浙教版八年级下册数学第五章特殊平行四边形培优卷（竞赛必备）（Word版，附答案解析）

浙教版八年级下册数学第5章培优卷
一．选择题（共17小题）
1．菱形的两条对角线之和为L、面积为S，则它的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．将一正方形分割成n个（n＞1）小正方形，则在下列数据中，n不可能取的数是（　　）
A．4
B．5
C．8
D．9
3．已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为（　　）
A．
B．
C．或
D．条件不足，无法计算
4．如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，那么OD的长为（　　）
A．2
B．2
C．2
D．3
5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的个数是（　　）A．3
B．4
C．7
D．8
6．如图，矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的中点，AF、CE交于点G．则SAGCD：SEGFB的值为（　　）
A．5：2
B．4：1
C．7：2
D．3：1
7．如图，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD中点，P为CE中点，则三角形BPD的面积等于（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知正方形边长为2，P，Q，R，S分别为正方形边上的中点，点P′，R′在直线PR上，点Q′，S′在直线QS上，且PP′＝QQ′＝RR′＝SS′＝，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
9．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1，l2，l3，l4上，已知l1与l2之间的距离为3，l2与l3之间的距离为2，则正方形的面积为（　　）
A．16
B．25
C．28
D．34
10．矩形的周长为p，对角线长为d，则此矩形的长与宽的差可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在矩形ABCD中，对角线长2，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．6
12．如图，等边△ABE的顶点E在正方形ABCD内，对角线AC和线段BE交于点F，若BA＝，则△ABF的面积是（　　）
A．
B．
C．4﹣2
D．+
13．如图，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，F为BP的中点，则△BFD的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
14．一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是（　　）
A．6
B．26
C．93
D．179
15．如图，正方形ABCD的面积是486，点P0在AD上，点P1在P0B上，且=；点P2在P1C上，且=；点P3在P2B上，且=；…；点P6在P5C上，且=，则△P6BC的面积是（　　）
A．81
B．
C．
D．
16．如图，正方形ABCD的对角线BD上一点M，BM＝BC，CM的延长线交AD于P，AM延长线交CD于Q，则∠CMQ＝（　　）
A．25°
B．45°
C．67.5°
D．30.5°
17．如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共14小题）
18．如图，将两张长为8，宽为2的矩形条交叉，那么重叠部分是　
　形，其周长的最小值为　
　，最大值为　
　．
19．如图，在正方形ABCD中，AE＝ED，且EF＝2FC，△ABF的面积是5，则正方形ABCD的面积是　
　．
20．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　
　．
21．如图，ABCD是长方形，AB＝1，BC＝2，∠EBC＝15°，E在AD的延长线上，则CE等于　
　．
22．已知正方形ABCD所在平面内的直线满足：
（1）正方形四个顶点到这条直线的距离只有两种；
（2）两种距离中，较大的是较小的三倍．
那么，符合上述条件的直线一共有　
　条．
23．如图，大小两正方形的底边在同一条直线上，边长分别为6和4，则△ABC的面积是　
　．
24．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BE＝6，EC＝3，EF＝2AF，BF的延长线交AC于P，则S△APD＝　
　．
25．如图，两个边长为a的正方形，其中一个正方形的顶点是另一个的中心，则两个正方形重叠的面积是　
　．
26．已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b，且SEFGH＝，则|b﹣a|＝　
　．
27．3个边长2厘米的正方形如图，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中心在丙的一个顶点上，甲与丙不重叠．则甲乙丙总共覆盖的面积是　
　平方厘米．
28．如图，E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点，且S△ABE＝3，S△ECF＝8，S△ADF＝5，则矩形ABCD的面积为　
　．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是　
　．
30．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝　
　．
31．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为　
　．
三．解答题（共9小题）
32．如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．
（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK＝BG；
（2）若KD＝KG，BC＝4﹣，求KD的长度．
33．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
34．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
35．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
36．已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．
（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．
（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．
37．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（Ⅰ）点B的坐标为　
　；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为　
　；
（Ⅱ）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．
38．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
39．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，）．
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个点位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？
（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
浙教版八年级下册数学第5章培优卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．菱形的两条对角线之和为L、面积为S，则它的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题可利用一元二次方程的知识，设一条对角线为2a，另外一条为2b．面积S＝×2a×2b＝2ab，再根据两条对角线之和为L，即a+b＝L，设边长是m，则m2＝a2+b2，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求得边长．↓
【解答】解：设边长为m，一条对角线为2a，另外一条为2b，则
a+b＝L，2ab＝S
∵m2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝L2﹣S
∴m＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查菱形的性质和一元二次方程的应用，有难度．
2．将一正方形分割成n个（n＞1）小正方形，则在下列数据中，n不可能取的数是（　　）
A．4
B．5
C．8
D．9
【分析】的都可以，所以4，9都可以．设想一个边长为8的正方形先切成4个边长4的小正方形，把每个边长为4的小正方形沿两条对角线切开，可以切出4个直角边是2
的等腰直角三角形，每两个直角边是2
的等腰直角三角形都能组成1个2
为边长的正方形于是边长为8的，可以分割为8个边长为2
的正方形，于是边长为8的也可以，答案就有了．
【解答】解：都可以，所以4，9都可以，
边长为8的，可以分割为8个边长为2
的正方形．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，正方形的四个边相等．
3．已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为（　　）
A．
B．
C．或
D．条件不足，无法计算
【分析】因为BM可以交AD，也可以交CD．分两种情况讨论：
①BM交AD于F，则△ABE≌△BAF．推出AF＝BE＝3，所以FD＝EC，连接FE，则四边形ABEF为矩形，所以M为该矩形的对角线交点，所以BM＝AC的一半，而AE等于5（勾股定理得之）；
②BM交CD于F，则BF垂直AE（通过角的相加而得）且△BME∽△ABE，则＝，所以求得BM等于．
【解答】解：分两种情况讨论：
①BM交AD于F，
∵∠ABE＝∠BAF＝90°，AB＝BA，AE＝BF，
∴△ABE≌△BAF（HL）
∴AF＝BE，
∵BE＝3，
∴AF＝3，
∴FD＝EC，
连接FE，则四边形ABEF为矩形，
∴BM＝AE，
∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∴BM＝；
②BM交CD于F，
∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BEM+∠EBM＝90°，
∴∠BME＝90°，
即BF垂直AE，
∴△BME∽△ABE，
∴＝，
∵AB＝4，AE＝5，BE＝3，
∴BM＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，以及三角形的全等和相似，是基础知识要熟练掌握．
4．如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，那么OD的长为（　　）
A．2
B．2
C．2
D．3
【分析】过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H，设CF＝x，FB＝y，AH＝s，HB＝t，则可得x2﹣y2＝16﹣9，t2﹣s2＝32﹣12＝8，整理得OD2＝x2+s2＝（y2+t2）﹣1＝8，即可解题．
【解答】解：如图，过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H
设CF＝x，FB＝y，AH＝s，HB＝t，
所以OG＝x，DG＝s
所以OF2＝OB2﹣BF2＝OC2﹣CF2
即42﹣x2＝32﹣y2
所以x2﹣y2＝16﹣9＝7（1）
同理有OH2＝12﹣s2＝32﹣t2
所以t2﹣s2＝32﹣12＝8（2）
又因为OH2+HB2＝OB2即y2+t2＝9
（1）﹣（2）得（x2+s2）﹣（y2+t2）＝﹣1
所以OD2＝x2+s2＝（y2+t2）﹣1＝9﹣1＝8
所以OD＝2
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中整理计算OD的长度是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．3
B．4
C．7
D．8
【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰、以AC、BC为腰或以BC、AB为腰．则满足条件的点C可求．
【解答】解：如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
6．如图，矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的中点，AF、CE交于点G．则SAGCD：SEGFB的值为（　　）
A．5：2
B．4：1
C．7：2
D．3：1
【分析】连接AC，BG，设长方形ABCD面积为1，分别求四边形BEFG的面积＝S△AEG+S△CGF，四边形BEFG的面积与三角形AGC面积相等，得四边形EFGB的面积是长方形面积的，分别计算SAGCD和SEGFB的值即可解题．
【解答】解：连接AC，BG，设长方形ABCD面积为1，
则△AGE与BEG面积相等，△BGF与△CGF面积相等，
四边形BEGF的面积＝S△AEG+S△CGF，
∵2S△AGC+S△CGF+S△AEG＝S△BCE+S△ABF＝S△CGF+S△AGE+2S四边形EGFB，
∴四边形BEFG的面积与三角形AGC面积相等，
故SAGCD＝×+＝，
SEFGB＝×＝，
故SAGCD：SEGFB的值为4：1．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形面积的计算，长方形各内角为直角的性质，本题中求四边形BEFG的面积＝S△AEG+S△CGF、四边形BEFG的面积与三角形AGC面积相等是解题的关键．
7．如图，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD中点，P为CE中点，则三角形BPD的面积等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】观察图形可以发现：△BDP的面积＝△BCD的面积﹣△BCP的面积﹣△CDP的面积，因此要求△BDP的面积，求△BCD的面积、△BCP的面积、△CDP的面积即可解题．
【解答】解：∵S正方形ABCD＝a2，
∴
而P为CE中点，E为AD的中点，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形各边、各内角相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中计算△BCD的面积、△BCP的面积、△CDP的面积是解题的关键．
8．如图，已知正方形边长为2，P，Q，R，S分别为正方形边上的中点，点P′，R′在直线PR上，点Q′，S′在直线QS上，且PP′＝QQ′＝RR′＝SS′＝，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
【分析】观察图形可知，图中阴影部分的面积＝正方形面积﹣4个空白梯形的面积，根据正方形和梯形的面积公式列出算式计算即可求解．
【解答】解：∵正方形边长为2，P，Q，R，S分别为正方形边上的中点，
∴AP＝BP＝BQ＝CQ＝CR＝DR＝AS＝DS＝1，
∴图中阴影部分的面积＝2×2﹣（+1）×1÷2×4＝4﹣×1÷2×4＝4﹣3＝1．
故选：C．
【点评】考查了正方形的性质，本题关键是观察图形得到图中阴影部分的面积＝正方形面积﹣4个空白梯形的面积．
9．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1，l2，l3，l4上，已知l1与l2之间的距离为3，l2与l3之间的距离为2，则正方形的面积为（　　）
A．16
B．25
C．28
D．34
【分析】如图，过点A作AE⊥l2于E，过点C作CF⊥l2于F，交l3于点H，通过证明△ABE≌△BCF，△CDH≌△BCF，可得AE＝BF＝CH＝3，可得CF＝5，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥l2于E，过点C作CF⊥l2于F，交l3于点H，
∴AE＝3，FH＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBE，且AB＝BC，∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴AE＝BF＝3，
同理可证△CDH≌△BCF，
∴CH＝BF＝3，
∴CF＝FH+HC＝5，
∴正方形的面积＝BC2＝BF2+CF2＝9+25＝34，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
10．矩形的周长为p，对角线长为d，则此矩形的长与宽的差可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】设矩形的两边分别为a和b，利用矩形的性质及勾股定理表示出两个边的差的平方，开方即可得到长与宽的差．
【解答】解：设矩形的两边分别为a和b，
由题意可知：2（a+b）＝p，a2+b2＝d2，
∴a+b＝
假设a＞b．
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝﹣d2，
而（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝﹣2（﹣d2）＝2d2﹣，
∴a﹣b＝．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用勾股定理和矩形的性质正确的表示出长与宽的差的平方．
11．如图，在矩形ABCD中，对角线长2，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．6
【分析】由∠1＝∠2＝∠3＝∠4可得出∠GHE＝∠GFE，∠HGF＝∠HEF，从而可得出∠GHE+∠HGF＝180°，∠GHE+∠HEF＝180°，这样即可得出HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，连接AC、BD，则有：＝，＝，从而可得+＝+＝1，即GF+HG＝AC＝2，根据平行四边形的性质可得出四边形EFGH的周长．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠GHE＝∠GFE，∠HGF＝∠HEF，
在四边形GHEF中，∠GHE+∠HGF＝180°，∠GHE+∠HEF＝180°，
故可得HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，
∴△AHG≌△CFE，△DGF≌△BEH，△BEH∽△CEF，△DGF∽△CEF，
∴＝＝，
∴EF∥BD，
同理HG∥BD，
∴＝，＝，
∴+＝+＝1，
又∵+＝+，AC＝BD，
即GF+HG＝AC＝2，
∴四边形EFGH的周长＝2（GF+HG）＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质及相似三角形的性质，题目看着比较简单，但不容易想出求解思路，解答本题的关键是得出比例式＝，＝，难度较大．
12．如图，等边△ABE的顶点E在正方形ABCD内，对角线AC和线段BE交于点F，若BA＝，则△ABF的面积是（　　）
A．
B．
C．4﹣2
D．+
【分析】过F点作FG⊥AB于G，根据三角函数用FG表示出AG，BG，再根据BA＝，得到关于FG的方程，解方程求得FG，再根据三角形面积公式可求△ABF的面积．
【解答】解：过F点作FG⊥AB于G，
∵AC是对角线，
∴AG＝FG，
∵△ABE是等边三角形，
∴BG＝FG，
∵BA＝，
∴FG+FG＝，
解得FG＝，
∴△ABF的面积＝×÷2＝．
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据三角函数求得FG，涉及方程思想的应用．
13．如图，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，F为BP的中点，则△BFD的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接DP，求出S△BDP，再根据F为BP的中点，可得S△BDP＝2S△BDF，问题可解．
【解答】解：连接DP，
S△BDP＝S△BDC﹣S△DPC﹣S△BPC，
＝﹣×1×﹣×1×，
＝，
∵F为BP的中点，
∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．
∴S△BDP＝2S△BDF，
∴S△BDF＝，
∵边长为a的正方形ABCD，
∴S△BDF＝a2．
故选：B．
【点评】此题主要考查正方形的性质和三角形面积的计算，解答此题的关键是作好辅助线，连接DP，根据F为BP的中点，可得S△BDP＝2S△BDF．
14．一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是（　　）
A．6
B．26
C．93
D．179
【分析】由于多边形的外角和等于360度，从1开始，找到不同的整数且和是360度，再得到整数的个数最大值即为所求．
【解答】解：∵26×（26+1）÷2
＝26×27÷2
＝351
27×（27+1）÷2
＝27×28÷2
＝378
∴n的最大值是26．
故选：B．
【点评】考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．
15．如图，正方形ABCD的面积是486，点P0在AD上，点P1在P0B上，且；点P2在P1C上，且；点P3在P2B上，且；…；点P6在P5C上，且，则△P6BC的面积是（　　）
A．81
B．
C．
D．
【分析】观察题目不难发现，△P0BC、△P1BC、…、△P6BC，共底，高通过相似三角形比例依次是．那么即可求得△P6BC的面积与正方形面积间的比例关系．
【解答】解：过P0点作P0F⊥BC于点F，过P1点作P1E⊥BC于点E，则Rt△P0BF∽Rt△P1BE，
∴P1E＝P0F，
∴
则
…
＝＝
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、三角形的面积、相似比．解决本题的关键是找到第六个三角形的面积与正方形的面积关系，通过观察规律即可得到．
16．如图，正方形ABCD的对角线BD上一点M，BM＝BC，CM的延长线交AD于P，AM延长线交CD于Q，则∠CMQ＝（　　）
A．25°
B．45°
C．67.5°
D．30.5°
【分析】先依据正方形的性质可得到∠ABD＝∠CBD＝45°，然后依据等腰三角形的性质可求得∠AMB和∠CMB的度数，从而可求得∠CMQ的度数．
【解答】解：∵ABCD为正方形，
∴∠ABD＝∠MBC＝45°．
又∵BM＝BC，
∴AB＝BM＝BC，
∵∠MBC＝45°，BM＝BC，
∴∠BMC＝67.5°．
同理：∠AMB＝67.5°．
∴∠CMQ＝180°﹣67.5°×2＝45°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、等腰三角形的性质，求得∠AMB和∠CNB的度数是解题的关键．
17．如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP＝PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP＝PG，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系．
【解答】解：延长GP交DC于点H，
∵AB＝AD，BG＝BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．
二．填空题（共14小题）
18．如图，将两张长为8，宽为2的矩形条交叉，那么重叠部分是　菱形　形，其周长的最小值为　8　，最大值为　17　．
【分析】根据垂线段最短，当两纸条垂直放置时，菱形的周长最小，边长等于纸条的宽度；
当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，周长最大，作出图形，设边长为x，表示出BE＝8﹣x，再利用勾股定理列式计算求出x，然后根据菱形的四条边都相等列式进行计算即可得解．
【解答】解：如图1，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同（对边平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
当两张纸条如图2所示放置时，菱形周长最小，即是正方形时取得最小值为：2×4＝8．
当菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大，
设AB＝BC＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，BC2＝BE2+CE2，
即x2＝（8﹣x）2+22，
解得x＝，
所以，菱形的周长＝4×＝17．
故答案为：菱形；8；17．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的四条边都相等的性质，判断出周长最小与最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．
19．如图，在正方形ABCD中，AE＝ED，且EF＝2FC，△ABF的面积是5，则正方形ABCD的面积是　12　．
【分析】方法1、过点F做AD的平行线交AB于M，CD于N，即可得到FM：FN＝5：6，求出三角形ANB的面积，而正方形面积是三角形ANB面积的2倍，即可．
方法2、先判断出FG＝AB，再用△ABF的面积建立方程求出AB的平方，即可得出结论．
【解答】解：方法1、如图，
过点F作MN∥AD，连接BN，AN，
∴，
∵点E是AD中点，
∴DE＝AD，
∴，
∴，
∵S△AFB＝AB×FM，S△AMB＝AB×MN，
∴，
∵S△AFB＝5，
∴S△ANB＝6，
∴S正方形ABCD＝2S△ANB＝12，
故答案为12．
方法2、
连接FD，过点F作GH∥BC，连接BE交GH于N，
易证，GN＝FH，
过点E作EP⊥BC交HG于M，
∴MN＝MF，
易证，FM＝2FH，
∴FG＝AD＝AB，
∵△ABF的面积是5，
∴AB×FG＝AB×AB＝5，
∴AB2＝12，
∴正方形ABCD的面积为12．
故答案为12
【点评】此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，中点的定义，平行线分线段成比例定理，比例的基本性质，解本题的关键是求出，难点是作出辅助线．
20．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　　．
【分析】如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．由勾股定理得到ME+2AF＝+2＝+，欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′．
【解答】解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，
∴EH＝1﹣2x，
∴ME+2AF＝+2＝+，
欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），
作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，
∵J′（0，﹣4），K（1，1），
∴KJ′＝＝，
∴ME+2AF的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
21．如图，ABCD是长方形，AB＝1，BC＝2，∠EBC＝15°，E在AD的延长线上，则CE等于　2　．
【分析】在AE上截取BK＝2，连接BK，由矩形的性质得出∠A＝90°，AD∥BC，由AB＝AK得出∠AKB＝30°，由三角形的外角性质得出∠KBE＝∠EBC，证出EK＝BK＝2＝BC，得出四边形KBCE是平行四边形，即可得出结果．
【解答】解：在AE上截取BK＝2，连接BK，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵AB＝1＝BK，
∴∠AKB＝30°，
∵∠EBC＝15°，∠AKB＝∠KBE+∠EBC，
∴∠KBE＝15°＝∠EBC，
∴EK＝BK＝2＝BC，
∴四边形KBCE是平行四边形，
∴CE＝BK＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的判定、等腰三角形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形KBCE是平行四边形是解决问题的关键．
22．已知正方形ABCD所在平面内的直线满足：
（1）正方形四个顶点到这条直线的距离只有两种；
（2）两种距离中，较大的是较小的三倍．
那么，符合上述条件的直线一共有　16　条．
【分析】根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，
①该直线切割正方形，确定直线的位置；
②该直线在正方形外，确定直线的位置．
【解答】解：符合题目要求的一共16条直线，
下图虚线所示直线均符合题目要求．
故答案为：16．
【点评】本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．
23．如图，大小两正方形的底边在同一条直线上，边长分别为6和4，则△ABC的面积是　18　．
【分析】易知AC∥BD，根据同底等高的三角形面积相等即可求出△ABC的面积．
【解答】解：∵大小两正方形的底边在同一条直线上，
∴AC∥BD，
∴△ABC和△ADC是同底等高的两个三角形，
∴，
故答案为18．
【点评】本题考查了正方形的性质和三角形的面积公式运用，解题的关键是得到△ABC和△ADC是同底等高的两个三角形．
24．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BE＝6，EC＝3，EF＝2AF，BF的延长线交AC于P，则S△APD＝　4.5　．
【分析】连接PE．易知S△ABE＝12，S△AEC＝6，由EF＝2AF知S△ABF＝4，S△BEF＝8，设S△APF＝x，则S△PEF＝2x，S△PBE＝2x+8，由BE＝2EC知S△PEC＝x+4，故x+2x+x+4＝6?x＝0.5.，又由S△DAP+S△DPC＝18，可求得S△DAP＝4.5，S△DPC＝13.5．
【解答】解：连接PE．
∵在长方形ABCD中，AB＝4，BE＝6，EC＝3，
∴S△ABE＝AB?BE＝12，S△AEC＝CE?AB＝6，
∵EF＝2AF，
∴S△ABF＝S△ABE＝4，S△BEF＝S△ABE＝8，
设S△APF＝x，则S△PEF＝2x，S△PBE＝2x+8，
∵BE＝2EC，
∴S△PEC＝x+4，
∴x+2x+x+4＝6，
解得：x＝0.5．
∴，
又∵S△DAP+S△DPC＝18，
∴S△DAP＝×18＝4.5，S△DPC＝×18＝13.5．
故答案为：4.5．
【点评】本题主要考查等积变换能力以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25．如图，两个边长为a的正方形，其中一个正方形的顶点是另一个的中心，则两个正方形重叠的面积是　a2　．
【分析】连接OB，OC，可得△OBF≌△OCG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系．
【解答】解：∵两个正方形的边长都为a，
∴△OBG≌△ODH，
∴OB＝OD＝a，
∴四边形OGHD的面积＝S△OGD+S△ODH，
∴四边形OGHD的面积＝S△OGD+S△OBG＝S△OBD，
∴四边形OGHD的面积＝a2．
故答案为：a2．
【点评】考查正方形的性质；把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点．
26．已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b，且SEFGH＝，则|b﹣a|＝　　．
【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH是正方形，易证得∠DEH＝∠AFE，然后由AAS证得△AEF≌△DHE，根据全等三角形的对应边相等可得AF＝DE，所以a+b＝1，根据a+b＝1，且a2+b2＝的等量关系求解，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是正方形，
∴∠A＝∠D＝∠FEH＝90°，EF＝EH，
∴∠AEF+∠DEH＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠DEH＝∠AFE，
在△AEF和△DHE中，
，
∴△AEF≌△DHE，
∴AF＝DE＝b，
∵DE+AE＝1，
∴a+b＝1①，
∵SEFGH＝EF2＝AE2+AF2＝，
即：a2+b2＝②，
∴ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝，
∴|b﹣a|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及完全平方公式的应用．解题的关键是证明△AEF≌△DHE，并找到条件a+b＝1，然后利用完全平方公式的知识求得答案，注意数形结合思想的应用．
27．3个边长2厘米的正方形如图，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中心在丙的一个顶点上，甲与丙不重叠．则甲乙丙总共覆盖的面积是　10　平方厘米．
【分析】首先确定甲乙与乙丙重合部分相等，且为四分之一个正方形面积，则可求得甲乙丙总共覆盖的面积．
【解答】解：∵图中两个涂色的三角形面积相同，
∴甲、乙重合部分面积＝四分之一个正方形面积＝22÷4＝1．
同理乙，丙重合部分面积＝1，
∴甲乙丙总共覆盖面积＝3×22﹣2×1＝10平方厘米．
故答案为：10．
【点评】此题考查了正方形的性质．解此题的关键是找到甲乙与乙丙重合部分相等，且为四分之一个正方形面积．
28．如图，E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点，且S△ABE＝3，S△ECF＝8，S△ADF＝5，则矩形ABCD的面积为　30　．
【分析】通过作辅助线将矩形ABCD分割成不同的小矩形，将矩形的面积转化为各个小矩形面积的和，进而可得出结论．
【解答】解：如图，S△ABE＝3，即AB?BE＝3，
S△ECF＝8，即EC?CF＝8，
S△ADF＝5，即AD?DF＝5，
∴BE?（DF+CF）＝6，即BE?DF+BE?CF＝6，①
（BE+EC）?DF＝10，即BE?DF+EC?DF＝10②
②﹣①得DF?EC﹣BE?CF＝4，DF?EC＝4+BE?CF③，
①+②得2BE?DF+BE?CF+EC?DF＝16，
即2（6﹣BE?CF）+BE?CF+EC?DF＝16④，
由EC?CF＝8可知，EC?CF＝16，
则BE?FC＝4，BE?DF＝2，
即四边形AHMG的面积为2，
则S矩形ABCD＝SABEG+SECFM+SAHFD﹣SAHMG＝6+16+10﹣2＝30．
故答案为：30．
解法二：设AB＝a，AD＝b，则CD＝a，BC＝b，
∵S△ABE＝3，S△ADF＝5，
∴BE＝，FD＝，
∴EC＝b﹣，CF＝a﹣，
又∵S△ECF＝8，
∴（b﹣）×（a﹣）＝16，
∴ab+﹣10﹣6＝16，
即（ab）2﹣32ab+60＝0，
解得ab＝30，ab＝2（舍去），
∴S矩形＝ab＝30．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形面积的计算，能够熟练掌握．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是　　．
【分析】延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．把将多边形OABCDE分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形OABCDE分割成面积相等的两部分．而M点正是矩形ABFO的中心，求得矩形CDEF的中心N的坐标，设y＝kx+b，利用待定系数法求k，b即可．
【解答】解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．
又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为y＝kx+b，则
解得，故所求直线l的函数表达式为．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），要有两组对应量确定解析式，即得到k，b的二元一次方程组．同时考查了不规则图形面积的平分方法；过矩形对角线交点的直线必平分它的面积．
30．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝　　．
【分析】思考本题的出发点是直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，可根据矩形的性质，对角线OB把其面积能分成相等的两部分，求出线段OB的中点，将求出的中点坐标代入直线方程即可求出b的值．
【解答】解：由B的坐标（15，6），得到矩形中心的坐标为（7.5，3），
直线y＝x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，
将（7.5，3）代入直线y＝x+b得：
3＝×7.5+b，
解得：b＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用及矩形的性质；找着思考问题的突破口，理解过矩形对角线交点的直线将矩形面积分为相等的两部分是正确解答本题的关键．本题还可通过求梯形的面积法求得答案．
31．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为　　．
【分析】当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题．
【解答】解：∵A（5，0），B（0，3），
∴OA＝5，OB＝3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC＝OB＝3，OA＝BC＝5，∠OBC＝∠C＝90°，
∴AB＝＝＝，
∴BK＝AK＝AB＝，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD＝AO＝5，
如图，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，
当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，
最大面积＝×D′E′×KD′＝×3×（5+）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共9小题）
32．如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．
（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK＝BG；
（2）若KD＝KG，BC＝4﹣，求KD的长度．
【分析】（1）①先根据AAS判定△DOK≌△BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG＝AB+AK；
（2）先根据等量代换得出AF＝KG＝KD＝BG，再设AB＝a，根据AK＝FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长．
【解答】解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠KDO＝∠GBO，∠DKO＝∠BGO，
∵点O是BD的中点，
∴DO＝BO，
∴△DOK≌△BOG（AAS）．
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠BFA＝45°，
∴AB＝BF．
∵OK∥AF，AK∥FG，
∴四边形AFGK是平行四边形，
∴AK＝FG．
∵BG＝BF+FG，
∴BG＝AB+AK；
（2）由（1）得，四边形AFGK是平行四边形．
∴AK＝FG，AF＝KG，
又∵△DOK≌△BOG，且KD＝KG，
∴AF＝KG＝KD＝BG．
设AB＝a，则AF＝KG＝KD＝BG＝a，
∴AK＝4﹣﹣a，FG＝BG﹣BF＝a﹣a，
∴4﹣﹣a＝a﹣a，
解得a＝，
∴KD＝a＝2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质．
33．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM＝6所以DC＝16．
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP＝10﹣3t，DQ＝2t，所以可以列出方程10﹣3t＝2t，解得t＝2，此时，BP＝DQ＝4，CQ＝12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．
（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．
【解答】解：（1）过点A作AM⊥CD于M，
根据勾股定理，AD＝10cm，AM＝BC＝8cm，
∴DM＝＝6（cm），
∴CD＝16cm；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，
点P在AB上，点Q在DC上，如图，
由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t
∴10﹣3t＝2t，解得t＝2
此时，BP＝DQ＝4，CQ＝12
∴
∴四边形PBQD的周长＝2（BP+BQ）＝；
（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图
∴．
②当点P在线段BC上时，即时，如图
BP＝3t﹣10，CQ＝16﹣2t
∴
化简得：3t2﹣34t+100＝0，△＝﹣44＜0，所以方程无实数解．
③当点P在线段CD上时，
若点P在Q的右侧，即6＜t＜，
则有PQ＝34﹣5t
S△BPQ＝（34﹣5t）×8＝20，
＜6，舍去
若点P在Q的左侧，
即，
则有PQ＝5t﹣34，，
t＝7.8．
综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t2＝7.8．
【点评】本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．
34．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
【分析】（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．分两种情形讨论①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，分别求解即可；
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，由四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，推出PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，推出t＝4或16，可得24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．
∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，
①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，
∴20﹣t＝3t，
解得t＝5．
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，
∴3t﹣（20﹣t）＝8，
解得t＝7．
综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，
∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，
∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，
∴t＝4或16，
∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，
解得x＝5或，
∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
35．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）P、N两点重合，即AP+DN＝AD＝BC，联立方程解答即可；
（2）把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可．
【解答】解：（1）当点P与点N重合时，由x2+2x＝24，得
x1＝4、x2＝﹣6（舍去）
所以x＝4时点P与点N重合．
（2）因为当N点到达A点时，x2＝24，解得：
∴此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，
①如图1，当点P在点N的左侧时，由24﹣（x+3x）＝24﹣（2x+x2），解得x1＝0（舍去），x2＝2；
故当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；
②如图2，当点P在点N的右侧时，由24﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣24，解得x＝﹣3+或﹣3﹣（舍去）；
故当x＝﹣3+时四边形NQMP是平行四边形；
综上：当x＝2或﹣3+时四边形NQMP是平行四边形．
【点评】此题主要考查借助图形的性质找出数量关系，联立方程解决问题，并渗透分类讨论思想．
36．已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．
（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．
（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．
【分析】（1）因为原平行四边形的面积可以根据题中已知条件求出，而除未知三角形外，其余三个的高和底都是比较特殊，可利用面积的割补法公式求出所求面积．
（2）和（1）区别之处在于已知和未知调换了顺序，应该在（1）的基础上反过来，即需要找出AB、CD的长，以及它二者之间的距离，从而进行解答．
【解答】解：（1）∵AB＝10，AB与CD间距离为8，
∴S?ABCD＝80，
∵AE＝BE，BF＝CF．
∴S△AED＝S?ABCD，S△BEF＝S?ABCD，S△DCF＝S?ABCD，
∴S△DEF＝S?ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF＝S?ABCD＝30；
（2）设AB＝x，AB与CD间距离为y，由S△DCF＝4，知F到CD的距离为，
则F到AB的距离为y﹣，
∴S△BEF＝BE（y﹣）＝3，
∴BE＝，AE＝x﹣＝，
S△AED＝AE×y＝××y＝5，
得（xy）2﹣24
xy+80＝0，
xy＝20或4，
∵S?ABCD＝xy＞S△AED＝5，
∴xy＝4不合，
∴xy＝20，
S△DEF＝S?ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF＝20﹣5﹣3﹣4＝8．
【点评】此题考查内容比较多，比较全面，难易程度适中，综合性比较强．
37．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（Ⅰ）点B的坐标为　（4，6）　；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为　（1，6）　；
（Ⅱ）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．
【分析】（Ⅰ）利用非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（Ⅱ）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
（Ⅲ）分为点P在OC、BC、AB、AO上分类计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a、b满足
+|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6），
∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，
∴2×3.5＝7，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：7﹣6＝1，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（1，6）；
故答案为（4，6），（1，6）．
（Ⅱ）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：4÷2＝2秒，
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（6+4+2）÷2＝6秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或6秒．
（Ⅲ）如图1所示：
∵△OBP的面积＝10，
∴OP?BC＝10，即×4×OP＝10．
解得：OP＝5．
∴此时t＝2.5s
如图2所示；
∵△OBP的面积＝10，
∴PB?OC＝10，即
×6×PB＝10．
解得：BP＝．
∴CP＝．
∴此时t＝s，
如图3所示：
∵△OBP的面积＝10，
∴BP?BC＝10，即
×4×PB＝10．
解得：BP＝5．
∴此时t＝s
如图4所示：
∵△OBP的面积＝10，
∴OP?AB＝10，即
×6×OP＝10．
解得：OP＝．
∴此时t＝s
综上所述，满足条件的时间t的值为2.5s或s或s或s．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
38．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
【分析】（1）根据矩形的性质，点B的横坐标与点A的横坐标相等，纵坐标与点C的纵坐标相等解答，进而利用长方形的周长解答即可；
（2）求出被分成的两个部分的周长，再根据点D在边OA上或AB上确定出点D坐标即可；
【解答】解：（1）∵A（6，0），C（0，10），
∴OA＝6，OC＝10．
∵四边形OABC是长方形，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝10，
∴点B的坐标为（6，10）．
∵OC＝10，OA＝6，
∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．
（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，
∴被分成的两部分的长分别为12和20．
①当点D在AB上时，
AD＝20﹣10﹣6＝4，
所以点D的坐标为（6，4）．
②当点D在OA上时，
OD＝12﹣10＝2，
所以点D的坐标为（2，0）．
【点评】考查了点的坐标的确定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，难点在于（2）求出被分成的两个部分的周长并确定出点D的位置．
39．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，）．
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个点位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？
（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；
（2）S△PQC＝S?ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S?ABCD，根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；
（3）根据（2）中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO＝BC＝14，
∵点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，），
∴点C的坐标为（4，4），平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为（9，2）．
（2）根据题意得：S△PQC＝S?ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S?ABCD，
∴×14×＝×t×4+（14﹣t）×t+×14×（4﹣t）
化简得：t2﹣2t＝0，
解得：t＝4，
即当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
t＝0秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
综上所述，t＝4或t＝0时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
（3）①t＝4时，由（2）知，此时点Q与点B重合，画出图形如下所示，
根据平行四边形的性质，可知点M1的坐标为M1（18，0），M2（﹣10，0），M3（18，8）．
t＝0时，同法可得：M（18，4）或（﹣10，4）或（10，﹣4）．
【点评】本题考查平行四边形的性质及一元二次方程的应用，解题关键是第二问，根据S△PQC＝S?ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S?ABCD准确列出方程式，求出满足题意的t值，有一定的难度，同时要注意细心运算．