中小学教育资源及组卷应用平台
专题03
一元二次方程应用题
知识点精讲
知识点1
列一元二次方程解应用题的一般步骤
1）解一元二次方程实际问题的原则，与一元一次方程的实际问题原则类似：
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
例1.（2020·重庆市初二期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
例2.（2020.成都市初三一诊）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？
例3．(2020.
湖北省初三期中)如图13－1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.（1）用含的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图13－2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
例4．（2020·重庆市育才中学初二期末）据统计，我国入网的智能手机，已经有70%
以上使用了北斗服务，在2020年6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，完成主网的中国北斗也将更加“吸引世界”，微信燃料常用的液体氧化剂有液态氧，四氧化二氮等，
燃烧剂有液氢，偏二甲肼、煤油等．某化工有限公司一直为其提供部分液氢、液氧材料，液氢的单价为每吨0.4万元，液氧的单价为每吨0.1万元．（1）某一次研发过程中根据需要液氧的数量是液氢数量的8倍，且总费用不超过1200万元，那么本次研发最多从此化工有限公司购进液氧多少吨？（2）总结上一次的经验，实验室开始第二次研发，液氢的数量在第一次最大数量的基础上增加，液氧的数量在第一次最大数量的基础上减少，受疫情影响，原料成本有所上涨，该化工有限公司将液氢的单价在原价的基础上上涨2a%
，液氧的单价比原价多30a元，最终结算第二次总费用比（3）中的最高总费用增加，求a的值．
例5．（2020·江苏省初三期中）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（
）
A．289
B．1225
C．1024
D．1378
重难点题型
考点1．与图形有关的问题
满分技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。具体步骤为：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程并解答。
1）、图形面积问题
1．（2020·浙江上虞初二期末）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·河北省初二期末）一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为
A．11
B．12
C．20
D．24
3．（2020·江苏灌云初三月考）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
4．（2020·山东省初三期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为___cm．
5．（2020·广东省初二期末）如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的，求小路的宽．
2）、围墙问题
满分技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（
）
A．15
B．10
C．10或15
D．12.5
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·南京玄武外国语学校初三期末）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
4．（2020·江苏徐州初三其他）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
考点2
碰面问题（循环问题）
满分技巧：有2种类型
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分
∴m=
1．（2020·浙江奉化初二期末）某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1260
B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260
D．x（x﹣1）＝1260×2
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）某年级举行篮球比赛，赛制为双循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了42场比赛，那么共有（
）支队伍参加了比赛．
A．7
B．6
C．12
D．14
3．（2020·上海杨浦初二期末）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．
4．（2020·辽宁沙河口初二期末）某小组要求每两名同学之间都要写评语，小组所有同学一共写了份评语，这个小组共有学生多少人？
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠
∴m=
1、（2020·重庆市初三期末）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）=253
B．x（x﹣1）=253
C.
D.
2．（2020·广东初三三模）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为
A．x（x–1）=36
B．x（x+1）=36
C．x（x–1）=36
D．x（x+1）=36
3．（2020·陕西延安初三期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·如皋市实验初中初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（
）
A．10场
B．11场
C．12场
D．13场
考点3
传播问题
满分技巧：有2种类型
（1）个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
发现规律：传播人数：b=a，与增长率问题公式一致。.
1．（2020·海门市东洲中学初二期中）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（
）
A．1+x＝225
B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225
D．1+（1+x2
）＝225
2．（2020·黑河市第二中学初二期末）某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有（ ）台．
A．81
B．648
C．700
D．729
3．（2020·洪泽外国语中学初二月考）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
4．（2020·全国初三课时练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？
5．（2020·广东华侨中学初三其他）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．（1）在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？（2）甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
（2）个体传播一轮后，个体不再传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
发现规律：传播人数：b=a+ap++。
1．（2020·全国初三课时练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·武汉第三寄宿中学初三开学考试）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共73．若设主干长出x个支干，则可列方程是（
）
A．（1＋x）2＝73
B．1＋x＋x2＝73
C．（1＋x）x＝73
D．1＋x＋2x＝73
3．（2020·全国初三课时练习）为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．（2020·浙江杭州市·八年级期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出个小分支，可列方程___________．
考点4
增长率问题
满分技巧：设为增长（下降）基础数量，为增长（下降）后的数量，为增长（下降）的次数，为增长（下降）率。
发现规律：①增长时：b=a；
②减少时：b=a
注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；②通常设增长（下降）率为x；
③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）近年，我市推出“五水共治”专项行动，经两年时间，我市的污水利用率提高了．设这两年的污水利用率的平均增长率是x，则列出关于x的一元二次方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）某种植基地2018年蔬菜产量为80吨，2020年蔬菜产量为100吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·安徽省初三期末）近两年某菜市场的猪肉价格逐渐增加，据统计，2018年猪肉单价为14元/斤，2020年猪肉单价为25元/斤，设猪肉单价的年平均增长率为x，则（
）
A．14(1+x)=25
B．14(1－x)2=25
C．14(1+x)2=25
D．14(1+x)+14(1+x)2=25
4．（2020·河北省初三一模）某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
考点5
利润问题
满分技巧：利润问题中，等量关系式为：商品单件利润×商品销售件数=总利润，解题步骤与上述题型类似。
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？（3）商场日盈利能否达到3300元？
2．（2020·浙江杭州市·八年级月考）端年节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为．
（1）若每个粽子降价0.3元，则该店每天的销售量为________个，每天的总利润为________元．
（2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？
3、（2020·成都市初三期末）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．
（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？
4．（2020·江苏丹徒初三期中）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是
斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
5．（2020·福建南安初三其他）在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元．（1）若商场把75%酒精的销售单价定为21元，则商场每天的销量是多少瓶？
（2）如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？
考点6
动态问题
满分技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
1．（2020·江苏宿迁初三三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
2．（2020·余姚市兰江中学初二期中）如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
3．（2020·湖北下陆初二期中）如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）在中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以的速度作直线运动，已知点P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，设点P运动时间为，的面积为．当P运动到几秒时？
考点7
图表信息问题
1．（2020·山西临汾市·九年级其他模拟）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
2．（2020·内蒙古九年级二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份
用水量（吨）
交费总数（元）
7
140
264
8
95
152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
3．（2020·浙江绍兴市·八年级期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
4．（2021·山东九年级课时练习）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费．(1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元?
(2)下表是9、10月份的用电和交费情况：
月份
用电量(kw·h)
交电量总额(元)
9
80
25
10
45
10
根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？(3)求8月份该户居民应交电费多少元?
考点8
其他问题
满分技巧：工程、行程等其他类型，根据各自类型的特征具体分析即可。
1．（2020·浙江绍兴市·八年级期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编
了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·四川武侯初三月考）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
3．（2020·重庆一中初三月考）年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生
产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个．
（1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？
（2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
4．（2020·江苏惠山初三期中）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
5．（200·江苏常州中考模拟）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=
，x3=
；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
图13－2
图13－1
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01
二次根式（专题检测卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江上虞初二期末）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x）m，宽为（26-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6．
【解析】解：设道路的宽为xm，由题意得：（40-2x）（26-x）=144×6．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键．
2．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）某商店四月份的利润为6.3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的百分比下阵，至六月份利润为5.4万元，设下降的百分比为x，由题意列出方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可得出5月份的利润为：6.3（1-x），6月份的利润为：6.3（1-x）（1-x），再由两个月内将利润降到5.4万元，可得出方程．
【详解】解：由题意得，5月份的利润为：6.3（1-x），6月份的利润为：6.3（1-x）（1-x），
故可得方程：6.3（1-x）2=5.4．故选：D．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，关键是根据题意的降低百分率表示出每个月的开支，难度一般．
3．（2020·如皋市实验初中初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（
）
A．10场
B．11场
C．12场
D．13场
【答案】B
【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，
依题意，得：x（x+1）=66，整理，得：x2+x-132=0，解得：x1=11，x2=-12（不合题意，舍去）．
所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2020·全国初三课时练习）目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，找出等量关系列出方程，即可得到答案.
【解析】解：根据题意，设此款理财产品每期的平均收益率为x，则；选：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是找到等量关系，列出方程.
5．（2020·黑河市第二中学初二期末）某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有（ ）台．
A．81
B．648
C．700
D．729
【答案】D
【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可求得每轮感染会感染多少台，求得三轮后的台数即可．
【解析】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得：1+x+x（1+x）=81
整理得：（1+x）2=81解得：x1=8，x2=﹣10（不合题意，应舍去）．81×8十81=729（台）．故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解此题的关键．
6.（2020·余姚市兰江中学初二期中）端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（
）
A．x（x+1）＝1560
B．x（x﹣1）＝1560×2
C．x（x﹣1）＝1560
D．2x（x+1）＝1560
【答案】C
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x﹣1)份小礼品，那么总共送的份数应该是x(x﹣1)份，即可列出方程．
【解析】解：设全班有x名同学，根据题意得：x(x﹣1)＝1560，故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
7.（2020·河南罗山初三期末）某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房
每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．
【解析】设房价定为x元，根据题意，得故选：D．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
8．（2020·江苏省初三期中）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（
）
A．289
B．1225
C．1024
D．1378
【答案】B
【分析】图1中求出1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2．然后把各数分别代入，若解出的n是正整数，则说明符合条件是所求．
【解析】根据题意：三角形数的第n个图中点的个数为；正方形数第n个图中点的个数n2．
A、令=289，解得：n=
（不合题意）；再令n2=289，n=±17；不符，错误；
B．令=1225，解得n1=49，n2=﹣50（不合题意）；再令n2=1225，n1=35，n2=﹣35（不合题意，舍去），符合条件，正确．
C．令=1024，解得：n=（都不合题意）；再令n2=1024，n=±32；不符，错误；
D．令=1378，解得n1=52，n2=﹣53（不合题意）；再令n2=1378，n=
（不合题意，舍去），不符合条件，错误．故选B．
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·上海杨浦初二期末）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．
【答案】50
【分析】设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，
依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2021·全国初三课时练习）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
【答案】10
【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．故答案为：10．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
11．（2021·全国初三单元测试）如图，是一面长米的墙，用总长为米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为平方米，则的长为___米．
【答案】
【分析】由与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB的长；根据题意可得方程x（32-4x）=60，解此方程即可求得x的值，又由AB=32-x（米），即可求得AB的值，注意EF是一面长18米的墙，即AB＜18米．
【解析】∵与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，
∴BC=MN=PQ=x米，∴AB=32-AD-MN-PQ-BC=32-4x（米），
根据题意得：x（32-4x）=60，解得：x=3或x=5，
当x=3时，AB=32-4x=20＞18（舍去）；
当x=5时，AB=32-4x=12（米），∴AB的长为12米．故答案为12．
【点睛】考查一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义．
12．（2021·广东东莞初三月考）某村有一人患了登革热，经过两轮传染后共有144人患了登革热，每轮传染中平均一个人传染了__________个人．
【答案】11
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意列方程求解即可．
【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得
解得
∵∴
故答案为：11．
【点睛】本题考查了一元二次方程的传播问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
13．（2020·河北省初三月考）在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有人，则可列方程_______________．
【答案】
【解析】参加聚会的有人，每个人都要握手次，可列方程：．
14．（2020·广西师大附属外国语学校九年级月考）杨辉，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述．下面是杨辉在1275年提出的一个问题(选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》)直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．解答这个问题可知长为____步．
【答案】36
【分析】可设矩形田地的宽为步，则长为步，根据面积为，即可得到方程求解即可．
【详解】解：设矩形田地的宽为步，则长为步，根据题意得，
，
∴，（不合题意舍去）∴
答：矩形的长为步．故答案是：
【点睛】本题考查了一元二次方程在面积问题中的应用，掌握好面积公式即可进行正确解答．
15．（2020·射阳县实验初级中学初二期中）如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒．
【答案】2
【分析】根据题意可知CN=t，AM=2t，故可得BN=8-t,BM=12-2t,根据面积公式得到方程即可求解．
【解析】根据题意可知CN=t，AM=2t，∴BN=8-t,BM=12-2t,
∵△MNB的面积为24cm2∴×（12-2t）×（8-t）=24
解得x1=2,x2=12(舍去)故答案为：2．
【点睛】此题只要一元二次方程的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式列出方程求解．
16．（2020·安徽铜陵初三期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是_________．
【答案】
【分析】根据圆的面积-正方形的面积=可耕地的面积即可解答.
【解析】∵正方形的边长是x步，圆的半径为（）步
∴列方程得：.故答案为.
【点睛】本题考查圆的面积计算公式，解题关键是找出等量关系.
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初一期末）如图，计划围一个面积为50
m2的长方形场地，一边靠旧墙(墙长为10
m)，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5∶2.讨论方案时，小英说：“我们不可能围成满足要求的长方形场地．”小军说：“面积和长宽比例是确定的，肯定可以围得出来．”请你判断谁的说法正确，为什么？
【答案】他们的说法都不正确，理由见解析.
【分析】根据矩形的面积公式求出矩形的长和宽，最后进行判断即可得出结论．
【解析】解：设长方形场地的长为5x
m，宽为2x
m．依题意，得5x·2x＝50.
∴x＝.
∴长为5
m，宽为2
m.
∵4＜5＜9，
∴2＜＜3.
由上可知2＜6，且5＞10.
若长与墙平行，墙长只有10
m，故不能围成满足条件的长方形场地；
若宽与墙平行，则能围成满足条件的长方形场地．∴他们的说法都不正确．
【点睛】考查了列一元二次方程的应用和解简单的一元二次方程，是一道基础题目，解本题的关键是根据矩形的面积公式建立方程求解．
18．（2020·浙江杭州市·八年级期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：
销售单价（元）
34
35
36
37
38
39
40
月平均销售量（件）
430
425
420
415
410
405
400
若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？
【答案】（1）25%；（2）35元
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出平均增长率；（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
【详解】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256（1+x）2=400，
解得：x1==25%，x2=（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）由表可知：该商品每降价1元，销售量增加5件，
设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40-25-m）（400+5m）=4250，解得：m1=5，m2=-70（不合题意舍去），
40-5=35元．答：销售单价应定为35元，商品获利4250元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
19．（2020·广东华侨中学初三其他）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．（1）在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？（2）甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
【答案】（1）在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例52.6人，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到530人；（2）每天传染中平均一个人传染了2人，再5天共有2187人患甲型H1N1流感．
【分析】（1）从统计图上可看出5天共增加了多少人，然后可求出平均人数，进而可求出5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人．
（2）设平均一个人一天传染x个人，第一天共有x+1人，第二天共传染x（x+1）人，根据经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，可列方程求解，进而可求出如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感．
【解析】（1）（267﹣4）÷5＝52.6（人）．
267+52.6×5＝530（人）．
答：在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例52.6人，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到530人．
（2）设平均一个人一天传染x个人，x（x+1）+x+1＝9
x＝2或x＝﹣4（舍去）．
再5天为：（1+2）7＝2187，
答：每天传染中平均一个人传染了2人，再5天共有2187人患甲型H1N1流感．
【点睛】本题考查理解题意的能力和看图的能力，能从图上获得有用的信息，根据传染规律列方程求解是解决此题的关键．
20．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？（2）经过多少时间后，的面积为15cm2？
（3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）经过1秒后，P、Q两点的距离为5cm；（2）经过或2秒后，的面积为15cm2；（3）=；当时，最大，最大面积为
【分析】（1）连接PQ，根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，然后设x秒后，P、Q两点的距离为5cm，根据勾股定理列出方程即可求出结论；（2）设y秒后，的面积为15cm2，根据三角形的面积公式列出方程即可求出结论；（3）利用三角形的面积公式即可用含t的代数式表示△PCQ的面积，然后配方，根据平方的非负性即可求出的取值范围，从而求出其最值．
【详解】解：（1）连接PQ，
∵在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，∴BC2＋AC2=625=AB2
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°
设x秒后，P、Q两点的距离为5cm
根据题意可得BP=2x,CQ=5x
∴CP=BC－BP=7－2x
根据勾股定理可得CP2＋CQ2=PQ2
即（7－2x）2＋（5x）2=（5）2
解得：（不符合实际，舍去）
答：经过1秒后，P、Q两点的距离为5cm．
（2）设y秒后，的面积为15cm2根据题意可得BP=2y,CQ=5y
∴CP=BC－BP=7－2y∴解得：
答：经过或2秒后，的面积为15cm2．
（3）根据题意可得BP=2t,CQ=5t
∴CP=BC－BP=7－2t
∴=====
=
∵∴∴（当且仅当取等号），
即∴当时，最大，最大面积为．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解决此题的关键．
21．（2020·重庆南岸初三其他）“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.
（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值.
【答案】（1）原计划修建滨河步道8千米；（2）a的值是28.
【分析】（1）根据修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，列方程即可得出结论；
（2）先根据一期工程修建滨河步道里程数是疏通河道里程数与工程费用计算出每千米修建滨河步道与疏通河道的工程费，然后根据题意列方程，并利用换元法解方程即可得出结论．
【解析】（1）设原计划修建滨河步道x千米，根据题意，得.解这个方程，得.
答：原计划修建滨河步道8千米
（2）根据题意，一期工程疏通河道里程数：（千米）.
一期工程疏通河道费用：（万元/千米）.
一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米）
令，原方程可化为，
整理这个方程，得.
解这个方程，得，.
∴（舍去），.∴.
答：a的值是28.
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，解题关键是明确题意，找出问题需要的条件．
22．（2021·江苏常州中考模拟）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=
，x3=
；（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【解析】解：（1），，
所以或或，，；故答案为，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，所以不是原方程的解．所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，所以，
设，则因为，，
两边平方，得整理，得
两边平方并整理，得即所以．
经检验，是方程的解．答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
23、（2020.山东初三期末）方法介绍：同学们，生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型的方式来解决.
例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？
这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图①所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4=20条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛.
学以致用：（1）根据图②回答：如果有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排
场比赛；
（2）根据规律，如果有n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排
场比赛.
问题解决：（1）小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）.小明发现所有人握手次数总和为91次，那么合唱队有多少人？
（2）A、B、C、D、E、F六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手，如图③，已知A已经握了5次，B已经握了4次，C已经握了3次，D已经握了2次，E已经握了1次，请利用图③分析F已经和哪些人握手了.
问题拓展：根据上述模型的建立和问题的解决，请你提出一个问题，并进行解答.
【答案】学以致用：（1）15
（2）
问题解决：（1）14人（2）F和ABC握手了
用类似的方法来解决下面的问题：
姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．
【解析】学以致用:
(1)
;（2）
问题解决:
(1)
设合唱队有x人，则，
解方程得:
x=14,x=-13
(不合题意舍去)，所以含唱队有14人。
（2）
F和ABC握手了。
问题拓展：
用类似的方法来解决下面的问题：
姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．
解析:先画出6个点，A、B、C、D、E、F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手,就把代表他们的这两点用1条线段连接起来(如图所示)
.
先看效姣(A)和红(E).姣姣已握手5次,说明姣姣与另外5人都握了手,因此代表效姣的A点与B、C、D、E、F这5点都有一条线段连接;
红红握手1次,他只能是与姣姣握的手了，所以E点只能与A点之间有线段连接，与其它各点再也不能有线段连接了。
其次分析林林(B).林林已握手4次,由于他没有可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人娇娇、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此,点B与A、C、D、
F四点之间有线段连接.
再看飞飞（D）.飞飞已握手2次，而代表飞飞的D点已与A、B两点有线段连接了,所以D点与其它的点不能再有线段连接了.
最后考察可可(C).可可与3人握了手，但已不能是与飞飞和红红握的手了,所以代表可可的点C只能与A、B、F三点有线段连接.
现在观察图形，与代表娜娜的点连接的线段有3条(AF、BF和CF),这说明娇娇、林林和可可三人已与娜娜握过手.
【考点】1.列代数式及求值；2.一元二次方程的应用；3.
数形结合模型的建立和问题的解决.
图③
图②
图①
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题03
一元二次方程应用题
知识点精讲
知识点1
列一元二次方程解应用题的一般步骤
1）解一元二次方程实际问题的原则，与一元一次方程的实际问题原则类似：
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
例1.（2020·重庆市初二期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】：（1）7人
（2）512人
【解析】：（1）
①列写等量关系式：
此题是传播问题（个体传染后依旧传染），关系式为：=，其中b表示2轮传播后的人数，a表示传播前的人数，p为平均一人传播的人数，n为传播的轮次。
②设未知数
∵已知：a=1，b=64，n=2，仅p不知
∴设平均一人传播x人
③根据等量关系式列方程：
方程为：1＝64
④求解方程并解答：
整理得：＝
解得：，
∵依题意，传播人数为正值
∴x=7
∴平均一人传播7人
（2）直接利用公式，第3轮传播人数=＝人
答:略。
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例2.（2020.成都市初三一诊）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？
【答案】：10元
【解析】
①依据题意，寻找等量关系式：
此题是利润问题，等量关系式为：每件衣服的利润×衣服的销售量=利润
②设未知数：
∵利润已知，每件衣服的利润、衣服的销售量都与衣服涨价量有关
∴设每每件衣服涨价x元
③根据等量关系式建立方程：
每件衣服的利润为：（50－30+x）=（20+x）元
销售重量为：（300－x）件
方程为：（20+x）（300－x）=8700
④解方程并解答：
方程化简得：，继续化简得：（x－10）（x－270）=0
解答：，
∵售价不得高于80元
∴x≤30
∴x=10
答：应涨价10元。
【点睛】本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
例3．(2020.
湖北省初三期中)如图13－1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.（1）用含的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图13－2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．
解答：解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；
（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，
解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；
（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，由已知得y1=40x，
y2=，则y=y1+y2=；
x花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400；
x通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，
当2≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600，∴384≤x≤2016，
所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元，
当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384，解得a1=2，a2=48（舍去），
所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．
【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用．.
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
例4．（2020·重庆市育才中学初二期末）据统计，我国入网的智能手机，已经有70%
以上使用了北斗服务，在2020年6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，完成主网的中国北斗也将更加“吸引世界”，微信燃料常用的液体氧化剂有液态氧，四氧化二氮等，
燃烧剂有液氢，偏二甲肼、煤油等．某化工有限公司一直为其提供部分液氢、液氧材料，液氢的单价为每吨0.4万元，液氧的单价为每吨0.1万元．（1）某一次研发过程中根据需要液氧的数量是液氢数量的8倍，且总费用不超过1200万元，那么本次研发最多从此化工有限公司购进液氧多少吨？（2）总结上一次的经验，实验室开始第二次研发，液氢的数量在第一次最大数量的基础上增加，液氧的数量在第一次最大数量的基础上减少，受疫情影响，原料成本有所上涨，该化工有限公司将液氢的单价在原价的基础上上涨2a%
，液氧的单价比原价多30a元，最终结算第二次总费用比（3）中的最高总费用增加，求a的值．
【答案】（1）8000吨；（2）a=10
【分析】（1）根据题意，设液氢数量为x吨，液氧数量为8x吨，分别将其数量乘以单价并求和，要求金额不大于1200万元，即可列出一元一次不等式，即可求得液氧最多的数量；
（2）根据题意，液氢数量为吨，液氧数量为吨，液氢单价为每吨万元，液氧单价为每吨万元，总费用为万元，将其数量乘以单价并求和，列出一元二次方程，即可求解a的值．
【解析】（1）根据题意，设液氢数量为x吨，液氧数量为8x吨，液氢单价为每吨0.4万元，液氧单价为每吨0.1万元，
∴，解得：x≤1000，即液氢数量最多为1000吨，液氧数量最多为8000吨，
答：本次研发最多从此化工有限公司购进液氧8000吨．
（2）第二次试验，液氢数量为吨，液氧数量为吨，液氢单价为每吨万元，液氧单价为每吨万元，总费用为万元，
可得方程：
即：
化简得：，解得：a=0（舍去）或a=10，答：满足条件的a为10．
【点睛】本题主要考察一元一次不等式、一元二次方程的解法，解题的关键在于根据题意列出正确的方程．
例5．（2020·江苏省初三期中）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（
）
A．289
B．1225
C．1024
D．1378
【答案】B
【解析】根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为；正方形数第n个图中点的个数为n2．
A、令=289，得n=
（不合题意）；再令n2=289，n=±17；不符合条件，错误；
B．令=1225，得n1=49，n2=﹣50（不合题意）；再令n2=1225，n1=35，n2=﹣35（不合题意，舍去），符合条件，正确．
C．令=1024，得：n=（都不合题意）；再令n2=1024，n=±32；不符合条件，错误；
D．令=1378，解得n1=52，n2=﹣53（不合题意）；再令n2=1378，n=
（不合题意，舍去），不符合条件，错误．故选B．
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
重难点题型
考点1．与图形有关的问题
满分技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。具体步骤为：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程并解答。
1）、图形面积问题
1．（2020·浙江上虞初二期末）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x）m，宽为（26-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6．
【解析】解：设道路的宽为xm，由题意得：（40-2x）（26-x）=144×6．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键．
2．（2020·河北省初二期末）一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为
A．11
B．12
C．20
D．24
【答案】B
【解析】设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∵图1中的重叠部分为正方形，且它的面积为4，∴重叠部分的边长为2，
∴，整理得：①，
图2中阴影部分可以用大正方形的面积减去两个小正方形的面积加上两个小正方形重叠部分的面积，其中：由下图可知两个小正方形重叠部分的边长为：，
∴②，
将①代入②中，并整理得：
解得：（不符合实际，舍去），
此时.∵图3中阴影部分的长为，宽为，
∴图3中两个小正方形重叠部分的面积为，故选B.
【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.
3．（2020·江苏灌云初三月考）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
【答案】②．
【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积，可求出，此题得解．
【解析】解：即，
构造如图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
4．（2020·山东省初三期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为___cm．
【答案】11．
【解析】设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，
由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240，解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去），
答：这块铁片的宽为11cm．故答案为11．
考点：
一元二次方程的应用．
5．（2020·广东省初二期末）如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的，求小路的宽．
【答案】小路的宽为2米．
【解析】设小路的宽为x米，由题意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x=×40×50，
解得x=2或x=﹣8（不合题意，舍去）
答：小路的宽为2米．
【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的”，建立方程求解即可得出结论．
2）、围墙问题
满分技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（
）
A．15
B．10
C．10或15
D．12.5
【答案】A
【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【详解】解：设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据题意可得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可．
【详解】解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）=2816．故选：D．
【点睛】此题是一元二次方程的应用，解此类题关键是看准题型列方程，矩形的面积=矩形的长×矩形的宽．
3．（2020·南京玄武外国语学校初三期末）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得
（100﹣4x）x=400，
解得
x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20
考点：一元二次方程的应用．
4．（2020·江苏徐州初三其他）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【答案】10，8．
分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程
求出边长的值．
【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的
一边的长为m，由题意得
化简，得，解得：
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
考点：一元二次方程的应用题．
考点2
碰面问题（循环问题）
满分技巧：有2种类型
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分
∴m=
1．（2020·浙江奉化初二期末）某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1260
B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260
D．x（x﹣1）＝1260×2
【答案】C
【分析】根据全班一共送了1260张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260．故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）某年级举行篮球比赛，赛制为双循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了42场比赛，那么共有（
）支队伍参加了比赛．
A．7
B．6
C．12
D．14
【答案】A
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝x（x﹣1），即可列方程求解．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）＝42，解得x＝7或x＝﹣6（舍去）．故应邀请7支队伍参加比赛．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1），进而得出方程是解题关键．
3．（2020·上海杨浦初二期末）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．
【答案】50
【分析】设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，
依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2020·辽宁沙河口初二期末）某小组要求每两名同学之间都要写评语，小组所有同学一共写了份评语，这个小组共有学生多少人？
【答案】7．
【分析】设这个小组有学生人，每人要写评语份，则评语共有份，再与总共42份评语建立等量关系，列出一元二次方程.
【解析】解：设这个小组有学生人，由题意得：，
整理的得：，解得，（舍）.
答：这个小组共有学生7人.
【点睛】本题是一元二次方程的应用，注意找准等量关系，另外注意与“握手原理”对比理解.
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠
∴m=
1、（2020·重庆市初三期末）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）=253
B．x（x﹣1）=253
C.
D.
【答案】D
【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，
所以等量关系为：×学生数×（学生数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解
【解析】参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，
∴可列方程为x（x﹣1）=253，故选：D．
【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
2．（2020·广东初三三模）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为
A．x（x–1）=36
B．x（x+1）=36
C．x（x–1）=36
D．x（x+1）=36
【答案】A
【解析】设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x–1）=36，故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
3．（2020·陕西延安初三期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛.
【解析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得：
，
解之，得，.
不合题意舍去，.
答：比赛组织者应邀请8个队参赛.
“点睛”本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）有支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为x（x-1）＝45．
【详解】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x-1），∴共比赛了45场，∴x（x-1）＝45，故选：C．
【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
5．（2020·如皋市实验初中初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（
）
A．10场
B．11场
C．12场
D．13场
【答案】B
【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，
依题意，得：x（x+1）=66，整理，得：x2+x-132=0，解得：x1=11，x2=-12（不合题意，舍去）．
所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点3
传播问题
满分技巧：有2种类型
（1）个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
发现规律：传播人数：b=a，与增长率问题公式一致。.
1．（2020·海门市东洲中学初二期中）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（
）
A．1+x＝225
B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225
D．1+（1+x2
）＝225
【答案】C
【分析】此题可设1人平均感染人，则第一轮共感染人，第二轮共感染人，根据题意列方程即可．
【解析】解：设1人平均感染人，依题意可列方程：．故选：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
2．（2020·黑河市第二中学初二期末）某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有（ ）台．
A．81
B．648
C．700
D．729
【答案】D
【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可求得每轮感染会感染多少台，求得三轮后的台数即可．
【解析】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得：1+x+x（1+x）=81
整理得：（1+x）2=81
解得：x1=8，x2=﹣10（不合题意，应舍去）． 81×8十81=729（台）．故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解此题的关键．
3．（2020·洪泽外国语中学初二月考）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均一个人传染了11人；
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，解方程可得；
【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
4．（2020·全国初三课时练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，
（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？
【答案】(1)
每轮传染中平均一个人传染了10个人;(2)
过三轮后将有1331人受到感染．
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）将x=10代入（x+1）3中即可求出结论．
【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）=121
整理：（x+1）2=121
解得：x1=10，x2=﹣12（不合题意，应舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
（2）当x=10时，（x+1）3=（10+1）3=1331．
答：经过三轮后将有1331人受到感染．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2020·广东华侨中学初三其他）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．（1）在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？（2）甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
【答案】（1）在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例52.6人，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到530人；（2）每天传染中平均一个人传染了2人，再5天共有2187人患甲型H1N1流感．
【分析】（1）从统计图上可看出5天共增加了多少人，然后可求出平均人数，进而可求出5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人．（2）设平均一个人一天传染x个人，第一天共有x+1人，第二天共传染x（x+1）人，根据经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，可列方程求解，进而可求出如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感．
【解析】（1）（267﹣4）÷5＝52.6（人）．
267+52.6×5＝530（人）．
答：在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例52.6人，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到530人．
（2）设平均一个人一天传染x个人，x（x+1）+x+1＝9
x＝2或x＝﹣4（舍去）．
再5天为：（1+2）7＝2187，
答：每天传染中平均一个人传染了2人，再5天共有2187人患甲型H1N1流感．
【点睛】本题考查理解题意的能力和看图的能力，能从图上获得有用的信息，根据传染规律列方程求解是解决此题的关键．
（2）个体传播一轮后，个体不再传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
发现规律：传播人数：b=a+ap++。
1．（2020·全国初三课时练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设主干长出x个支干，则长出x2个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43，即可列出关于x的一元二次方程．
【解析】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支．
根据题意得．故选D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2019·武汉第三寄宿中学初三开学考试）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共73．若设主干长出x个支干，则可列方程是（
）
A．（1＋x）2＝73
B．1＋x＋x2＝73
C．（1＋x）x＝73
D．1＋x＋2x＝73
【答案】B
【解析】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1=73．故选B．
点睛：此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
3．（2020·全国初三课时练习）为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播共有111人参与列出方程求解即可．
【解析】由题意，得n+n2+1=111，解得：n1=-11（舍去），n2=10，故选B．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键．
4．（2020·浙江杭州市·八年级期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出个小分支，可列方程___________．
【答案】1+x+x2=91
【分析】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x?x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，小分支的数量为x?x=x2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，故答案为：1+x+x2=91．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
考点4
增长率问题
满分技巧：设为增长（下降）基础数量，为增长（下降）后的数量，为增长（下降）的次数，为增长（下降）率。
发现规律：①增长时：b=a；
②减少时：b=a
注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；②通常设增长（下降）率为x；
③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）近年，我市推出“五水共治”专项行动，经两年时间，我市的污水利用率提高了．设这两年的污水利用率的平均增长率是x，则列出关于x的一元二次方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设这两年的污水利用率的平均增长率是x，利用原有污水利用率×（1+平均每年污水利用率的增长率）2=污水利用率，列方程即可．
【详解】解：设这两年的污水利用率的平均增长率是x，
根据题意列方程得，（1+x）2=130%，故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程；掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）某种植基地2018年蔬菜产量为80吨，2020年蔬菜产量为100吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2018年蔬菜产量为80吨，则2019年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2020年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，2020年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
3．（2020·安徽省初三期末）近两年某菜市场的猪肉价格逐渐增加，据统计，2018年猪肉单价为14元/斤，2020年猪肉单价为25元/斤，设猪肉单价的年平均增长率为x，则（
）
A．14(1+x)=25
B．14(1－x)2=25
C．14(1+x)2=25
D．14(1+x)+14(1+x)2=25
【答案】C
【分析】根据2018年及2020年猪肉的单价，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：14（1+x）2=25．故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2020·河北省初三一模）某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2017年及2019年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设2019年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．
答：从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
（2）设2019年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，
根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，解得：a≥1900．
答：2019年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【考点】一元二次方程的应用题
考点5
利润问题
满分技巧：利润问题中，等量关系式为：商品单件利润×商品销售件数=总利润，解题步骤与上述题型类似。
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？（3）商场日盈利能否达到3300元？
【答案】（1）60件；（2）25元；（3）不能达到，理由见解析
【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量，（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（3）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于y的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案．
【详解】解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：60-50=10（元），
商场每天可多销售：10×2=20（件），每天销售：40+20=60（件），
答：当每件盈利50元时，每天可销售60件，
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，
根据题意得：（60-x）（40+2x）=3150，整理得：x2-40x+375=0，
解得：x1=15，x2=25，为减少库存，应舍去15，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元，
（3）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据题意得：
（60-y）（40+2y）=3300，整理得：y2-40y+450=0，
∵△=1600-1800=-200＜0，∴该方程无实数根，即商场日盈利不能达到3300元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级月考）端年节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为．
（1）若每个粽子降价0.3元，则该店每天的销售量为________个，每天的总利润为________元．
（2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？
【答案】（1）640，1088；（2）0.5元
【分析】（1）将x=0.3代入，可得每天的销售量，再乘以每个的利润可得总利润；
（2）根据总利润刚好是1200元列出方程，解之即可．
【详解】解：（1）由题意可得：若每个粽子降价0.3元，则该店每天的销售量为800×0.3+400=640个，
每天的总利润为：640×（2-0.3）=1088元，故答案为：640，1088；
（2）（2-x）（800x+400）=1200，解得：x=0.5或x=1，
当x=1时，y=800+400=1200＞1100，超过每天可以制作的最大量，故不符合，
∴当每个粽子的单价降低0.5元时，该店每天的总利润刚好是1200元．
【点睛】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到其中的等量关系．
3、（2020·成都市初三期末）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．
（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？
【答案】(1)
200元;(2)
190元
【分析】（1）设每个售价应为x元，根据月销量=980-30×，结合月销量不低于800个，即可得出关于x的一元一次不等式；
（2）根据总利润=每个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，
980﹣30×≥800，解得x≤200，
故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元．
（2）由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150]?800（1+5a%）＝40000，
整理，得：a%﹣20
（a%）2＝0，
解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）．
故200（1﹣a%）＝190（元）
答：在实际销售过程中每个背包售价为190元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元二次方程在实际问题中的应用---销售利润问题，解题关键是利润问题中数量关系，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解．
4．（2020·江苏丹徒初三期中）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是
斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【答案】（1）100+200x；（2）1．
【解析】
试题分析：（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，列式即可得到结论；
（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．
试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；
（2）根据题意得：，解得：x=或x=1，
∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．
5．（2020·福建南安初三其他）在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元．
（1）若商场把75%酒精的销售单价定为21元，则商场每天的销量是多少瓶？
（2）如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？
【答案】（1）商场每天的销量是60瓶；（2）这种酒精的销售单价应该定为20元．
【分析】（1）根据题意，每瓶降低1元，每天可多售10瓶，则单价21元时，多售10×（25﹣21）瓶，由此列式解答即可；
（2）设酒精的销售单价应该定为x元，根据题意列出一元二次方程，解方程式取最小值即可．
【解析】（1）20+10×（25﹣21）＝20+40＝60（瓶）．故商场每天的销量是60瓶；
（2）设这种酒精的销售单价应该定为x元，
依题意得：（x﹣15）[20+10（25﹣x）]＝350，整理得：x2﹣42x+440＝0，解得：x1＝22，x2＝20，
∵要把更多的优惠给顾客，∴这种酒精的销售单价应该定为20元．故这种酒精的销售单价应该定为20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意关键词正确列出一元二次方程式是解题关键．
考点6
动态问题
满分技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
1．（2020·江苏宿迁初三三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】（1）点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）能，需运动7s，△APQ的面积能等于22cm2．
【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；
（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．
【解析】（1）点P从开始到运动停止用的时间为：(12+6)÷2=9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为：(6+12)÷1=18s．
∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：(6+12)﹣1×9=9cm，
答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；
（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，
当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as．
∵△APQ的面积能否等于22cm2，，
∴12×622，解得：此方程无解；
当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为(b+6)s．
∵△APQ的面积能否等于22cm2，，
∴12×622，解得：b1=1，b2=14(舍去)，
即需运动6+1=7s，△APQ的面积能等于22cm2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意要巧设未知数，这样可以使问题简单化．
2．（2020·余姚市兰江中学初二期中）如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】或或或
【分析】分情况讨论，如图1，当PQ＝DQ时，如图2，当PD＝PQ时，如图3，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【解析】解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．
∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在RtPQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝．
如图2，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm．
∵DQ＝6﹣t，∴DE＝．∴2t＝，解得：t＝；
如图5，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．
在RtAPD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1＝，t2＝（舍去）．
综上所述：t＝，，，．故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
3．（2020·湖北下陆初二期中）如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
【分析】分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
【解析】根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，即t=（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，∴3-t=t，∴t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
【点睛】主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的性质．分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°是解本题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）在中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以的速度作直线运动，已知点P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，设点P运动时间为，的面积为．当P运动到几秒时？
【答案】4秒、6秒或12秒
【分析】先根据三角形面积公式可得S△ABC，根据S＝S△ABC，可求△PCQ的面积，再分两种情况：P在线段AB上；P在线段AB的延长线上；进行讨论即可求得P运动的时间．
【详解】解：∵S△ABC=AB?BC=50cm2，S△PCQ=12cm2，设当点P运动x秒时，S＝S△ABC，
当P在线段AB上，此时CQ=x，PB=10-x，S△PCQ=x（10-x）=12，
化简得?x2-10?x+24=0，解得x=6或4，P在线段AB的延长线上，此时CQ=x，PB=x-10，
S△PCQ=x（x-10）=12，化简得?x2-10?x+24=0，x2-10?x-24=0，
解得x=12或-2，负根不符合题意，舍去．所以当点P运动4秒、6秒或12秒时，S＝S△ABC．
【点睛】此题主要考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知分两种情况进行讨论是解题关键．
考点7
图表信息问题
1．（2020·山西临汾市·九年级其他模拟）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a?7），（a?1），（a＋1），（a＋7），利用（a?1）（a＋1）?（a?7）（a＋7）＝48可证出结论；（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x?14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y?14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【详解】（1）证明：设中间的数为，
∴．
（2）解：设这五个数中最大数为，由题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去）．答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y?14），依题意，得：y（y?14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝?6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，∴不符合题意，∴小明的说法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2020·内蒙古九年级二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份
用水量（吨）
交费总数（元）
7
140
264
8
95
152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【答案】（1）a＝100；（2），当某月用水量150吨时，应交水费290元．
【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可；（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(元)，即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键．
3．（2020·浙江绍兴市·八年级期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．
【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2021·山东九年级课时练习）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费．(1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元?
(2)下表是9、10月份的用电和交费情况：
月份
用电量(kw·h)
交电量总额(元)
9
80
25
10
45
10
根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？(3)求8月份该户居民应交电费多少元?
【答案】(1)超过部分应交(元)；(2)
；(3)
8月份该户居民交电费元．
【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问.
【解析】解：(1)超过部分应交(元)；
(2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以．
(3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元．
【点睛】本题考查学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键.
考点8
其他问题
满分技巧：工程、行程等其他类型，根据各自类型的特征具体分析即可。
1．（2020·浙江绍兴市·八年级期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编
了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可；
【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3，
由题意可得：．故答案选C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键．
2．（2020·四川武侯初三月考）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
【答案】（1）甲工厂最多可生产1000万片的口罩；（2）m的值为4．
【分析】（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；
（2）根据乙工厂实际每天生产的口罩数量乘以每万片的实际成本等于乙工厂实际每天生产口罩的成本，列出关于m的一元二次方程，求解即可．
【解析】解：（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：
0.6x≤0.8（2000﹣x）×，解得：x≤1000．答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．
（2）由题意得：（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．解得：m1＝m2＝4．答：m的值为4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出不等式或方程是解题的关键．
3．（2020·重庆一中初三月考）年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生
产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个．
（1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？
（2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
【答案】（1）生产线至少生产口罩小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为．
【分析】（1）设生产线至少生产口罩小时，根据生产护目镜的总数量不少于个列出不等式求解即可；（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多个列出方程求解即可．
【解析】（1）解：设生产线至少生产口罩小时
解得：
答：生产线至少生产口罩小时.
（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为
解得：
生产时间：
答：设该厂实际每天生产口罩的时间为.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．
4．（2020·江苏惠山初三期中）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【答案】（1）1800米；（2）52分钟．
【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出方程即可求解．
【解析】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：，
解得x=1800．答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程．
5．（200·江苏常州中考模拟）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=
，x3=
；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【解析】解：（1），，
所以或或，，；故答案为，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，所以不是原方程的解．所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，所以，
设，则因为，，
两边平方，得整理，得
两边平方并整理，得即所以．
经检验，是方程的解．答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
图13－2
图13－1
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01
二次根式（专题检测卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江上虞初二期末）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）某商店四月份的利润为6.3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的百分比下阵，至六月份利润为5.4万元，设下降的百分比为x，由题意列出方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·如皋市实验初中初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（
）
A．10场
B．11场
C．12场
D．13场
4．（2020·全国初三课时练习）目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·黑河市第二中学初二期末）某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有（ ）台．
A．81
B．648
C．700
D．729
6.（2020·余姚市兰江中学初二期中）端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（
）
A．x（x+1）＝1560
B．x（x﹣1）＝1560×2
C．x（x﹣1）＝1560
D．2x（x+1）＝1560
7.（2020·河南罗山初三期末）某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房
每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是(
)
A．
B．
C．
D．
8．（2020·江苏省初三期中）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（
）
A．289
B．1225
C．1024
D．1378
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·上海杨浦初二期末）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．
10．（2021·全国初三课时练习）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
11．（2021·全国初三单元测试）如图，是一面长米的墙，用总长为米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为平方米，则的长为___米．
12．（2021·广东东莞初三月考）某村有一人患了登革热，经过两轮传染后共有144人患了登革热，每轮传染中平均一个人传染了__________个人．
13．（2020·河北省初三月考）在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有人，则可列方程_______________．
14．（2020·广西师大附属外国语学校九年级月考）杨辉，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述．下面是杨辉在1275年提出的一个问题(选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》)直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．解答这个问题可知长为____步．
15．（2020·射阳县实验初级中学初二期中）如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒．
16．（2020·安徽铜陵初三期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是_________．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初一期末）如图，计划围一个面积为50
m2的长方形场地，一边靠旧墙(墙长为10
m)，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5∶2.讨论方案时，小英说：“我们不可能围成满足要求的长方形场地．”小军说：“面积和长宽比例是确定的，肯定可以围得出来．”请你判断谁的说法正确，为什么？
18．（2020·浙江杭州市·八年级期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：
销售单价（元）
34
35
36
37
38
39
40
月平均销售量（件）
430
425
420
415
410
405
400
若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？
19．（2020·广东华侨中学初三其他）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．（1）在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？（2）甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
20．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？（2）经过多少时间后，的面积为15cm2？
（3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
21．（2020·重庆南岸初三其他）“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.
（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值.
22．（2021·江苏常州中考模拟）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=
，x3=
；（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
23、（2020.山东初三期末）方法介绍：同学们，生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型的方式来解决.
例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？
这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图①所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4=20条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛.
学以致用：（1）根据图②回答：如果有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排
场比赛；
（2）根据规律，如果有n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排
场比赛.
问题解决：（1）小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）.小明发现所有人握手次数总和为91次，那么合唱队有多少人？
（2）A、B、C、D、E、F六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手，如图③，已知A已经握了5次，B已经握了4次，C已经握了3次，D已经握了2次，E已经握了1次，请利用图③分析F已经和哪些人握手了.
问题拓展：根据上述模型的建立和问题的解决，请你提出一个问题，并进行解答.
图③
图②
图①
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
