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2.3一元二次方程的应用（2）教案
课题
2.3一元二次方程的应用（2）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
能利用一元二次方程进行图案设计；2.会列方程解决面积变化问题．
重点
能利用一元二次方程解决面积问题和动点问题．
难点
利用一元二次方程解决动点问题．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题议一议
【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤是什么？(1)审题；
(2)设元（未知数）；???(3)寻找相等关系，列方程；(4)解方程；
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义；?(6)作答.?【思考】如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？
（2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？下面我们继续探讨有关一元二次方程的实际应用问题.
思考自议基本步骤：（1)审题；
(2)设元（未知数）；???(3)寻找相等关系，列方程；(4)解方程；
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义；?(6)作答.?
解决动点问题要依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系.
讲授新课
提炼概念用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题的步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案．三、典例精讲例1
如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？思考回答下列问题：（1）若设纸盒的高为x，那么裁去的四个正方形的边长为多少？（2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？（3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？（4）请每位同学自己检验两根，发现什么？分析：设纸盒的高为x（cm），那么裁去的四个小正方形的边长也为x（cm），这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽，根据纸盒的底面积是450cm2，就可以列出方程.解：设纸盒的高为x（cm），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x）cm，（25-2x）cm由题意得（40－2x)(25
-2x)=450化简整理得2x?-65x+275=0解这个方程，得x1=5，x2=27.5(不合题意，舍去)答：纸盒的高为5cm.【合作学习】一轮船（C）以30
km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20
km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200
km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？【思考】①假设经过t小时，轮船和台风中心分别在C1
,B1的位置.你能求出AC1和AB1的距离吗？因为BC=500
km,BA=300
km,所以由勾股定理可知AC=400
km.经过t小时AC1=(400-30t)km；AB1=(300-20t)km.解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002整理方程得:13t2-360×t+2100=0利用公式法b2－4ac=3602-4×13×2100=20400＞0∴方程有解，故轮船会进入台风影响区.解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002∵轮船从点C运动到点A的时间为∴t=19.34h不符合题意，∴t=8.35h答：从接到警报开始，经8.35h就进入台风影响区.【讨论】如果把船速改为10
km/h,结果将怎样?
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令：(400-10t)2+(300-20t)2=2002化简，得：t2-40t+420=0由于此方程无实数根∴轮船继续航行不会受到台风的影响.
有关面积变化问题可以用一元二次方程的知识求解，在求解过程中，还应注意一些具体情况，要分析是否符合实际问题．
用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题的步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案．
课堂检测
四、巩固训练1.如图，一块长为28
cm，宽为20
cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180
cm2，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少厘米？
解：设截去的小正方形的边长是x
cm.由题意，得(28－2x)(20－2x)＝180，整理，得x2－24x＋95＝0，解得x1＝5，x2＝19.∵20－2x＞0，解得x＜10，∴x＝5.答：截去的小正方形的边长是5
cm.2.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4
m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3
m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50
m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85
m时各自的位置．解：设继续行走x
s后两人相距85
m.根据题意，得(4x)2＋(50＋3x)2＝852，解得x1＝9，x2＝－21(不合题意，舍去)，当x＝9时，4x＝36，50＋3x＝77.答：当两人相距85
m时，甲在O点以东36
m处，乙在O点以北77
m处．
课堂小结
1.列一元二次方程解决面积问题2.列一元二次方程解决动点问题用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题的步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案．
40
25
单位：cm
甲
乙
北
东
C
B
A
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.2一元二次方程（2)
浙教版
八年级下
新知导入
回顾思考
【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤是什么？
(1)审题；
(2)设元（未知数）；???
(3)寻找相等关系，列方程；
(4)解方程；
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义；?
(6)作答.?
【思考】
（1）如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？
（2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？
下面我们继续探讨有关一元二次方程的实际应用问题.
典例精讲
新知讲解
例1
如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？
40
25
单位：cm
甲
乙
思考回答下列问题：
（1）若设纸盒的高为x，那么裁去的四个正方形的边长为多少？
（2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？
（3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？
（4）请每位同学自己检验两根，发现什么？
40
25
单位：cm
x
40
25
单位：cm
x
解：设纸盒的高为x（cm），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x）cm，（25-2x）cm
由题意得（40－2x)(25
-2x)=450
化简整理得2x?-65x+275=0
解这个方程，得
x1=5，x2=27.5(不合题意，舍去)
答：纸盒的高为5cm.
【合作学习】一轮船（C）以30
km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20
km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200
km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.
北
东
C
B
200km
500km
A
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？
（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？
北
东
C
B
200km
500km
A
【思考】①假设经过t小时，轮船和台风中心分别在C1
,B1的位置。
你能求出AC1和AB1的距离吗？
因为BC=500
km,BA=300
km,
所以由勾股定理可知AC=400
km.
经过t小时
AC1=(400-30t)km；
AB1=(300-20t)km.
解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002
整理方程得:13t2-360×t+2100=0
利用公式法b2－4ac=3602-4×13×2100=20400＞0
∴方程有解，故轮船会进入台风影响区.
解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002
整理方程得:13t2-360×t+2100=0
∵轮船从点C运动到点A的时间为
∴t=19.34h不符合题意，∴t=8.35h
答：从接到警报开始，经8.35h就进入台风影响区.
【讨论】如果把船速改为10
km/h,结果将怎样?
北
东
C
B
200km
500km
A
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令：
(400-10t)2+(300-20t)2=2002
化简，得：t2-40t+420=0
由于此方程无实数根
∴轮船继续航行不会受到台风的影响.
课堂练习
1.如图，一块长为28
cm，宽为20
cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180
cm2，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少厘米？
解：设截去的小正方形的边长是x
cm.
由题意，得(28－2x)(20－2x)＝180，
整理，得x2－24x＋95＝0，解得x1＝5，x2＝19.
∵20－2x＞0，解得x＜10，∴x＝5.
答：截去的小正方形的边长是5
cm.
2.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4
m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3
m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50
m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85
m时各自的位置．
解：设继续行走x
s后两人相距85
m.根据题意，得(4x)2＋(50＋3x)2＝852，解得x1＝9，x2＝－21(不合题意，舍去)，
当x＝9时，4x＝36，50＋3x＝77.
答：当两人相距85
m时，甲在O点以东36
m处，乙在O点以北77
m处．
课堂总结
用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题的步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案．
1.列一元二次方程解决面积问题
2.列一元二次方程解决动点问题
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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2.3一元二次方程的应用（2）学案
课题
2.3一元二次方程的应用（2）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
能利用一元二次方程进行图案设计；2.会列方程解决面积变化问题．
重点
能利用一元二次方程解决面积问题和动点问题．
难点
利用一元二次方程解决动点问题．
教学过程
导入新课
创设情景，引出课题议一议
【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤是什么？(1)审题；
(2)设元（未知数）；???(3)寻找相等关系，列方程；(4)解方程；
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义；?(6)作答.?【思考】如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？
（2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？下面我们继续探讨有关一元二次方程的实际应用问题.
新知讲解
提炼概念用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题的步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案．
典例精讲
例1
如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？思考回答下列问题：（1）若设纸盒的高为x，那么裁去的四个正方形的边长为多少？（2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？（3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？（4）请每位同学自己检验两根，发现什么？分析：设纸盒的高为x（cm），那么裁去的四个小正方形的边长也为x（cm），这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽，根据纸盒的底面积是450cm2，就可以列出方程.解：设纸盒的高为x（cm），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x）cm，（25-2x）cm由题意得（40－2x)(25
-2x)=450化简整理得2x?-65x+275=0解这个方程，得x1=5，x2=27.5(不合题意，舍去)答：纸盒的高为5cm.【合作学习】一轮船（C）以30
km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20
km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200
km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？【思考】①假设经过t小时，轮船和台风中心分别在C1
,B1的位置.你能求出AC1和AB1的距离吗？因为BC=500
km,BA=300
km,所以由勾股定理可知AC=400
km.经过t小时AC1=(400-30t)km；AB1=(300-20t)km.解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002整理方程得:13t2-360×t+2100=0利用公式法b2－4ac=3602-4×13×2100=20400＞0∴方程有解，故轮船会进入台风影响区.解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002∵轮船从点C运动到点A的时间为∴t=19.34h不符合题意，∴t=8.35h答：从接到警报开始，经8.35h就进入台风影响区.【讨论】如果把船速改为10
km/h,结果将怎样?
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令：(400-10t)2+(300-20t)2=2002化简，得：t2-40t+420=0由于此方程无实数根∴轮船继续航行不会受到台风的影响.
课堂练习
巩固训练
1.如图，一块长为28
cm，宽为20
cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180
cm2，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少厘米？
解：设截去的小正方形的边长是x
cm.由题意，得(28－2x)(20－2x)＝180，整理，得x2－24x＋95＝0，解得x1＝5，x2＝19.∵20－2x＞0，解得x＜10，∴x＝5.答：截去的小正方形的边长是5
cm.2.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4
m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3
m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50
m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85
m时各自的位置．解：设继续行走x
s后两人相距85
m.根据题意，得(4x)2＋(50＋3x)2＝852，解得x1＝9，x2＝－21(不合题意，舍去)，当x＝9时，4x＝36，50＋3x＝77.答：当两人相距85
m时，甲在O点以东36
m处，乙在O点以北77
m处．
课堂小结
小1.列一元二次方程解决面积问题2.列一元二次方程解决动点问题用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题的步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案．
40
25
单位：cm
甲
乙
北
东
C
B
A
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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