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专题02
一元二次方程（专题检测卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江西九年级期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、有2个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2020·山东青岛开发区育才中学初三月考）关于的方程必有一个根为（
）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2
【答案】A
【分析】分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解.
【解析】解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误；
C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误；
D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.
3．（2020·宁波市第七中学八年级期末）关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】B
【分析】根据判别式的值得到△=k2+4，利用非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：△=[-（k+2）2-4k=k2+4＞0，所以方程有两个不相等实数根．故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．（2020·温岭市实验学校九年级月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
△，解得．只有选项符合题意．故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．
5．（2020·全国初三单元测试）若a≠b，且则的值为（
）
A．
B．1
C．.4
D．3
【答案】B
【解析】解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程
的两个根
∴a+b=4，ab=1∴故答案为B.
【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解。
6．（2020·长沙麓山国际实验学校初三期末）x1，x2是关于x的一元二次方程x2
－mx
＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＝0成立？则正确的结论是(
)
A．m＝0
时成立
B．m＝2
时成立
C．m＝0
或2时成立
D．不存在
【答案】A
【解析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－bx＋b－2＝0的两个实数根∴Δ=（b-2）2+4>0
x1+x2=b，x1×x2=b-2
∴
使＋＝0，则
故满足条件的b
的值为0
故选A.
7．（2020·浙江八年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（
）
A．2011
B．2013
C．2018
D．2023
【答案】B
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：与为同族二次方程．
，
，
∴，解得：．
，
当时，取最小值为2013.故选：B.
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．
8．（2020·福建九年级）若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，∴m＜a＜n，同理：m＜b＜n，∵a＜b，∴m＜a＜b＜n．故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m）（a-n）＜0是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·全国初三课时练习）已知：方程是一元二次方程，则a的值为______．
【答案】9
【分析】由一元二次方程的定义即可求出答案；
【解析】由题意可知，，
，，，故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，结合绝对值的计算是解题的关键．
10．（2020·山东广饶）关于
x
的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0
有实数根，则整数
a
的最大值是_____________．
【答案】-2
【解析】根据题意得：a+1≠0且△=（-2）2-4×（a+1）×3≥0，解得a≤且a≠－1，所以整数a的最大值为－2．故答案为－2．
点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b2-4ac的值即可.
11．（2020·山东省初三期中）已知4是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为
。
【答案】10或11
【分析】把x＝4代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解析】把x＝4代入方程得16?4（m＋1）＋2m＝0，解得m＝6，
则原方程为x2?7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∵这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4＋4＋3＝11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3＋3＋4＝10；
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
12．（2020·浙江初三期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程和互为“友好方程”，则m的值为_______．
【答案】或1或
【分析】先利用因式分解法解方程，得到x1=5，x2=m-1．再分别将x=5，x=m-1代入x2+2x+m-1=0，求出m的值即可．
【解析】，整理得，
分解因式，得，
解得．
当时，，解得；
当时，，解得或．
所以m的值为或1或．故答案为：或1或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程的两个解是解题的关键．
13．（2021·浙江九年级）关于的方程两个实根满足，则的值为_______．
【答案】5或.
【分析】先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到，，结合，通过变形求值，即可求出m的值.
【详解】解：在方程中，有
，∴原方程有两个不相等实根；
根据根与系数的关系，有：，，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，解得：，；故答案为：5或.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，以及完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.
14．（2020·浙江丽水初二期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是
。
【答案】
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解．
【解析】解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，即一正一负或一正一零
，解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
15．（2020·南京师范大学附属中学树人学校九年级月考）已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为______．
【答案】0或1或
【分析】分和两种情况，再分别解一元一次方程和一元二次方程，然后根据解都是整数即可得．
【详解】由题意，分以下两种情况：
（1）当时，方程为，解得，满足解是整数；
（2）当时，方程为一元二次方程，
因式分解，得，解得，
方程的解都是整数，k也是整数，一定是整数，整数或；
综上，整数的值为0或1或，故答案为：0或1或．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
16、（2021成都市外国语实验学校初三直升考试）已知实数m，n满足，，则.
【答案】
【分析】根据题意：由得：；
由得：，又因为，即，因此可以把，作为一元二次方程的两根，由根与系数的关系得：.
【解析】∵，
∴，
∵
∴∴把，作为一元二次方程的两根
∴
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【点睛】本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了这个条件隐含的题意。
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（2020·成外初三期末模拟）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）：
（1）；（公式法）（2）；（配方法）
（3）
(－2)＋－2＝0．
【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：直接开平方法；
配方法；公式法；因式分解法。本题即应用因式分解法求解。
【解析】（1）解:
（2）移项，得．配方，得，
由此可得
∴，
（3）把方程左边因式分解，得．
从而，得，或；所以。
【考点】解一元二次方程。
18．（2021·武平县实验中学初三月考）观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
请写出第n个方程和它的根．
【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.
【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.
【解析】解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.(2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.
【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
19．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知关于的一元二次方程（1）时，试判断此方程根的情况．（2）若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值．
【答案】（1）当时，方程有两个相等的实数根；（2）
【分析】（1）将m=5代入方程，利用根的判别式解答；（2）先将方程化为一般式，利用方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，根据根与系数的关系得到，，解方程求出m即可得到答案．
【详解】（1）将m=5代入方程，得，
∵，∴方程有两个相等的实数根；
（2）∵，∴，
∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得m<5，
∵，是该方程不相等的两实数根，∴，，∴，
解得：m1=8（舍去），m2=-6．
【点睛】此题考查一元二次方程根的情况，根据根的情况求未知数的取值范围，根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解并应用一元二次方程根的判别式解决问题是解题的关键．
20．（2020·全国初三课时练习）解方程：．
【答案】．
【分析】分三种情况，x=0，去掉绝对值，求解方程即可
【解析】当时，，解得；
当时，，矛盾，舍去；
当时，，解得．
故方程的解有4个，分别为．
【点睛】本题容易出错的地方是要分情况而解，所以容易出现漏解．
21．（2021·吉林长春初三月考）阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得
，
解得，，．
问题解决：
（1）解方程：．
（2）解方程：．
（3）方程的解为
．
【答案】（1），，；（2），，，；（3），．
【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【解析】解：（1），∴，∴，，
解得：，，；
（2），∴，
∴，，
解得：，，，；
（3），整理得：，
开方得：，∴，，
解方程得：，；
方程中，此方程无解，
所以原方程的解为：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等考点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键．
22．（2020·浙江杭州市·八年级期末）设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．（1）若，求m值；（2）令，求T的取值范围．
【答案】（1）；（2）且
【分析】首先根据方程有两个不相等的实数根及是不小于的实数，确定的取值范围，根据根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形为，代入用含表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据的取值范围得到的值；（2）化简，用含的式子表示出，根据的取值范围，得到的取值范围．
【详解】解：方程由两个不相等的实数根，所以△，
所以，又是不小于的实数，．，；
（1），，即．
整理，得．解得；，所以．
（2）
．
当时，方程为，解得或．此时没有意义．
当时，，所以．即且．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的差的式子．
23．（2020·重庆八中初三月考）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
．（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；（3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）它的根分别是已知方程根的相反数，因此所求方程的根为y，则y=-x，将x=-y代入方程就可得到所求的方程.（2）设所求方程的根为y，可得到x=
，
将其代入方程，就可得到a+by+cy2=0，再分情况讨论：当c=0和x≠0，即可求解.（3）设所求方程的根为y，由已知可得到y=x2
，
由此可得到x=
，
分别将x的值代入方程，就可得到所求的方程.
【解析】（1）设所求方程的根为
，则
，所以．
把代入已知方程，得，
，化简，得
，
故所求方程为；
（2）设所求方程的根为，则，于是
，
把代入方程，得
，
去分母，得
，若，有，
于是方程有一个根为0，不符合题意，
，故所求方程为
；
（3）设所求方程的根为，则，所以
，
①当时，把代入已知方程，得，即；
②当时，把代入已知方程，得，即
∴所求方程为或.
【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题．
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专题02
一元二次方程（专题检测卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江西九年级期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东青岛开发区育才中学初三月考）关于的方程必有一个根为（
）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2
3．（2020·宁波市第七中学八年级期末）关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．（2020·温岭市实验学校九年级月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．（2020·全国初三单元测试）若a≠b，且则的值为（
）
A．
B．1
C．.4
D．3
6．（2020·长沙麓山国际实验学校初三期末）x1，x2是关于x的一元二次方程x2
－mx
＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＝0成立？则正确的结论是(
)
A．m＝0
时成立
B．m＝2
时成立
C．m＝0
或2时成立
D．不存在
7．（2020·浙江八年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（
）
A．2011
B．2013
C．2018
D．2023
8．（2020·福建九年级）若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·全国初三课时练习）已知：方程是一元二次方程，则a的值为______．
10．（2020·山东广饶）关于
x
的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0
有实数根，则整数
a
的最大值是_____________．
11．（2020·山东省初三期中）已知4是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为
。
12．（2020·浙江初三期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程和互为“友好方程”，则m的值为_______．
13．（2021·浙江九年级）关于的方程两个实根满足，则的值为_______．
14．（2020·浙江丽水初二期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是
。
15．（2020·南京师范大学附属中学九年级月考）已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为______．
16、（2021成都市外国语实验学校初三直升考试）已知实数m，n满足，，则.
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（2020·成外初三期末模拟）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）：
（1）；（公式法）（2）；（配方法）
（3）
(－2)＋－2＝0．
18．（2021·武平县实验中学初三月考）观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；请写出第n个方程和它的根．
19．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知关于的一元二次方程（1）时，试判断此方程根的情况．（2）若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值．
20．（2020·全国初三课时练习）解方程：．
21．（2021·吉林长春初三月考）阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得
，
解得，，．
问题解决：
（1）解方程：．
（2）解方程：．
（3）方程的解为
．
22．（2020·浙江杭州市·八年级期末）设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．（1）若，求m值；（2）令，求T的取值范围．
23．（2020·重庆八中初三月考）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
．（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；（3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
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专题02
一元二次方程
知识点精讲
知识点1
一元二次方程的概念
1）一元二次方程的概念：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为
(a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解
“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）下列方程中，属于x的一元二次方程是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）下面关于x的方程中①；②；③；④；⑤；⑥是一元二次方程的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2020·浙江金华市·七年级期中）方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（
）
A．
B．
C．2
D．4
4．（2020·台州市路桥实验中学九年级月考）如果关于的方程是一元二次方程，那么的值为：（
）
A．
B．
C．
D．都不是
知识点2
一元二次方程的一般形式
1）一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是
(a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
1．（2020·浙江初三月考）把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数．＝
一般式：________．二次项为________，二次项系数为________，一次项为________，一次项系数为________，常数项为________．
2．（2020·浙江鄞州初二期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）把一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为4，则一次项的系数是（
）
A．
B．
C．4
D．6
4．（2020·宁波市海曙区储能学校八年级期末）将一元二次方程
化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为(
)．
A．5，-1
B．5，4
C．5，-4
D．
知识点3
一元二次方程的根
1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2）一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3）常考点:为利用根的概念求代数式的值；4）一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
1．（2020·浙江台州市·九年级期末）关于的一元二次方程的一个根为1，则______．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．5
3．（2020·浙江杭州市·八年级期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为________．
4．（2020·浙江江干初二期末）若则关于x的方程的解是___________.
5．（2020·浙江嘉兴初二期中）已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同根，则这个共同根是_____．
知识点4一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.
1）配方法
1）直接开平方法解一元二次方程：将方程化成
则x＝.
2）配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0
(a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）解方程：
解：两边同时加_________，得________________
则方程可化为（_______）2=________
两边直接开平方得_____________
即_________或_____________
所以__________，___________．
2．（2020·浙江杭州市·八年级期末）下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是
（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
3．（2020·浙江杭州市·八年级期中）把方程化为的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h，k为常数，那么本题中的值是_________．
4．（2020·全国初三课时练习）用配方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
5．（2020·江苏仪征初一期末）阅读理解：已知，求m
、n的值．
解：∵
∴
∴
∴
∴．
方法应用：（1）已知，求a
、b
的值；
（2）已知
．①用含
y
的式子表示
x
：
；②若，求
的值．
2）公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是:
(=b2－4ac≥0)
推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
②
当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
③
当时，右端是负数．因此，方程没有实根。
公式法解方程的步骤：
公式法步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式；
②确定a、b、c的值；
③求出b2－4ac的值；
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1
,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
应用求根公式解一元二次方程时应注意：
首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：
例如：（同除于10）这样更加方便计算。
（同乘于，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）
1．（2020·全国初三课时练习）x=是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1=0
B．3x2﹣5x+1=0
C．3x2﹣5x﹣1=0
D．3x2+5x﹣1=0
2．（2020·全国初三课时练习）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第
步开始出错的，其错误原因是
．（2）写出此题正确的解答过程．
3．（2020·山东莱州初二期末）解方程：(1).
(2)x2﹣5x﹣7＝0．
3）
因式分解法
1）因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
2）即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
1、提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
2、乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。
①平方差公式：；②完全平方公式：
3、十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项；
②十字右边上下两数相乘等于常数项；
③十字交叉相乘积的和等于一次项。
例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0
∴
1．（2020·全国初三课时练习）下面一元二次方程的解法中，正确的是（??
?）.
A．
，∴
x-3=10,x-5=2，∴
;
B．
，∴
，∴
；
C．
，∴
；
D．两边同除以x，得x＝1.
2．（2020·全国初三课时练习）设m是方程的一个较大的根，n是方程的一个较小的根，则的值是（
）
A．
B．
C．1
D．2
3．（2020·山东莱州初二期末）用因式分解法解方程，将左边分解后有一个因式是，则m的值为__________．
4．（2020·长沙麓山国际实验学校初三期末）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
知识点
5一元二次方程根的判别式
1）一元二次方程ax2＋bx+c=0
(a≠0)根的判别式:
（1）当时,方程有两个不相等的实数根；
（2）当时,方程有两个相等的实数根；
（3）时,方程没有实数根。
以上三点反之亦成立。
注：在判断一元二次方程a的根的时候，存在隐含条件：a≠0
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
1．一元二次方程ax2＋bx+c=0
(a≠0)根的判别式:
2．一元二次方程有实数根
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
1．（2020·浙江上虞初二期末）下列四个备选项所列的方程中，其中有两个不相等实数根的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·八年级月考）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．且
D．
4．（2020·安岳县李家镇初级中学初三月考）关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是(
)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
5．（2020·山东莱州初二期末）已知是关于的一元二次方程的两实数根．等腰三角形的一边长为7，若恰好是另外两边的长，求的周长．
6．（2020·广东省中山市中山纪念中学初三期中）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？
知识点6
韦达定理(根与系数的关系)
1）对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
2）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0
(a≠0)的两根，则，
3）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0
(a≠0)的两根
则：时，有;
时，有
时，有
1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）若关于x的方程有一个根为，则另一个根是（
）
A．6
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则m的值是_______．
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）设，且，则代数式的值为______．
4．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
5．（2020·长沙市南雅中学初二期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
．（1）若m为正整数，求m的值；（2）在（1）的条件下，求代数式的值．
6．（2020·江苏崇川南通第一初中初二期中）设，是方程的两实数根，则的值是___________．
7．（2020·全国初三课时练习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
8．（2020·浙江丽水初二期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
重难点题型
考点1
利用一元二次方程的相关概念确定字母的取值范围
满分技巧：一元二次方程的一般式为：，在解决一元二次方程定义的问题中，有几点需要注意：①在判定前，务必将一元二次方程化简为一般式；
②二次项系数a≠0，二次项的次数为2；③一次项系数b和常数项c无特殊要求。
1．（2020·全国初三单元测试）关于x的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是(
)
A．－1
B．1
C．3
D．3或－1
2．（2020·酒泉市第二中学初三期中）如果是一元二次方程，则m的取值范围是________．
3．（2020·全国初三课时练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_________．
4．（2020·浙江杭州市·八年级期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点2.
利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式
满分技巧：紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
1．（2020·宁夏永宁初三月考）已知x=1是一元二次方程x?＋ax－b=0的一个根，则代数式a?＋b?－2ab的值是____________．
2．（2020·全国初三课时练习）已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为（
）
A．9
B．
C．0
D．3
4．（2020·浙江诸暨初二月考）已知关于的方程的系数满足，我们把这样的方程称为“西施”方程．已知“西施”方程的一个根是另一个根的3倍，则这个方程的两个根是_____．
考点3
解一元二次方程（一）
满分技巧：解一元二次方程的主要方法有：①配方法；②公式法；③因式分解法。建议：
①若能使用因式分解法，优先使用因式分解法，计算量较小；
②若无法使用因式分解法，或不熟练因式分解法，建议使用公式法，不用配方法。
小技巧：若为整数，则可以使用十字相乘法。
1．（2020·河南淮阳初三期末）
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：.
2．（2020·全国初三课时练习）用指定的方法解下列方程：
（1）；（直接开平方法）
（2）；（配方法）
（3）；（公式法）
（4）．（因式分解法）
3．（2020·山西朔州初三期中）解方程：
（1）；
（2）.
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
（3）．
（4）．
考点4
配方法的应用（求参数、最值、比大小等）
1、用配方法求参数值和解多元方程
满分技巧：1）配方法依托完全平方公式（完全平方和公式和完全平方差公式）来完成。关于x的一元二次方程：，若可刚好配成完全平方的形式，则k=±2ab
注：因完全平方公式有完全平方和公式和完全平方差公式2个，因此此处的k有2解。
2）解多元二次方程的步骤为：①分组：将不同未知数各自分组；②配方：对分组部分进行配方；③求解方程：此类考点通常可配方为：的形式，∴x=－m，y=－n
注：在分组的过程中，常数项可能需要分解成两部分再各自分配到不同组别中，其中分解的原则为：便于配方。
1．（2020·全国初三课时练习）若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（
）
A．
B．或
C．或
D．或
2．（2020·江苏初一期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：是的一种形式的配方；所以，，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）.
请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值.
3．（2021·浙江绍兴初二期中）已知，则的值等于______．
4．（2021·湖北蔡甸初二期末）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________．
2、用配方法求最值
满分技巧：关于x的一元二次方程a，配方得：
（1）当a＞0时，∵，∴。
又∵为常数，始终不变，∴；当x=时，可取等号
（2）当a＜0时，∵，∴。
又∵为常数，始终不变，∴；当x=时，可取等号
综上得：①当a＞0时，方程有最小值，当x=时有最小值，最小值为：；
②当a＜0时，方程有最大值，当x=时有最大值，最大值为：
1．（2020·全国初三课时练习）不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值( )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
D．可能为负数
2．（2020·全国初二课时练习）不论为任何实数，的值都是（
）
A．非负数
B．正数
C．负数
D．非正数
3．（2021·重庆西南大学附中初二期中）代数式的最小值是（
）
A．10
B．9
C．19
D．11
4．（2020·广西八步初一期末）阅读下面的解答过程，求的最小值．
解：
∵即的最小值为0∴的最小值为4．
仿照上面的解答过程，（1）求的最小值（2）求的最大值
3、用配方法比较大小
满分技巧：比较M与N的大小：①作差法得到M－N的多项式；②多项式配方得：的形式；③利用平方的值非负的性质判断多项式的正负，从而比较M与N的大小
1．（2019·湖南临湘初一期中）若M＝a2﹣a，N＝a﹣3，则M、N的大小关系为_____．
2．（2020·四川蓬溪初二期中）已知，，则的值
（
）
A．为正数
B．为负数
C．为非正数
D．不能确定
3．（2019·山东潍坊初三期中）若代数式，，则M与N的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·重庆渝中初二期末）设P＝（a+2b）2，Q＝8ab，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P≤Q
考点5
解可化为一元二次方程的方程
满分技巧：解此类方程的要点，是基于观察或适当的代数变形，通过换元法（整体代入法），将方程转化为一元二次方程处理。
注：求解过程中，若采用了“去分母”等化为整式的手法，则可能产生增根。因此，所求出的解应该要验根。
1．（2020·全国初三课时练习）定义为不大于实数x的最大整数，如，．函数的图象如图所示，则方程的解为（
）
A．0或
B．0
C．
D．0或
2．（2020·上海杨浦初二期末）方程的解为__________．
3．（2021·江苏镇江初三月考）若实数满足方程，那么的值为（
）
A．-2或4
B．4
C．-2
D．2或-4
4．（2020·全国初三课时练习）已知实数x满足，求的值．
5．（2020·全国初三课时练习）解方程：．
考点6.
利用△判定一元二次方程根的情况
满分技巧：一元二次方程的判别式△与方程的根有密切关系：①△＞0方程有两个不等的实根；②△=0方程有两个相等的实根，即方程仅有一个实根；③△＜0方程无实数根
注：在判断一元二次方程a的根的时候，存在隐含条件：a≠0
1．（2020·江苏如皋初二期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣6x+9＝0
B．2x2﹣3x+5＝0
C．x2+3x+5＝0
D．2x2+9x+5＝0
2．（2020·江苏丹徒初三期中）关于x的一元二次方程x2﹣3mx﹣1=0（其中m为常数）的根的情况（
）
A．有两个不相等的实数根
B．可能有实数根，也可能没有
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
3.
（2020·江苏省南京市初二期末）下列四个结论中，正确的是
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根
4.
（2020·江苏初二期末）关于的方程的根的情况描述正确的是.
A．为任何实数，方程都没有实数根
B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
考点7.
利用根的情况求参数的取值范围
满分技巧：一元二次方程的判别式△与方程的根有密切关系：①△＞0方程有两个不等的实根；②△=0方程有两个相等的实根，即方程仅有一个实根；③△＜0方程无实数根
注：在判断一元二次方程a的根的时候，存在隐含条件：a≠0
1．（2020·浙江慈溪初二期末）如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（
）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0
2．（2020·酒泉市第二中学初三期中）已知关于x
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
）
A．m＞－1
B．m＜－2
C．m
≥0
D．m＜0
3．（2020·安定区中华路中学初三三模）若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A．k<5
B．k<5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k>5
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
考点8.利用韦达定理求对称式的值
满分技巧：尽量将所求的式子转化成项、项和常数项组成的式子，然后用韦达定理代入求值即可。常见的对称式有：
，
，
，
，，
1．（2020·广西八步初二期末）设是方程的两个根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·安徽肥东初二期末）已知a、b是方程x2-2x-1=0的两根，则a2+a+3b的值是（
）
A．7
B．5
C．-5
D．-7
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知、满足，，求的值．
4．（2020·江西金溪一中初三一模）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则代数式2x1x2+3x1﹣x12的值为_____．
考点9.利用韦达定理求字母系数的值
满分技巧：方程中虽然有字母，但我们将字母视为常数进行分析：
①先用韦达定理求解出用字母表示的与的值；②此刻，题干还会告知一个条件，利用对称式的一些变形，将与用字母表示的值代入这个条件，得到关于字母的方程；③解方程得到字母的值。
最后将所求的字母的值带入原方程检验是否为非负数，否则舍去。
注：因为、是方程的根，我们还可以将、代入方程得到2个等式，帮组解题。
1．（2020·长沙市南雅中学初二期末）关于
x
的一元二次方程
x
(a
3a)x
a
0
的两个实数根互为倒数，则
a
的值为(
)
A．-3
B．0
C．1
D．-3
或
0
2．（2020·全国初三课时练习）关于x的方程的两个根是，且，则______．
3．（2020·广西福绵初二期末）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．
4．（2020·浙江杭州市·八年级期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有实数根，求的取值范围；（2）若是方程的两个实数根，且，求的值；（3）已知等腰的一边长为10，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
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专题02
一元二次方程
知识点精讲
知识点1
一元二次方程的概念
1）一元二次方程的概念：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为
(a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解
“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）下列方程中，属于x的一元二次方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；B、是无理方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意．D、是一元二次方程，符合题意；故选D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）下面关于x的方程中①；②；③；④；⑤；⑥是一元二次方程的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①当时，是一元一次方程，故错误；
②是一元二次方程，故正确；③是分式方程，故错误；
④是一元三次方程，故错误；⑤可化为是一元一次方程，故错误；⑥是一元一次方程，故错误．故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
3．（2020·浙江金华市·七年级期中）方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（
）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．
【详解】∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，∴m=-2，故选：B．
【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
4．（2020·台州市路桥实验中学九年级月考）如果关于的方程是一元二次方程，那么的值为：（
）
A．
B．
C．
D．都不是
【答案】C
【分析】据一元二次方程的定义得到m-3≠0且m2-7=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：根据题意得m-3≠0且m2-7=2，解得m=-3．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
知识点2
一元二次方程的一般形式
1）一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是
(a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
1．（2020·浙江初三月考）把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数．＝
一般式：________．二次项为________，二次项系数为________，一次项为________，一次项系数为________，常数项为________．
【答案】，，1，，，．
【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念解答即可．
【解析】，去括号得：，
移项、合并同类项得：，则此方程的一般式为，
二次项为，二次项系数为1，一次项为，一次项系数为，常数项为，
故答案为：，，1，，，．
【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握理解一元二次方程的相关概念是解题关键．
2．（2020·浙江鄞州初二期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式．
【解析】由原方程，得x2+6x+9=3x2-x，即2x2-7x-9=0，故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的考点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）把一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为4，则一次项的系数是（
）
A．
B．
C．4
D．6
【答案】A
【分析】通过移项，把已知方程转化为一般形式，然后根据一次项系数的定义作出选择．
【详解】解：由（2x-1）2=x-5以及二次项的系数为4，得到：4x2-5x+6=0．
所以一次项的系数是-5．故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．（2020·宁波市海曙区储能学校八年级期末）将一元二次方程
化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为(
)．
A．5，-1
B．5，4
C．5，-4
D．
【答案】C
【分析】先化成一般式，再根据二次项系数与一次项系数的定义即可求解．
【详解】解：化成一元二次方程的一般式得：，
故二次项系数为：5，一次项系数为：-4，故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
知识点3
一元二次方程的根
1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2）一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3）常考点:为利用根的概念求代数式的值；
4）一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
1．（2020·浙江台州市·九年级期末）关于的一元二次方程的一个根为1，则______．
【答案】3
【分析】将一元二次方程的一个根代入方程中，解题即可．
【详解】将代入方程得，故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程的根，涉及解一元一次方程，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．5
【答案】A
【分析】把x=m代入即可求解．
【详解】解：把x=m代入，得，∴，故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·八年级期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为________．
【答案】x=2019
【分析】对于一元二次方程，设t=x+1得到at2+bt=1，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0必有一根为x=2019．
【详解】解：对于一元二次方程，设t=x+1，所以at2+bt=1，即at2+bt-1=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at2+bt-1=0有一个根为t=2020，则x+1=2020，解得x=2019，
所以必有一根为x=2019．故答案为：x=2019．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（2020·浙江江干初二期末）若则关于x的方程的解是___________.
【答案】或
【分析】由，即可得到方程的解．
【解析】解：
令时，有；令时，有；∴，
则关于x的方程的解是：或；故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解进行解题．
5．（2020·浙江嘉兴初二期中）已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同根，则这个共同根是_____．
【答案】x=1
【分析】由题意设公共解，再用②-①得（m+6）（t-1）=0得出t=1.
【解析】由题意设同一共同根为t，则
②-①得（m+6）（t-1）=0
∴当唯一公共根t=1时，两方程有公共根.
【点睛】本题考查的考点是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的意义.
知识点4一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.
1）配方法
1）直接开平方法解一元二次方程：将方程化成
则x＝.
2）配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0
(a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）解方程：
解：两边同时加_________，得________________
则方程可化为（_______）2=________
两边直接开平方得_____________
即_________或_____________
所以__________，___________．
【答案】9
9
9
x+3
1
x+3=±1
x+3=1
x+3=-1
-2
-4
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：两边同时加9，得99，则方程可化为1，
两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以-2，-4．
故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．
【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
2．（2020·浙江杭州市·八年级期末）下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是
（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
【详解】解：解方程，去分母得：x-2x-4=0，即x-2x=4，
配方得：x-2x+1=5，即，开方得：x-1=±，解得：x=1±，
则四个步骤中出现错误的是④．故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·八年级期中）把方程化为的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h，k为常数，那么本题中的值是_________．
【答案】3
【分析】首先把常数项移到等号右边，经配方，h和k即可求得，进而通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意，移项得，配方得：，即，
∴，∴故答案是：3．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解．
4．（2020·全国初三课时练习）用配方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）原方程无实数根；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解；（2）移项后，方程两边都加上一半的平方，再进行配方即可求解；（3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（5）先将方程整理后，再进行配方即可求解；（6）先将方程整理后，再进行配方即可求解．
【解析】（1）
配方，得，
．
（2）
移项，得．
配方，得．
，原方程无实数根．
（3）
移项，得．
配方，得，
．
（4）
移项，得．配方，得，
．
（5）
原方程化为一般形式为．
移项，得．
配方，得，
．
（6）原方程化为一般形式为．
二次项系数化为1得．
配方，得，．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方．
5．（2020·江苏仪征初一期末）阅读理解：已知，求m
、n的值．
解：∵
∴
∴
∴
∴．
方法应用：（1）已知，求a
、b
的值；
（2）已知
．①用含
y
的式子表示
x
：
；②若，求
的值．
【答案】（1）a=5，b=2；（2）①x=4-4y；②2．
【分析】（1）根据题意，由完全平方公式进行配方，结合非负数的性质进行计算，即可得到答案；
（2）①通过移项即可得到答案；②把x换成4-4y，配方，利用非负数的性质求解即可．
【解析】解：（1）∵a2+b2-10a+4b+29=0，∴（a2-10a+25）+（b2+4b+4）=0，
∴（a-5）2+（b+2）2=0，∴（a-5）2=0，（b+2）2=0，∴a=5，b=-2；
（2）①∵x+4y=4，∴x=4-4y；故答案为：x=4-4y；
②∵xy-z2-6z=10，∴y（4-4y）-z2-6z=10，∴4y-4y2-z2-6z=10，
∴4y2-4y+z2+6z+10=0，∴（2y-1）2+（z+3）2=0，∴y＝，z=-3，∴x=2，
∴yx+z的值=()2?3=2．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
2）公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是:
(=b2－4ac≥0)
推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
②
当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
③
当时，右端是负数．因此，方程没有实根。
公式法解方程的步骤：
公式法步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式；
②确定a、b、c的值；
③求出b2－4ac的值；
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1
,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
应用求根公式解一元二次方程时应注意：
首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：
例如：（同除于10）这样更加方便计算。
（同乘于，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）
1．（2020·全国初三课时练习）x=是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1=0
B．3x2﹣5x+1=0
C．3x2﹣5x﹣1=0
D．3x2+5x﹣1=0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.
【解析】一元二次方程的求根公式是，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D.
【点睛】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.
2．（2020·全国初三课时练习）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第
步开始出错的，其错误原因是
．（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解析】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
3．（2020·山东莱州初二期末）解方程：(1).
(2)x2﹣5x﹣7＝0．
【答案】(1)．
(2)
x1＝，x2＝．
【分析】首先对原方程进行整理，然后利用公式法求解即可．
【解析】(1)解：原方程经整理，得
这里，，
∵，
∴，
即．
(2)解：x2?5x?7＝0，b2?4ac＝（?5）2?4×1×（?7）＝53，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，运用公式法时要注意先化为一般式．
3）
因式分解法
1）因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
2）即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
1、提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
2、乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。
①平方差公式：；②完全平方公式：
3、十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项；
②十字右边上下两数相乘等于常数项；
③十字交叉相乘积的和等于一次项。
例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0
∴
1．（2020·全国初三课时练习）下面一元二次方程的解法中，正确的是（??
?）.
A．
，∴
x-3=10,x-5=2，∴
;
B．
，∴
，∴
；
C．
，∴
；
D．两边同除以x，得x＝1.
【答案】B
【解析】A
的方程解法是错误的，应该为：(x－3)(x－5)=10×2，化简可得－8x－5＝0，然后利用求根公式进行解答；
C的方程的解法也是错误的，应该为：整理为+4=0，即：＝－4，由于任何数的平方都是非负数，故方程无解；
D的解法也是错误的，应改为：－x＝0，解得：x＝0或x＝1.故选：B.
2．（2020·全国初三课时练习）设m是方程的一个较大的根，n是方程的一个较小的根，则的值是（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】先解一元二次方程求出m，n即可得出答案．
【解析】解方程
得或，则，
解方程，得或，则，，故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．
3．（2020·山东莱州初二期末）用因式分解法解方程，将左边分解后有一个因式是，则m的值为__________．
【答案】
【分析】根据题意得到x2-mx-6=（x-3）（x-a），即可求出m的值．
【解析】解：根据题意得：x2-mx-6=（x-3）（x-a）=x2-（a+3）x+3a=0，
∴-m=-a-3，3a=-6，解得：a=-2，则m=1．故答案为：1．
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题关键．
4．（2020·长沙麓山国际实验学校初三期末）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
【答案】（1）x1＝－3，x2＝1；（2）x1＝－1，x2＝2
【分析】（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解析】（1）解一：（x+3）（x﹣1）=0
解得：x1=﹣3，x2=1
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0
（x+1）（x﹣2）=0
x1=﹣1，x2=2
点睛:
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及熟记求根公式．
知识点
5一元二次方程根的判别式
1）一元二次方程ax2＋bx+c=0
(a≠0)根的判别式:
（1）当时,方程有两个不相等的实数根；
（2）当时,方程有两个相等的实数根；
（3）时,方程没有实数根。
以上三点反之亦成立。
注：在判断一元二次方程a的根的时候，存在隐含条件：a≠0
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
1．一元二次方程ax2＋bx+c=0
(a≠0)根的判别式:
2．一元二次方程有实数根
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
1．（2020·浙江上虞初二期末）下列四个备选项所列的方程中，其中有两个不相等实数根的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况即可得答案．
【解析】A．△=0-4×2×8=-32＜0，方程没有实数根，故该选项不符合题意，
B．△=(-6)2-4×1×9=0，方程有两个相等的实数根，故该选项不符合题意，
C．△=(-4)2-4×1×(-4)=32＞0，方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意，
D．△=82-4×2×9=-8＜0，方程没有实数根，故该选项不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．熟练掌握判别式与根的关系是解题关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级月考）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据根的判别式判断即可．
【详解】解：∵，∴△==4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2-bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
3．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．且
D．
【答案】A
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【详解】解：当k=0时，x-1=0，解得：x=1；当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k-1）=0有实根，∴△=（2k+1）2-4k×（k-1）≥0，
解得且k≠0，综上：k的取值范围是，故选A．
【点睛】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
4．（2020·安岳县李家镇初级中学初三月考）关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是(
)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】A
【分析】利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．
【解析】①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；
②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确；③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
5．（2020·山东莱州初二期末）已知是关于的一元二次方程的两实数根．等腰三角形的一边长为7，若恰好是另外两边的长，求的周长．
【答案】的周长为17．
【分析】分类讨论：若x1=7时，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，由根与系数的关系得x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，根据三角形三边的关系，m=10舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，根据三角形三边的关系，m=2舍去．
【解析】①当7为底边长时，方程有两个相等的实数根，
∴，解得，∴方程为，解得，
∵，∴不能构成三角形；
②当7为腰长时，设，代入方程得，解得，，
当时，方程为，解得，，
∵，∴不能构成三角形；当时，方程为，解得，，
此时能构成三角形，的周长为．综上，的周长为17．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式，等腰三角形的性质以及三角形三边的关系，难度适中．
6．（2020·广东省中山市中山纪念中学初三期中）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝或2．
【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．
【解析】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实根；
（2）∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝或2．
【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.
知识点6
韦达定理(根与系数的关系)
1）对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
2）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0
(a≠0)的两根，则，
3）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0
(a≠0)的两根
则：时，有;
时，有
时，有
1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）若关于x的方程有一个根为，则另一个根是（
）
A．6
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为x2，根据题意得-2+x2=-5，解得：x2=-3，故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1?x2=．也考查了一元二次方程的解．
2．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则m的值是_______．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2m+3，得出方程m2=2m+3，求出m的值，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：根据根与系数的关系得：x1+x2=2m+3，
∵x1+x2＝m2，∴m2=2m+3，解得：m=3或-1，
当m=3时，方程为x2-9x+9=0，此时方程有解；
当m=-1时，方程为x2-x+1=0，此时△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，此时方程无解；故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）设，且，则代数式的值为______．
【答案】7
【分析】由a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，可以设a、b为方程设x2﹣3x+1＝0的两个根，则a+b＝3，ab＝1，由此整理整体代入即可．
【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，∴设a、b为方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴a+b＝3，ab＝1，∴＝＝＝＝7．故答案为：7．
【点睛】此题考查根与系数的关系，正确理解题意，把a、b看作方程x2﹣3x+1＝0的两个根是解决问题的关键．
4．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．
【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，∴．故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．
5．（2020·长沙市南雅中学初二期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
．（1）若m为正整数，求m的值；（2）在（1）的条件下，求代数式的值．
【答案】（1）m=1；（2）．
【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m
取值范围；
（2）首先利用根与系数的关系得出x1+x2=
-1，x1·x2=，再把要求的式子变形，代入求解即可．
【解析】（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即，解得m<2，∵m为正整数，∴m=1；
（2）由m=1，得，∵是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=
-1，x1·x2=，∴=．
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
6．（2020·江苏崇川南通第一初中初二期中）设，是方程的两实数根，则的值是___________．
【答案】2020
【分析】根据，是的两个实数根可得：，，根据韦达定理可得：，由于，因此．
【解析】∵，是的两个实数根，代入可得：
∴根据韦达定理可得：
又∵
∴故答案为：2020
【点睛】本题主要考查了等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，将高次项降次是本题的入手之处，根据原方程求出是解题的关键．
7．（2020·全国初三课时练习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系可得，，结合已知等式即可求出，从而求出，即可求出m的值．
【解析】解：根据题意得，，
因为，所以所以，∴，
所以，所以
【点睛】此题考查的是根与系数的关系的应用,掌握根与系数的关系是解决此题的关键．
8．（2020·浙江丽水初二期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解．
【解析】解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，即一正一负或一正一零
，解得．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等考点，解此题的关键是得到．
重难点题型
考点1
利用一元二次方程的相关概念确定字母的取值范围
满分技巧：一元二次方程的一般式为：，在解决一元二次方程定义的问题中，有几点需要注意：①在判定前，务必将一元二次方程化简为一般式；
②二次项系数a≠0，二次项的次数为2；③一次项系数b和常数项c无特殊要求。
1．（2020·全国初三单元测试）关于x的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是(
)
A．－1
B．1
C．3
D．3或－1
【答案】B
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解析】解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0，解得m=-1或m=3．
m=3不符合题意，舍去，所以它的一次项系数-m=1．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的考点．
2．（2020·酒泉市第二中学初三期中）如果是一元二次方程，则m的取值范围是________．
【答案】m≠-3
【分析】根据一元二次方程的定义得到m+3≠0，由此即可求m的取值范围．
【解析】解：依题意，得m+3≠0，解得，m≠-3．故答案是：m≠-3．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的考点．
3．（2020·全国初三课时练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_________．
【答案】且
【分析】利用一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件判断即可确定出m的范围．
【解析】由题意，得，且，所以且，故答案是：且．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．（2020·浙江杭州市·八年级期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义，列出不等式m+1≠0，求出m的取值范围即可．
【详解】∵方程（m+1）x2-3=0是关于x的一元二次方程，∴m+1≠0，解得：m≠-1．故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程的标准形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0)．
考点2.
利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式
满分技巧：紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
1．（2020·宁夏永宁初三月考）已知x=1是一元二次方程x?＋ax－b=0的一个根，则代数式a?＋b?－2ab的值是____________．
【答案】1
【分析】把代入得到，易求，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解析】是一元二次方程的一个根，∴，即，
∴．故答案是：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的等式即可求得代数式的值．
2．（2020·全国初三课时练习）已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
【答案】4
【解析】解：∵m是方程的根，
∴，即。
∴。
根据方程的解得出，变形后代入求出即可。
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为（
）
A．9
B．
C．0
D．3
【答案】B
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2，可以求得2a-b的值，从而可以求得6a-3b+6的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2，∴a×（-2）2+b×（-2）+6=0，
化简，得2a-b+3=0，∴2a-b=-3，∴6a-3b+6=3（2a-b）+6=-9+6=-3，故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，灵活变化，建立所求式子与已知方程之间的关系．
4．（2020·浙江诸暨初二月考）已知关于的方程的系数满足，我们把这样的方程称为“西施”方程．已知“西施”方程的一个根是另一个根的3倍，则这个方程的两个根是_____．
【答案】﹣1、﹣3或﹣1、﹣．
【分析】根据题意得到原方程的一个根是x＝﹣1，由“西施”方程ax2+bx+c＝0的一个根是另一个根的3倍得到该方程的另一个根．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．
又∵“西施”方程ax2+bx+c＝0的一个根是另一个根的3倍，∴这个方程的另一根为﹣3或﹣．
综上所述，该方程的两个根是﹣1、﹣3或﹣1、﹣．故答案为：﹣1、﹣3或﹣1、﹣．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意，该题中根据限制性条件“西施”方程ax2+bx+c＝0的一个根是另一个根的3倍”可以得到该方程的另一根有2个值．
考点3
解一元二次方程（一）
满分技巧：解一元二次方程的主要方法有：①配方法；②公式法；③因式分解法。建议：
①若能使用因式分解法，优先使用因式分解法，计算量较小；
②若无法使用因式分解法，或不熟练因式分解法，建议使用公式法，不用配方法。
小技巧：若为整数，则可以使用十字相乘法。
1．（2020·河南淮阳初三期末）
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：.
【答案】（1）；；（2）；
【分析】（1）先把左边的4移项到右边成-4，再配方，两边同时加32，左边得到完全平方，再得出两个一元一次方程进行解答；（2）先化成一元二次方程的一般式，得出a、b、c，计算b2-4ac判定根的情况，最后运用求根公式即可求解．
【解析】解：（1）x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
（x+3）2=5
；
（2）5x2-3x=x+1，
5x2-4x-1=0，
b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）=36，
，
【点睛】本题主要考查了运用配方法、公式法解一元二次方程，运用公式法解方程时，要先把方程化为一般式，找到a、b、c的值，然后用b2-4ac判定根的情况，最后运用公式即可求解．
2．（2020·全国初三课时练习）用指定的方法解下列方程：
（1）；（直接开平方法）
（2）；（配方法）
（3）；（公式法）
（4）．（因式分解法）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）直接开平方转化为一元一次方程求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用求根公式进行求解即可；（4）先变号，再提公因式进行计算即可．
【解析】解：（1），开平方，得，解得；
（2），移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，即，开平方，得，解得；
（3），，
，即；
（4），，分解因式，得，
∴或，解得．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握每种方法的解题步骤是解题的关键．
3．（2020·山西朔州初三期中）解方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
，;（2），
【分析】(1)根据求根公式即可代入求出答案.(2)移项后提取公因式，根据因式分解求值即可得出答案.
【解析】
(1)这里，，，
∵，∴.
∴原方程的解为，.
(2)原方程可变形为.因式分解，得.
∴或.∴，.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的求解，解题关键在于公式法和因式分解的熟练应用.
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=-2，x2=1；（3）x1=，x2=；（4）x1=3或x2=-3
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；（2）移项，再根据因式分解法即可求出答案；（3）整理后根据公式法即可求出答案；（4）令x-2=t，得到关于t的一元二次方程，再利用因式分解法求解．
【详解】解：（1）∵2x2+6x+3=0，∴a=2，b=6，c=3，
∴△=36-4×2×3=12，∴x=，∴x1=，x2=；
（2）∵（x+2）2=3（x+2），∴（x+2）2-3（x+2）=0，∴（x+2）（x+2-3）=0，∴x1=-2，x2=1；
（3）整理得：x2-6x-5=0，b2-4ac=（-6）2-4×1×（-5）=56，x=，∴x1=，x2=；
（4）令x-2=t，则，∴，∴t-1=0，t+5=0，∴t=1或-5，
∴x-2=1或x-2=-5，∴x1=3或x2=-3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
考点4
配方法的应用（求参数、最值、比大小等）
1、用配方法求参数值和解多元方程
满分技巧：1）配方法依托完全平方公式（完全平方和公式和完全平方差公式）来完成。关于x的一元二次方程：，若可刚好配成完全平方的形式，则k=±2ab
注：因完全平方公式有完全平方和公式和完全平方差公式2个，因此此处的k有2解。
2）解多元二次方程的步骤为：①分组：将不同未知数各自分组；②配方：对分组部分进行配方；③求解方程：此类考点通常可配方为：的形式，∴x=－m，y=－n
注：在分组的过程中，常数项可能需要分解成两部分再各自分配到不同组别中，其中分解的原则为：便于配方。
1．（2020·全国初三课时练习）若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（
）
A．
B．或
C．或
D．或
【答案】B
【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2的结构，而4x2=（2x）2，即可求解．
【解析】?(m?2)=±2×2×1，∴m?2=±4，即m?2=4或m?2=?4，
得m=?2或m=6.故选B.
【点睛】考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
2．（2020·江苏初一期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：是的一种形式的配方；所以，，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）.
请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值.
【答案】（1）；；；（2）19；（3）4
【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项“分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
（2）将x2+y2-6x+10y+34配方，根据平方的非负性可得x和y的值，可解答；
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．
【解析】解：（1）的三种配方分别为：；
；
（或；
（2）∵x2+y2-6x+10y+34=x2-6x+9+y2+10y+25=（x-3）2+（y+5）2=0，
∴x-3=0，y+5=0，∴x=3，y=-5，∴3x-2y=3×3-2×（-5）=19
（3）
∴，，
∴，，，则
【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．
3．（2021·浙江绍兴初二期中）已知，则的值等于______．
【答案】
【分析】利用配方法将已知等式转化为的形式，由非负数的性质求得的值，然后代入求值即可．
【解析】解：
，
则，，
所以，，
所以．故答案是：．
【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及分式的加减法，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．（2021·湖北蔡甸初二期末）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________．
【答案】2．
【分析】先把方程左边的代数式进行配方，再根据偶数次幂的非负性，即可求解．
【解析】∵x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，∴x2-2x+1+y2+4y+4+z2-6z+9=0，∴(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=0，
∴x-1=0，y+2=0，z-3=0，∴x=1，y=-2，z=3，∴x+y+z=1-2+3=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用以及偶数次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
2、用配方法求最值
满分技巧：关于x的一元二次方程a，配方得：
（1）当a＞0时，∵，∴。
又∵为常数，始终不变，∴；当x=时，可取等号
（2）当a＜0时，∵，∴。
又∵为常数，始终不变，∴；当x=时，可取等号
综上得：①当a＞0时，方程有最小值，当x=时有最小值，最小值为：；
②当a＜0时，方程有最大值，当x=时有最大值，最大值为：
1．（2020·全国初三课时练习）不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值( )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
D．可能为负数
【答案】A
【分析】把代数式x2+y2+2x-4y+7根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解．
【解析】解：x2+y2+2x-4y+7=
x2
+2x+1+y2-4y+4+2=（x+1）2+（y-2）2+2≥2，
则不论x，y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值总不小于2，故选A.
2．（2020·全国初二课时练习）不论为任何实数，的值都是（
）
A．非负数
B．正数
C．负数
D．非正数
【答案】B
【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案．
【解析】，
∴a2＋b2?6a＋10b＋35的值恒为正数．故选：B．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键．
3．（2021·重庆西南大学附中初二期中）代数式的最小值是（
）
A．10
B．9
C．19
D．11
【答案】A
【分析】把代数式据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解即可．
【解析】解：
∵∴代数式的最小值是10．故选：A．
【点睛】本题考查的考点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值，解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式．
4．（2020·广西八步初一期末）阅读下面的解答过程，求的最小值．
解：
∵即的最小值为0∴的最小值为4．
仿照上面的解答过程，（1）求的最小值（2）求的最大值
【答案】（1）3；（2）5
【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
【解析】解：（1）
∵∴∴的最小值是3.
（2）
∵∴∴的最大值为5
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3、用配方法比较大小
满分技巧：比较M与N的大小：①作差法得到M－N的多项式；②多项式配方得：的形式；③利用平方的值非负的性质判断多项式的正负，从而比较M与N的大小
1．（2019·湖南临湘初一期中）若M＝a2﹣a，N＝a﹣3，则M、N的大小关系为_____．
【答案】M＞N
【分析】把M，N代入M-N作差后，判断差的符号，即可比较出大小关系．
【解析】由M=a2-a，N=a-3，得M-N=a2-a-a+3=（a-1）2+2．由于（a-1）2≥0，所以（a-1）2+2＞0，
所以M-N＞0，所以
M＞N．故答案是：M＞N．
【点睛】考查了配方法的应用和非负数的性质，关键在于求出M-N=（a-1）2+2＞0．
2．（2020·四川蓬溪初二期中）已知，，则的值
（
）
A．为正数
B．为负数
C．为非正数
D．不能确定
【答案】B
【分析】将M-N整理成-（x-3）2-（y+2）2-2，从而说明M-N的值为负数．
【解析】∵M-N=8x2-y2+6x-2-（9x2+4y+13）=-x2+6x-y2-4y-15=-[（x2-6x+9）+（y2+4y+4）+2]
=-（x-3）2-（y+2）2-2，∴M-N的值为负数，故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
3．（2019·山东潍坊初三期中）若代数式，，则M与N的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，∴.故选C.
4．（2020·重庆渝中初二期末）设P＝（a+2b）2，Q＝8ab，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P≤Q
【答案】C
【分析】根据配方法把P﹣Q的结果变形，根据偶次方的非负性解答．
【解析】解：P﹣Q＝（a+2b）2﹣8ab＝a2+4ab+4b2﹣8ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2≥0，
∴P≥Q，故选：C．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
考点5
解可化为一元二次方程的方程
满分技巧：解此类方程的要点，是基于观察或适当的代数变形，通过换元法（整体代入法），将方程转化为一元二次方程处理。
注：求解过程中，若采用了“去分母”等化为整式的手法，则可能产生增根。因此，所求出的解应该要验根。
1．（2020·全国初三课时练习）定义为不大于实数x的最大整数，如，．函数的图象如图所示，则方程的解为（
）
A．0或
B．0
C．
D．0或
【答案】B
【分析】根据图象确定出[x]的可能值，进而求出x的值确定出方程的解即可．
【解析】当时，原方程可化为，
解得，均不符合题意，舍去；
当时，原方程可化为，解得（舍去）；
当时，原方程可化为，此时无实数解；
当时，原方程化为，此时无实数解．
综上所述，方程的解为，故选B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及函数的图象，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2020·上海杨浦初二期末）方程的解为__________．
【答案】
【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．
【解析】原方程变形为：x+2=x2即x2-x-2=0
∴（x-2）（x+1）=0
∴x=2或x=-1
∵x=-1时不满足题意．∴x=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．
3．（2021·江苏镇江初三月考）若实数满足方程，那么的值为（
）
A．-2或4
B．4
C．-2
D．2或-4
【答案】B
【分析】设=a，将原方程变形解方程即可得到答案.
【解析】设=a，则原方程化为：，∴，（a-4）（a+2）=0，
解得，，
∴=4或-2，
当=-2时，方程无解，故舍去，∴=4，故选：B.
【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，正确计算是解题的关键，注意验根.
4．（2020·全国初三课时练习）已知实数x满足，求的值．
【答案】或．
【分析】根据完全平方公式利用对方程进行变形，得到，把看成整体，再解方程即可．
【解析】解：，原方程可变形为．
设，则原方程可变形为，解得．或．
【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x+当成一个整体是解题关键．
5．（2020·全国初三课时练习）解方程：．
【答案】．
【分析】分三种情况，x=0，去掉绝对值，求解方程即可
【解析】当时，，解得；
当时，，矛盾，舍去；
当时，，解得．
故方程的解有4个，分别为．
【点睛】本题容易出错的地方是要分情况而解，所以容易出现漏解．
考点6.
利用△判定一元二次方程根的情况
满分技巧：一元二次方程的判别式△与方程的根有密切关系：①△＞0方程有两个不等的实根；②△=0方程有两个相等的实根，即方程仅有一个实根；③△＜0方程无实数根
注：在判断一元二次方程a的根的时候，存在隐含条件：a≠0
1．（2020·江苏如皋初二期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣6x+9＝0
B．2x2﹣3x+5＝0
C．x2+3x+5＝0
D．2x2+9x+5＝0
【答案】D
【分析】若方程有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，可据此判断出正确的选项．
【解析】A、△＝36﹣4×9＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误；
B、△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，原方程没有实数根，故B错误；
C、△＝9﹣4×5＝﹣11＜0，原方程没有实数根，故C错误；
D、△＝81﹣4×2×5＝41＞0，原方程有两个不相等的实数根，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，判别式>0，方程有两个不相等的实数根；判别式=0，方程有两个相等的实数根；判别式<0，方程没有实数根；熟练应用判别式判断一元二次方程实数根的个数，是解决本题的关键．
2．（2020·江苏丹徒初三期中）关于x的一元二次方程x2﹣3mx﹣1=0（其中m为常数）的根的情况（
）
A．有两个不相等的实数根
B．可能有实数根，也可能没有
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可得．
【解析】此方程的根的判别式为，
则方程有两个不相等的实数根，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键．
3.
（2020·江苏省南京市初二期末）下列四个结论中，正确的是
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根
【答案】D。
【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：
【解析】A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；
B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；
C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；
D、整理得：，当时，
，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确。故选D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
4.
（2020·江苏初二期末）关于的方程的根的情况描述正确的是.
A．为任何实数，方程都没有实数根
B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B。
【解析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案；
∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，
∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．
考点7.
利用根的情况求参数的取值范围
满分技巧：一元二次方程的判别式△与方程的根有密切关系：①△＞0方程有两个不等的实根；②△=0方程有两个相等的实根，即方程仅有一个实根；③△＜0方程无实数根
注：在判断一元二次方程a的根的时候，存在隐含条件：a≠0
1．（2020·浙江慈溪初二期末）如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（
）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0
【答案】B
【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可．
【解析】
解得
∴k的最大整数值是-2
故选：B．
【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．
2．（2020·酒泉市第二中学初三期中）已知关于x
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
）
A．m＞－1
B．m＜－2
C．m
≥0
D．m＜0
【答案】A
【解析】因为关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，所以△=4+4m＞0，
解此不等式即可求出m的取值范围m＞﹣1．故选A．
考点：根的判别式
3．（2020·安定区中华路中学初三三模）若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A．k<5
B．k<5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k>5
【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【答案】C
【分析】分类讨论：当m-1=0时，方程为一元一次方程，有解；当m-1≠0时，根据判别式的意义得到△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤且m≠1，然后综合两种情况就可得到m的取值范围．
【详解】解：当m-1=0时，x+1=0，解得x=-1；
当m-1≠0时，△=12-4×（m-1）×1≥0，解得m≤且m≠1，所以m的取值范围为m≤.故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
考点8.利用韦达定理求对称式的值
满分技巧：尽量将所求的式子转化成项、项和常数项组成的式子，然后用韦达定理代入求值即可。常见的对称式有：
，
，
，
，，
1．（2020·广西八步初二期末）设是方程的两个根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】可以把变形为的形式，然后由一元二次方程根与系数的关系可以得解．
【解析】由已知得：，=－2∴==
5．故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，把所求问题转化为含有两根积或两根和的代数式是解题关键．
2．（2020·安徽肥东初二期末）已知a、b是方程x2-2x-1=0的两根，则a2+a+3b的值是（
）
A．7
B．5
C．-5
D．-7
【答案】A
【解析】分析：要求a?+a+3b的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可，注意计算不要出错．
详解：由题意知，a+b=2，x?=2x+1，即a?=2a+1，
∴a?+a+3b=2a+1+a+3b=3（a
+b）+1=3×2+1=7．故选A.
点睛：主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知、满足，，求的值．
【答案】2或-47
【分析】由a，b满足，，可分别从与去分析求解，注意当，则a，b是关于x的方程的两根，再利用根与系数的关系求解即可；
【详解】∵、满足，，∴若，则；
若，则a，b是关于x的方程的两根，
∴，，∴，
∴；∴值为2或-47．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，准确分析计算是解题的关键．
4．（2020·江西金溪一中初三一模）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则代数式2x1x2+3x1﹣x12的值为_____．
【答案】3．
【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得﹣3x1＝﹣1，x1x2＝1，将其代入2x1x2+3x1﹣x12中可求出结论．
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，∴﹣3x1＝﹣1，x1x2＝1，
∴2x1x2+3x1﹣x12＝2×1+1＝3．故答案为3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关系．
考点9.利用韦达定理求字母系数的值
满分技巧：方程中虽然有字母，但我们将字母视为常数进行分析：
①先用韦达定理求解出用字母表示的与的值；②此刻，题干还会告知一个条件，利用对称式的一些变形，将与用字母表示的值代入这个条件，得到关于字母的方程；③解方程得到字母的值。
最后将所求的字母的值带入原方程检验是否为非负数，否则舍去。
注：因为、是方程的根，我们还可以将、代入方程得到2个等式，帮组解题。
1．（2020·长沙市南雅中学初二期末）关于
x
的一元二次方程
x
(a
3a)x
a
0
的两个实数根互为倒数，则
a
的值为(
)
A．-3
B．0
C．1
D．-3
或
0
【答案】C
【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a的值即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2＋（a2?3a）x＋a＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1?x2＝a＝1，则a的值为1．故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2?4ac≥0）的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝?，x1?x2＝．
2．（2020·全国初三课时练习）关于x的方程的两个根是，且，则______．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出．将整理为，即可求出．将代入方程，得到，即可求出p．
【解析】由题意得．，可整理为，，
解得．将代入方程，有，解得，故答案为：-16．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，求出β值是解题关键．
3．（2020·广西福绵初二期末）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据判别式的意义得到＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝，再变形已知条件得到4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，于是有4+6×＞1，解得m＞﹣2，所以m的取值范围为﹣2＜m≤﹣，然后找出此范围内的整数即可．
【解析】解：（1）根据题意得＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，解得m≤﹣．
故实数m的取值范围是m≤﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝，∵4+4x1x2＞x12+x22，∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，
即4+6x1x2＞（x1+x2）2，∴4+6×＞1，解得m＞﹣2，∴﹣2＜m≤﹣，∴整数m的值为﹣1．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系和根与系数的关系是解决此题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·八年级期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有实数根，求的取值范围；（2）若是方程的两个实数根，且，求的值；
（3）已知等腰的一边长为10，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38
【分析】（1）令判别式△≥0，解不等式即可；（2）根据方程得出，，再由得到，代入得到方程，解之即可；（3）分10为等腰三角形的腰和底两种情况分别求解．
【详解】解：（1）∵方程有实数根，
∴，解得：m≥-1；
（2）∵是方程的两个实数根，∴，，
∵，∴，解得：m=0；
（3）当腰长为10时，则x=10是一元二次方程的一个解，
把x=10代入方程得，解得m1=8，m2=15，
当m=8时，x1+x2=2（m-1）=14，解得x2=4，则三角形周长为4+10+10=24；
当m=15时，x1+x2=2（m-1）=28，解得x2=18，则三角形周长为10+10+18=38；
当10为等腰三角形的底边时，则x1=x2，所以m=-1，方程化为，解得x1=x2=-2，故舍去；
综上所述，这个三角形的周长为24或38．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
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精品试卷·第
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