浙教版数学 八年级下册5章 特殊平行四边形专题培优 ：一次函数中的特殊四边形（Word版 含解析）

浙教版数学
八年级下册4-5章专题培优
一次函数中的特殊四边形
1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．
（1）求点C的坐标；
（2）求出△BCO的面积；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标．
2．已知，如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．
（1）求点C的坐标；
（2）在平面坐标系中是否存在点M，使以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求PA+PC的最小值．
3．问题情境：
平面直角坐标系中，矩形纸片OBCD按如图的方式放置．已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD交于点E．
数学探究：
（1）点C的坐标为　
　；
（2）求点E的坐标及直线BE的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一点，直线BE上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在直角坐标系中，OA＝3，OC＝4，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
（1）求直线AC的函数解析式；
（2）设点B（0，m），记平行四边形ABCD的面积为S，请写出S与m的函数关系式，并求当BD取得最小值时的S的值；
（3）当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
6．已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问：
①若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，且OA＝OC，点P从A出发沿射线AC方向运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t（s）．
（1）求点B、C的坐标；
（2）若△OCP的面积为4，求运动时间t的值；
（3）如图2，若∠POQ＝90°，且OP＝OQ，连接BQ，求运动过程中BQ的最小值．
8．如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A（3，0），C（0，2），点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF＝1．
（1）点E的坐标为　
　，点F的坐标为　
　；
（2）点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，
①点E′的坐标为　
　，点F′的坐标为　
　；
②求直线E′F′的解析式；
（3）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M，N的坐标，并求出周长的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
10．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（—，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．
【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；
【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABD＝S△BCD．试说明AO＝CO；
【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
12．如图，四边形ABCD是正方形，E是边AB上一点，连接DE，将直线DE绕点D逆时针旋转90°，交BC的延长线于点F
（1）如图1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，连接EF，若D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交AB于点P，求证：E是AP的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交EF于点G，连接BG、BH，若BG＝2，AB＝6，求线段PH的长．
13．如图，四边形ABCD是正方形，E是边AB上一点，连接DE，直线DE绕着点D逆时针旋转90°，交BC的延长线于点F．
（1）如图1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，连接EF，若D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交AB于点P，求证：E为AP中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交EF于点G，连接BG，BH，若BG＝，AB＝3，求线段PH的长．
14．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到的三角形为　
　，线段CF、BD所在直线的位置关系为　
　，线段CF、BD的数量关系为　
　；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
15．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
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八年级下册4-5章专题培优
一次函数中的特殊四边形
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．
（1）求点C的坐标；
（2）求出△BCO的面积；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标．
【分析】（1）联立两直线解析式组成方程组，解得即可得出结论；
（2）把x＝0代入y＝x+3得B（0，3），结合C点坐标即可求面积；
（3）先确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+3①与直线l2：y＝﹣3x②相交于C，
∴联立①②解得，x＝﹣，y＝，
∴C（﹣，）；
（2）把x＝0代入y＝x+3得y＝3，
∴B（0，3）
∴OB＝3
∵C（﹣，）
∴△BCO的面积＝OB×|﹣|═×3×＝；
（3）在y＝x+3中，当y＝0时，x＝﹣3
∴A（﹣3，0）
作点A（﹣3，0）关于y轴的对称点A′（3，0），连接CA′交y轴于点P，此时PC+PA最小，如图：
设直线CA′的解析式为y＝kx+b
把C（﹣，），A′（3，0）代入上式得：
，
解得：
∴直线CA′的解析式为y＝﹣x+
令x＝0时y＝
∴点P（0，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，待定系数法，用轴对称解决最短路径问题是解本题的关键．
2．已知，如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．
（1）求点C的坐标；
（2）在平面坐标系中是否存在点M，使以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求PA+PC的最小值．
【分析】（1）联立两直线解析式组成方程组，解得即可得出结论；
（2）利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式即可得出结论；
（3）先确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+3①与直线l2：y＝﹣3x②相交于C，
联立①②解得，x＝﹣，y＝，
∴C（﹣，）；
（2）∵直线y＝x+3交x轴于点A，
∴A（﹣3，0），
由（1）知，C（﹣，），
∵以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形，
设M（m，n）如图1，
∴①当AC是对角线时，（﹣3﹣）＝m，（0+）＝n，
∴m＝﹣，n＝，
∴M（﹣，），
②当OC是对角线时，（0﹣）＝（﹣3+m），（0+）＝（0+n），
∴m＝，n＝，
M1（，），
③当OA为对角线时，（0﹣3）＝（m﹣），（0+0）＝（m+），
∴m＝﹣，n＝﹣．
M2（﹣，），
（3）如图2，作点A（﹣3，0）关于y轴的对称点A'（3，0），
连接CA'交y轴于点P，此时，PC+PA最小，最小值为CA'＝＝，
由（1）知，C（﹣，），
∵A'（3，0），
∴直线A'C的解析式为y＝﹣x+，
∴P（0，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，平行四边形的性质，待定系数法，极值的确定，用分类讨论的思想和方程（组）解决问题是解本题的关键．
3．问题情境：
平面直角坐标系中，矩形纸片OBCD按如图的方式放置．已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD交于点E．
数学探究：
（1）点C的坐标为　（10，6）　；
（2）求点E的坐标及直线BE的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一点，直线BE上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质的出货∠OBC＝90°，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理求出AC＝8，进而利用勾股定理求出OE，得出点E坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（3）先求出点A坐标，再分两种情况，利用平行四边形的性质建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，
∵OB＝10，BC＝6，
∴C（10，6），
故答案为：（10，6）；
（2）∵四边形OBCD是矩形，
∴OB＝CD＝10，AD＝BC＝6，∠C＝∠ODC＝90°，
设OE＝m，
∴DE＝OD﹣OE＝6﹣m，
由折叠知，AB＝OB＝10，AE＝OE＝m，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝8，
∴AD＝CD﹣AC＝10﹣8＝2，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD2+DE2＝AE2，
∴22+（6﹣m）2＝m2，
∴m＝，
∴E（0，），
设直线BE的函数关系式为y＝kx+，
∵B（10，0），
∴10k+＝0，
∴k＝﹣，
∴直线BE的函数关系式为y＝﹣x+；
（3）存在，理由：由（2）知，AD＝2，
∴A（2，6），
∵能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥AB，
①当BQ为的对角线时，
∴AQ∥BP，
∵点B，P在x轴，
∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6，
∵点Q在直线BE：y＝﹣x+上，
∴﹣x+＝6，
∴x＝﹣8，
∴Q（﹣8，6），
②当BQ为边时，
∴AQ与BP互相平分，
设Q（n，﹣n+），
∴[6+（﹣n+）]＝0，
∴n＝28，
∴Q（28，﹣6），
即：直线BE上是存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q（﹣8，6）或（28，﹣6）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把x＝0，y＝0分别代入直线L1，即可求出y和x的值，即得到B、C的坐标，解由直线BC和直线OA的方程组即可求出A的坐标；
（2）设D（x，x），代入面积公式即可求出x，即得到D的坐标，设直线CD的函数表达式是y＝kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入即可求出直线CD的函数表达式；
（3）存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，根据菱形的性质能写出Q的坐标．
【解答】解：（1）直线，
当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）解：设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x＝12，
解得：x＝4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y＝kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+6，
答：直线CD的函数表达式是y＝﹣x+6．
（3）答：存在点Q，如图，
使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，菱形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算．此题是一个综合性很强的题目．
5．如图，在直角坐标系中，OA＝3，OC＝4，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
（1）求直线AC的函数解析式；
（2）设点B（0，m），记平行四边形ABCD的面积为S，请写出S与m的函数关系式，并求当BD取得最小值时的S的值；
（3）当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据OA、OC的长度结合图形可得出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）根据点B的坐标可得出BC的长度，结合平行四边形的面积公式即可得出S关于m的函数关系式，再根据AD∥y轴即可找出当BD最短时m的值，将其代入S关于m的函数关系式中即可得出结论；
（3）根据菱形的性质找出m的值，从而找出点B的坐标，设点P的坐标为（n，0），根据两点间的距离公式找出AP、BP、AB的长度，分AP＝BP、AP＝AB、BP＝AB三种情况求出n值，再将其代入点P的坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA＝3，OC＝4，
∴A（﹣3，0）、C（0，4）．
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣3，0）、C（0，4）代入y＝kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+4．
（2）∵点B（0，m），四边形ABCD为以AC为对角线的平行四边形，
∴BC＝|4﹣m|，
∴S＝BC?OA＝|﹣3m+12|（m≠4）．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴当BD⊥y轴时，BD最小（如图1）．
∵AD∥OB，AO⊥OB，DA⊥OB，
∴四边形AOBD为矩形，
∴AD＝OB＝BC，
∴点B为OC的中点，即m＝＝2，
此时S＝|﹣3×2+12|＝6．
∴S与m的函数关系式为S＝|﹣3m+12|（m≠4），当BD取得最小值时的S的值为6．
（3）∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC．
∵AB＝＝，BC＝4﹣m，
∴＝4﹣m，
解得：m＝，
∴B（0，）．
设点P的坐标为（n，0），
∵A（﹣3，0），B（0，），
∴PA＝|n+3|，PB＝，AB＝4﹣＝．
△PAB是等腰三角形分三种情况：
①当PA＝PB时，有|n+3|＝，
解得：n＝﹣，
此时点P的坐标为（﹣，0）；
②当PA＝AB时，有|n+3|＝，
解得：n1＝，n2＝﹣，
此时点P的坐标为（﹣，0）或（，0）；
③当PB＝AB时，有＝，
解得：n3＝﹣3（舍去），n4＝3，
此时点P的坐标为（3，0）．
综上可知：点P的坐标为（﹣，0）、（﹣，0）、（，0）或（3，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；（3）分三种情况讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握多边形的性质是关键．
6．已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问：
①若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①连接OP，根据三角形的面积公式S△PAO＝×OA×PE计算即可；
②存在，首先证明四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，根据垂线段最短可知：当OP⊥AB时，此时EF最小；
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝8，
∴B（0，8），
令y＝0，则﹣2x+8＝0，
∴x＝4，
∴A（4，0），
（2）①连接OP．
∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，
∴﹣2m+8＝n，∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴0＜m＜4
∴S△PAO＝×OA×PE＝×4×n＝2（﹣2m+8）＝﹣4m+16，（0＜m＜4）；
②存在，
理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，此时EF最小，
∵A（4，0），B（0，8），
∴AB＝4
∵S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OP，
∴OP＝＝＝，
∴EF的最小值＝OP＝．
【点评】本题考查一次函数的性质、矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，且OA＝OC，点P从A出发沿射线AC方向运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t（s）．
（1）求点B、C的坐标；
（2）若△OCP的面积为4，求运动时间t的值；
（3）如图2，若∠POQ＝90°，且OP＝OQ，连接BQ，求运动过程中BQ的最小值．
【分析】（1）在y＝2x+4中分别令x＝0和y＝0，则可求得A、B坐标，结合OA＝OC可求得C点坐标；
（2）由条件可求得点O到直线AC的距离，用t可表示出PC的长，则可表示出△OCP的面积，可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）连接AQ，可证明△OQA≌△OPC，则可知∠OAQ＝45°，可求得直线AQ的解析式，设直线AQ交x轴于点E，则当BQ⊥AE时，BQ最短，可求得BQ的长．
【解答】解：
（1）在y＝2x+4中，令x＝0可得y＝4，令y＝0可得2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴A（0，4），B（，0），
∴OC＝OA＝4，
∴C（，0）；
（2）∵OA＝OC＝4，
∴AC＝8，
∴点O到直线AC的距离为4，
当运动t秒时，则AP＝t，则CP＝|AP﹣AC|＝|t﹣8|，
∴S△OCP＝×4|t﹣8|＝2|t﹣8|，
∵△OCP的面积为4，
∴2|t﹣8|＝4，解得t＝6或t＝10，
即当t为6秒或10秒时，△OCP的面积为4；
（3）如图，连接AQ，
∵∠POQ＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠QOA+∠AOP＝∠AOP+∠POC，
∴∠AOQ＝∠COP，
在△OQA和△OPC中
∴△OQA≌△OPC（SAS），
∴∠OCP＝∠OAQ＝45°，
设直线AQ交x轴于点E，则E（﹣4，0），
∴BE＝2，
设直线AQ解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AQ解析式为y＝x+4，
∴点Q始终在直线上，
∴BQ⊥AE时，BQ最短，
此时BQ＝2，即BQ的最小值为2．
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、待定系数法、最短距离及方程思想等知识．在（2）中用t表示出△OCP的面积是解题的关键，在（3）中确定出点Q的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
8．如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A（3，0），C（0，2），点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF＝1．
（1）点E的坐标为　（3，1）　，点F的坐标为　（1，2）　；
（2）点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，
①点E′的坐标为　（3，﹣1）　，点F′的坐标为　（﹣1，2）　；
②求直线E′F′的解析式；
（3）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M，N的坐标，并求出周长的最小值．
【分析】（1）先求出OA，OC，再根据矩形的性质得出BA＝2，即可得出结论；
（2）①利用对称的性质即可得出结论；
②利用待定系数法即可求出直线E'F'解析式；
（3）先判断出点M，N是直线E'F'和x，y轴的交点，再利用两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（3，0），B（0，2），
∴OA＝3，OC＝2，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，OC∥AB，BC＝OA＝3，AB＝OC＝2，
∴C（3，2），
∵点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝1，
∴E（3，1），
∵点F在BC上，且CF＝1，
∴F（1，2），
故答案为：（3，1），（1，2），
（2）①由（1）知，E（3，1），F（1，2），
∵点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，
∴E'（3，﹣1），F'（﹣1，2），
故答案为：（3，﹣1），F'（﹣1，2）；
②设直线E'F'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线E'F'的解析式为y＝﹣x+；
（3）如图，∵E（3，1），F（1，2），
∴EF＝，
∵点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，
∴连接E'F'和x轴交于M，和y轴交于N，此时四边形MNFE的周长最小，
∴NF＝NF'，ME＝ME'，
∵E'（3，﹣1），F'（﹣1，2），
∴E'F＝＝5，
∴四边形MNFE的周长的最小值为NF+MN+ME+EF
＝NF'+MN+ME'+EF＝E'F'+EF＝5+．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，对称的性质，待定系数法，两点间的距离公式，解（2）的关键是求出点E'，F'的坐标，解（3）的关键是判断出点M，N的位置，是一道常规题．
9．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6，
S△OAC＝×6×4＝12；
（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m＝，
则直线的解析式是：y＝x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴M的横坐标是×4＝1，
在y＝x中，当x＝1时，y＝，则M的坐标是（1，）；
在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
10．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；
（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；
（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN边上的高，再由S△PBN＝S△BCM，求BN，进而得出ON．
【解答】解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠QBC＝90°，
∴∠OAB＝∠QBC，
又∵AB＝BC，∠AOB＝∠CQB＝90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ＝AO＝2，OQ＝BQ+BO＝3，CQ＝OB＝1，
∴C（﹣3，1），
由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y＝x+2；
（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，
∵AC＝AD，AB⊥CB，
∴BC＝BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF＝BH＝2，
∴OF＝OB＝1，
∴DG＝OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE＝DE；
（3）如图3，直线BC：y＝﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，
∴P（﹣，），
由y＝x+2知M（﹣6，0），
∴BM＝5，则S△BCM＝．
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，
则BN?＝×，
∴BN＝，ON＝，
∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上，
∴N（﹣，0）．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
11．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．
【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；
【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABD＝S△BCD．试说明AO＝CO；
【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
【分析】【简单应用】先判断出直线L过线段AB的中点，再求出线段AB的中点，最后用待定系数法即可得出结论；
【探究升级】先判断出AF＝CG，进而判断出△AOF≌△COG，即可得出结论；
【综合运用】借助【探究升级】的结论判断出直线OC过线段AB的中点，进而求出直线OC的解析式，最后将点C坐标代入即可得出结论．
【解答】解：【简单应用】：∵直线L将△ABO分成面积相等的两部分，
∴直线L必过相等AB的中点，
设线段AB的中点为E，
∵A（0，3），B（4，0），
∴E（，），
∴E（2，），
∵直线L过原点，
∴设直线L的解析式为y＝kx，
∴2k＝，
∴k＝，
∴直线L的解析式为y＝x；
【探究升级】：如图2，
过点A作AF⊥BD于F，过点C作CG⊥BD于G，
∴S△ABD＝BD?AF，S△CBD＝BD?CG，
∵S△ABD＝S△BCD，
∴BD?AF＝BD?CG，
∴AF＝CG，
在△AOF和△COG中，，
∴△AOF≌△COG（AAS），
∴OA＝OC；
【综合运用】：如图3，
由【探究升级】知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点，
∵OC恰好平分四边形OACB的面积，
∴OC过四边形OACB的对角线OA的中点，
连接AB，设线段AB的中点为H，
∵A（1，4），B（3，﹣2），
∴H（2，1），设直线OC的解析式为y＝k'x，
∴2k'＝1，
∴k'＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
∵点C（2m，﹣m+5）在直线OC上，
∴﹣m+5＝×2m，
∴m＝，
∴C（5，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的中线的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
12．如图，四边形ABCD是正方形，E是边AB上一点，连接DE，将直线DE绕点D逆时针旋转90°，交BC的延长线于点F
（1）如图1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，连接EF，若D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交AB于点P，求证：E是AP的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交EF于点G，连接BG、BH，若BG＝2，AB＝6，求线段PH的长．
【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠BCD，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得DE＝DF；
（2）如图2，连接EH，FH，由轴对称性质可得EH＝DE＝FH＝DF，由余角的性质和三角形内角和定理可得∠EPH＝∠HCF，∠EHP＝∠CHF，由“ASA”可证△EHP≌△FHC，可得PE＝CF，即可得结论；
（3）如图3，连接PC，EH，FH，过点E作EK∥BC，交AC于K，由正方形的性质和平行线的性质可得∠AKE＝∠ACB＝45°＝∠EAK，∠AEK＝∠ABC＝90°，∠EKG＝∠GCF，由“AAS”可证△EKG≌△FCG，可得EG＝FG，由直角三角形的性质可得EG＝GF＝BG＝2，由勾股定理可求BP的长，PC的长，由等腰直角三角形的性质可求PH的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠BCD，
∵将直线DE绕点D逆时针旋转90°，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
（2）如图2，连接EH，FH，
∵点D关于直线EF的对称点为H，
∴EH＝DE，FH＝DF，且DE＝DF，
∴EH＝DE＝FH＝DF，
∵DE＝EH，DF＝HF，EF＝EF，
∴△DEF≌△HEF（SSS）
∴∠EHF＝∠EDF＝90°，且PH⊥CH，
∴∠PHE＝∠FHC，
∵∠B＝∠PHC＝90°，∠BGP＝∠CGH，
∴∠BPG＝∠HCG，
∴∠EPH＝∠HCF，且EH＝HF，∠EHP＝∠CHF，
∴△EHP≌△FHC（AAS）
∴EP＝CF，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴AE＝EP，
∴点E是AP中点，
（3）如图3，连接PC，EH，FH，过点E作EK∥BC，交AC于K，
∵EK∥BC，
∴∠AKE＝∠ACB＝45°＝∠EAK，∠AEK＝∠ABC＝90°，∠EKG＝∠GCF，
∴AE＝EK，
∵AE＝CF，
∴EK＝CF，且∠EKG＝∠GCF，∠EGK＝∠CGF，
∴△EKG≌△FCG（AAS）
∴EG＝FG，
∵BG＝2，
∴EG＝FG＝BG＝2，
∴EF＝4，
∵EF2＝BE2+BF2，
∴80＝（6﹣AE）2+（6+AE）2，
∴AE＝2
∴BP＝AB﹣AE﹣EP＝2
∴PC＝＝＝2
由（2）可知△EHP≌△FHC，
∴PH＝CH，且PH⊥CH
∴PC＝PH
∴PH＝2
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
13．如图，四边形ABCD是正方形，E是边AB上一点，连接DE，直线DE绕着点D逆时针旋转90°，交BC的延长线于点F．
（1）如图1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，连接EF，若D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交AB于点P，求证：E为AP中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交EF于点G，连接BG，BH，若BG＝，AB＝3，求线段PH的长．
【分析】（1）全等三角形是证明两条线段相等的重要方法之一．只要证明△ADE≌△CDF，即可得到DE＝DF；
（2）连接HE，HF，由点H与点D关于直线EF对称，所以EH＝ED，FH＝FD．因为DE＝DF，所以EH＝FH＝ED＝FD．即四边形DEHF是菱形．由∠EDF＝90°，得到四边形DEHF是正方形，利用正方形的性质证明△HPE≌△HCF，得到PE＝CF，所以AE＝PE，得到点E是AP的中点；
（3）过点E作EK∥BF，只要证明△EGK≌△CFG，可得EG＝GF，推出EF＝2BG＝2，设AE＝CF＝a
则BE＝3﹣a，BF＝3+a，可得（3﹣a）2+（3+a）2＝（2
）2，再证明△PCH是等腰直角三角形，求出PC即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵直线DE绕着点D逆时针旋转90°，
∴∠EDF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠A＝∠DCB＝90°，AD＝DC
∴∠ADC＝∠EDF＝∠DCF＝∠A＝90°，
∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，
即∠ADE＝∠CDF，
在△ADE与△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF；
（2）连接EH，FH，如图2
∵D、H关于EF对称，
∴EF垂直平分DH，
∴HE＝DE，DF＝HF，
又∵EF＝EF，
∴△EDF≌△EHF，
∴∠EHF＝∠EDF＝90°，
又∵∠B＝∠EHF＝90°，
∴∠BPH＝∠BCH，
∴∠EPH＝∠FCH，
又∵DE＝DF，
∴EH＝HF，
又∵PH⊥CH，
∴∠PHC＝∠EHF＝90°，
∴∠PHE＝∠CHF，
∴△PEH≌△CFH，
∴CF＝PE，
又∵△ADE≌△CDF
∴AE＝CF，
∴AE＝PE，
∴E为AP中点；
（3）过点E作EK∥BF，如图3：
∵EK∥BF，
∴∠EKA＝∠BCA＝45°，∠EKG＝∠FCG，
∴∠EAK＝∠EKA＝45°，
∴EA＝EK＝CF，
又∵∠EGK＝∠CGF，
∴△EGK≌△CFG，
∴EG＝GF，
∴在Rt△EBF中，EF＝2BG＝2
，
∴设AE＝CF＝a
则BE＝3﹣a，BF＝3+a，
∴（3﹣a）2+（3+a）2＝（2
）2
∴a＝1（a＝﹣1舍），
∴AE＝PE＝1，
∴BP＝1，
连接PC，
∴PC＝＝，
由（2）可知△PEH≌△CFH，
∴HP＝HC，∠PHE＝∠CHF，
∴∠PHC＝∠EHF＝90°，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PH＝HC＝×＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，勾股定理的应用，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
14．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到的三角形为　△ACF　，线段CF、BD所在直线的位置关系为　互相垂直　，线段CF、BD的数量关系为　相等　；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
【分析】（1）①当点D在线段BC上时，根据等腰直角三角形的性质以及旋转的性质，即可得出CF＝BD，BD⊥CF；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①中的方法可得CF⊥BD．
【解答】解：（1）①如图2所示，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到△ACF，则
由旋转的性质可得：∠ACF＝∠B，CF＝BD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°＝∠ACF，
∴∠BCF＝90°，即BD⊥CF；
故答案为：△ACF，垂直，相等；
②如图3所示，当点D在BC的延长线上时，①中的结论仍成立．
证明：由正方形ADEF得，AD＝AF，∠DAF＝90°．
∵∠BAC＝90°
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即
CF⊥BD；
（2）如图4所示，当∠ACB＝45°时，CF⊥BD．
理由：过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC，
∴AC＝AG，
又∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．
【点评】本题主要考查正方形的性质，余角的性质，三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．解题的关键是过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，构造全等三角形．
15．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
【分析】（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；
（2）证明思路同（1）
【解答】（1）PB＝PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）PB＝PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
【点评】此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想．