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2.2一元二次方程的解法（4）教案
课题
2.2一元二次方程的解法（4）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
掌握一元二次方程的求根公式，并能熟练用于解方程；2.掌握根的判别式，并能运用根的判别式解决有关问题．
重点
用公式法解一元二次方程．
难点
一元二次方程的求根公式的推导过程．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题议一议
【想一想】配方法解一元二次方程的基本步骤：1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)2、把常数项移到方程的右边;3、把方程的左边配成一个完全平方式;4、利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；5、解一元一次方程，求出方程的两个解.思考1：把方程x2+bx+c=0进行配方.
①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c.
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
试一试：你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？方程的两边同除以____，得
方程的两边同加上_______，得若b2-4ac≥0
思考自议用求根公式法来解一元二次方程的前提条件是：把方程化为一般形式，然后正确地写出a，b，c的值．
配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，如果方程可以直接开平方或因式分解，就用直接开平方法或因式分解法，这样过程比较简单．
讲授新课
提炼概念一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为当b2-4ac<0时，方程有实数根吗？没有
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.
利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解一元二次方程的前提是:1.必须是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.三、典例精讲例8
用公式法解下列一元二次方程：(1)
2x2-5x+3=0；思考：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？用公式法解一元二次方程的步骤是什么？化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②确定a①把一元二次方程，b，c的值；③求b2－4ac的值；④代入求根公式
:
⑤当b2－4ac≥
0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．例8
用公式法解下列一元二次方程：(2)4x2+1=-4x解：移项，得4x2+4x+1=0，则a=4，b=4，c=1，b2-4ac=42-4×4×1=0，∴x1=x2=解：方程的两边同乘4，得3x2-8x-2=0则a=3，b=-8，c=-2，b2-4ac=（-8）2-4×3×（-2）=88例9
解方程：【议一议】观察以上你所解的方程，方程根的情况与b2-4ac的值的关系如何？从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定.
因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
用公式法解一元二次方程的步骤是什么？化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②确定a①把一元二次方程，b，c的值；③求b2－4ac的值；④代入求根公式
:
⑤当b2－4ac≥
0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
用公式法解一元二次方程的前提是:1.必须是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
课堂检测
四、巩固训练1.关于x的方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m＝-1．
2.解下列方程：
(3)4x2－3x＋2＝0.解：(1)∵a＝2，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝9>0，∴x＝＝，∴x1＝1，x2＝－；(2)∵a＝1，b＝－，c＝，∴Δ＝b2－4ac＝(－)2－4×1×＝0，∴x＝＝，∴x1＝x2＝；(3)∵a＝4，b＝－3，c＝2，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×4×2＝9－32＝－23＜0，∴方程无实数根．3.不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；
解：(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
(2)移项，得16y2－24y＋9＝0，
则a＝16，b＝－24，c＝9，
∴Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，
∴此方程有两个相等的实数根.
课堂小结
1．一元二次方程的求根公式
求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果b2－4ac≥0，那么方程的两个根为x＝_____________.
公式法：利用求根公式，由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做公式法．步骤：(1)把方程化为一般形式确定a，b，c的值；(2)求出b2－4ac的值；(3)若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式中，求出x1，x2；若b2－4ac＜0，则此方程无实数根．2．利用b2－4ac判别一元二次方程的根的情况说明：(1)当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝；(2)当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，x1＝x2＝－；当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
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2.2一元二次方程（4)
浙教版
八年级下
新知导入
回顾思考
4、利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；
3、把方程的左边配成一个完全平方式;
2、把常数项移到方程的右边;
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)
5、解一元一次方程，求出方程的两个解.
【想一想】配方法解一元二次方程的基本步骤：
①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c.
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
x2+bx+
=
-c
+
b
2
(
)2
b
2
(
)2
即：
(x+
)2=
b
2
b2-4c
4
思考1：把方程x2+bx+c=0进行配方.
试一试：你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？
方程的两边同除以____，得
方程的两边同加上_______，得
a
若b2-4ac≥0
若b2-4ac≥0
试一试：你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必须是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.
利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
提炼概念
典例精讲
新知讲解
例8
用公式法解下列一元二次方程：
(1)
2x2-5x+3=0；
思考：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
归纳总结
化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
②确定a①把一元二次方程，b，c的值；
③求b2－4ac的值；
④代入求根公式
:
⑤当b2－4ac≥
0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
例8
用公式法解下列一元二次方程：
(2)4x2+1=-4x
解：移项，得4x2+4x+1=0，
则a=4，b=4，c=1，b2-4ac=42-4×4×1=0，
∴x1=x2=
例8
用公式法解下列一元二次方程：
解：方程的两边同乘4，得3x2-8x-2=0
则a=3，b=-8，c=-2，b2-4ac=（-8）2-4×3×（-2）=88
例9
解方程：
【议一议】观察以上你所解的方程，方程根的情况与b2-4ac的值的关系如何？
从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定.
因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
课堂练习
1.关于x的方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m＝__．
1.-1
2. 解下列方程：
(3)4x2－3x＋2＝0.
解：(1)∵a＝2，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝9>0，
(3)∵a＝4，b＝－3，c＝2，
∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×4×2＝9－32＝－23＜0，
∴方程无实数根．
3.不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；
解：(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
(2)移项，得16y2－24y＋9＝0，
则a＝16，b＝－24，c＝9，
∴Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，
∴此方程有两个相等的实数根；
课堂总结
1．一元二次方程的求根公式
求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果b2－4ac≥0，那么方程的两个根为x＝_____________.
公式法：利用求根公式，由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
步骤：(1)把方程化为一般形式确定a，b，c的值；
(2)求出b2－4ac的值；
(3)若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式中，求出x1，x2；若b2－4ac＜0，则此方程无实数根．
2．利用b2－4ac判别一元二次方程的根的情况
(3)当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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2.2一元二次方程的解法（4）学案
课题
2.2一元二次方程的解法（4）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
掌握一元二次方程的求根公式，并能熟练用于解方程；2.掌握根的判别式，并能运用根的判别式解决有关问题．
重点
用公式法解一元二次方程．
难点
一元二次方程的求根公式的推导过程．
教学过程
导入新课
创设情景，引出课题议一议
【想一想】配方法解一元二次方程的基本步骤：1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)2、把常数项移到方程的右边;3、把方程的左边配成一个完全平方式;4、利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；5、解一元一次方程，求出方程的两个解.思考1：把方程x2+bx+c=0进行配方.
①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c.
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
试一试：你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？方程的两边同除以____，得
方程的两边同加上_______，得若b2-4ac≥0
新知讲解
提炼概念一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为当b2-4ac<0时，方程有实数根吗？没有
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.
利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解一元二次方程的前提是:1.必须是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
典例精讲
例8
用公式法解下列一元二次方程：(1)
2x2-5x+3=0；思考：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？用公式法解一元二次方程的步骤是什么？化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②确定a①把一元二次方程，b，c的值；③求b2－4ac的值；④代入求根公式
:
⑤当b2－4ac≥
0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．例8
用公式法解下列一元二次方程：(2)4x2+1=-4x解：移项，得4x2+4x+1=0，则a=4，b=4，c=1，b2-4ac=42-4×4×1=0，∴x1=x2=解：方程的两边同乘4，得3x2-8x-2=0则a=3，b=-8，c=-2，b2-4ac=（-8）2-4×3×（-2）=88例9
解方程：【议一议】观察以上你所解的方程，方程根的情况与b2-4ac的值的关系如何？从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定.
因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
课堂练习
巩固训练
1.关于x的方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m＝-1．
2.解下列方程：
(3)4x2－3x＋2＝0.解：(1)∵a＝2，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝9>0，∴x＝＝，∴x1＝1，x2＝－；(2)∵a＝1，b＝－，c＝，∴Δ＝b2－4ac＝(－)2－4×1×＝0，∴x＝＝，∴x1＝x2＝；(3)∵a＝4，b＝－3，c＝2，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×4×2＝9－32＝－23＜0，∴方程无实数根．3.不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；
解：(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
(2)移项，得16y2－24y＋9＝0，
则a＝16，b＝－24，c＝9，
∴Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，
∴此方程有两个相等的实数根.
课堂小结
小
1．一元二次方程的求根公式
求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果b2－4ac≥0，那么方程的两个根为x＝_____________.
公式法：利用求根公式，由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做公式法．步骤：(1)把方程化为一般形式确定a，b，c的值；(2)求出b2－4ac的值；(3)若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式中，求出x1，x2；若b2－4ac＜0，则此方程无实数根．2．利用b2－4ac判别一元二次方程的根的情况说明：(1)当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝；(2)当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，x1＝x2＝－；当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
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