浙教版 八年级数学下册 第5章 特殊平行四边形 单元练习题（Word版 含解析）

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》单元练习题
一．选择题
1．设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列关于四边形的说法，正确的是（　　）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
3．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
4．如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．14 B．20 C．24 D．28
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（　　）
A．20° B．40° C．80° D．100°
6．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点D的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．34 B．25 C．20 D．16
8．如图，矩形ABCD由两直角边之比皆为1：2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成它们之间互不重叠也无缝隙，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
9．若菱形的一条对角线长8cm，另一条对角线长为6cm，则它的面积为　 　cm2．
10．正方形ABCD的对角线长为，面积为　 　．
11．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若菱形ABCD的周长为20，则EF＝　 　．
12．如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件　 　（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．
13．矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，则矩形的对角线BD＝　 　．
14．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠E＝　 　．
15．在矩形ABCD中，已知两邻边AD＝24，AB＝10，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF＝　 　．
16．如图，在?ABCD中，AD＞AB，E，F分别为边AD，BC上的点（E，F不与端点重合），对于任意?ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；
②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形；
③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE矩形；
④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是?ABCD面积的一半．
所有正确结论的序号是　 　．
三．解答题
17．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF．
18．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF．求证：四边形ADFE是正方形．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
21．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
22．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，
∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，
∵矩形、正方形、菱形都属于平行四边形，
∴它们之间的关系
故选：B．
2．解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两临边相等的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
故选：D．
3．解：添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
4．解：设AC与BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，
故选：B．
5．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB＝OA＝OC，
∵∠OAD＝40°，
∴∠ODA＝∠OAD＝40°，
∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°+40°＝80°，
故选：C．
6．解：∵A（0，3），B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5．
∵3﹣5＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
故选：D．
7．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣2，0），B（2，b），
∴OA＝2，OM＝2，
∴OD＝AM＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，
故选：C．
8．解：如图所示
设丙的短直角边为x，乙的短直角边为y，
则HG＝2x，DG＝2x+y，CG＝DG＝，
∵BF＝DH＝y，FG＝EH＝x，
∴CF＝2BF＝2y，CF＝CG+FG＝+x，
∴2y＝+x，
∴x＝y，
∵AB＝DC＝＝＝＝，AD＝＝＝y，
∴＝＝．
故选：C．
二．填空题
9．解：∵菱形的一条对角线长8cm，另一条对角线长为6cm，
∴菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．
故答案为：24．
10．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC＝BD＝，AC⊥BD，
∴正方形ABCD的面积＝×AC×BD＝＝1，
故答案为：1．
11．解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB＝5，
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF＝AB＝，
故答案为：．
12．解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
13．解：∵该长方形ABCD的一边AB长为6，面积为48，
∴另一边BC长为48÷6＝8，
∴对角线BD＝＝＝10．
故答案为：10
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
故答案为：22.5°．
15．解：如图，过A作AG⊥BD于G．
则S△AOD＝×OD×AG，S△AOP+S△POD＝×AO×PF+×DO×PE＝×DO×（PE+PF）．
∵S△AOD＝S△AOP+S△POD．
∴PE+PF＝AG．
∵AD＝24，AB＝10．
∴BD＝．
∴AG＝＝，
∴PE+PF＝．
故答案为：．
16．解：当AE＝BF时，且AE∥BF，则四边形ABFE是平行四边形，
∴存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形，故①正确；
当AE＝BF＝AB时，则四边形ABFE是菱形，
∴至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形，故②正确；
∵∠ABC≠90°，
∴不存在四边形ABFE是矩形，故③错误；
当EF过对角线的交点时，四边形ABFE的面积是?ABCD面积的一半，
∴存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是?ABCD面积的一半，故④正确，
故答案为：①②④．
三．解答题
17．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F
∴∠AEO＝∠BFO＝90°，
∵∠AOE＝∠BOF，
在△AEO与△BFO中，
，
∴△AEO≌△BFO（AAS），
∴AE＝BF．
18．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°．
由折叠，得∠A＝∠DFE＝90°
∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°．
∴四边形AEFD是矩形．
∵AE＝AD，
∴四边形AEFD是正方形．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
21．解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中?，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
22．（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
，
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：PE的长度不变．
连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°，
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE，
在△BOP和△PFE中，
，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝2，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．