．③④⑥
1.选C
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方 程
一般形式
二次项
系 数
一次项
系 数
常数项
x2-4x-3=0
(x+2)(x
-1)=6
4-7x2=0
x2-4x-3=0
x2+x-8=0
7x2-4=0
1
-4
-3
-8
-4
1
1
7
0
3.将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得12－y2＝y2－6y＋9，
移项、合并，得2y2－6y－3＝0.
二次项系数为2，一次项系数为－6，常数项为－3.
所以这个一元二次方程是－2x2－x＋2＝0.
课堂总结
1.一元二次方程
定义：方程的两边都是整式，只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______次的方程叫做一元二次方程．
一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式．这种形式称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为__________、________和__________，a，b分别称为__________系数和__________系数．
一
2
二次项
一次项
常数项
二次项
一次项
2．一元二次方程的根
定义：能使一元二次方程两边________的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)．
根的判断：判断一个或几个数值是否为某一元二次方程的根，只要把它们分别代入方程，看它们是否能使方程的左右两边相等．若相等，则它们是一元二次方程的根．否则不是．
相等
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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2.1一元二次方程教案
课题
2.1一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般式；2.理解并掌握一元二次方程的解的概念，会运用解的定义解决相关的代数式求值问题．
重点
一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式.
难点
运用解的定义解决相关的代数式求值问题．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题议一议
什么是方程？什么是方程的解（或根）？答：含有未知数的等式叫做方程。使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解.曾学过哪些方程？什么叫做一元一次方程？方程的两边都是整式，只含有一个未知数；并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是
一次的方程叫做二元一次方程.由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.根据题意列方程1、有一棵树，刚移栽时，树高为2m，假设以后平均每年长0.3m，几年后树高为5m？设x年后树高为5m，可列出方程
0.3x+2=5
2、剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
.设这块铁片的宽为x
cm，那么它的长为（x+5)
cm.
根据题意，得x（x+5)=150.
去括号，得
x2+5x=150.把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边长为x，可列出方程
x2+3x=4你能尝试归纳得到一元二次方程的定义吗？
思考自议形如ax2＋bx＋c＝0的方程是一元二次方程的条件是a≠0，且x的最高次数是2.
形如ax2＋bx＋c＝0的方程是一元二次方程的条件是a≠0，且x的最高次数是2.
讲授新课
提炼概念方程
②
x2+5x=150和.③x2+3x=4的两边都是整式，并且只含有一个未知数，并且未知数最高次数为2次我们把这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程
①方程两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次辨一辨判断下列方程是否为一元二次方程：（1)
10x2=9
(
√
)
(2)
2(x-1)=3x
(
×
)
(3)2x2-3x-1=0
(
√)
(
×
)
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为
,的形式,我们把ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中ax2，bx,
c
分别称为二次项，一次项，
常数项，a,b
分别称为二次项系数,一次项系数.三、典例精讲例1
把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.解：（1）移项，整理得9x2+4x-5=0
二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5.(2）移项，整理得-3x2+2x+5=0二次项系数是–3，一次项系数是2，常数项是5.注意：1.要先化成
ax?+bx+c=0
的形式.2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形.3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号.例2
已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为x1=
，和x2=-3,求这个方程.思考：求一个方程经常可以通过确定方程中的未知数来实现的，所用的待定系数是怎样得到？解：将x1=
，和x2=-3代入方程2x2+bx+c=0得
∴
2x2+x-15=0
(1)识别一元二次方程的项、系数，要将方程化为一般形式；(2)若已指出方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，则隐含了a≠0这一条件．
列方程时注意：(1)用未知数把另外一个量表示出来；(2)找到等量关系是解题的关键．
课堂检测
四、巩固训练1.下列方程中是一元二次方程的是
(
C
)①7x2＋6＝3x；②＝7；③6x2－x＝0；④2x2－5y＝0；⑤－x2＝0；⑥x(x－1)＋(x＋1)2＝2(x－1)(x＋3)．
A．①②③
B．②③④
C．①③⑤
D．③④⑥2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方 程一般形式二次项系 数一次项系 数常数项x2-4x-3=0?????(x+2)(x?-1)=64-7x2=03.将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．(2＋y)(2－y)＝(y－3)2.解：去括号，得12－y2＝y2－6y＋9，
移项、合并，得2y2－6y－3＝0.
二次项系数为2，一次项系数为－6，常数项为－3.4.已知一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的两个根为x1＝－1，x2＝，求这个方程．解：将x1＝－1，x2＝代入方程ax2＋bx＋1＝0，解得所以这个一元二次方程是－2x2－x＋2＝0.
课堂小结
1.一元二次方程
定义：方程的两边都是整式，只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______次的方程叫做一元二次方程．
一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式．这种形式称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为__________、________和__________，a，b分别称为__________系数和__________系数．2．一元二次方程的根
定义：能使一元二次方程两边________的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)．
根的判断：判断一个或几个数值是否为某一元二次方程的根，只要把它们分别代入方程，看它们是否能使方程的左右两边相等．若相等，则它们是一元二次方程的根．否则不是．
x
x
x
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精品试卷·第
2
页
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