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专题05
平行四边形的性质与判定
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山西八年级期末）如图所示，直线的顶点A在直线a上，顶点B，C在直线b上，点D是直线a上的一动点，连接BD，CD若，则等于（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【分析】△ABC与△BDC，都以BC为底，高都是两平行线之间的距离，再根据平行线间的距离处处相等，故能得到两三角形的面积相等，即可解决．
【详解】解：∵△ABC与△BDC，都以BC为底，高都是两平行线之间的距离
又∵平行线间的距离处处相等∴S△ABC=S△BDC=10故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，清楚平行线间的距离处处相等以及三角形面积算法是解决本题的关键．
2．（2020·江苏盐城市·八年级期中）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
B、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2020·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，
∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124°?56°＝68°，
∴∠AED＝180°?56°?56°＝68°，∴∠AEB＝180°?68°?28°＝84°，故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC解答．
4．（2020·湖北随州市·八年级期末）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC
B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．AB∥DC，AB＝DC
【答案】C
【分析】根据题意利用平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析判断即可．
【详解】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理．熟练掌握判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”以及应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
5．（2020·江苏扬州市·七年级期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．
B．0
C．﹣1
D．﹣2
【答案】D
【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答．
【详解】﹣2＜1，，∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，选：D．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题的关键．
6．（2020·西工大附中分校九年级期末）如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到OB=OD，利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3，根据同高三角形面积比的关系得到S△ADE：S△ABE=1：3，利用平行四边形的性质得S平行四边形ABCD=2S△ABD，由此即可得到与的面积比.
【详解】在中，OB=OD，∵为的中点，∴DE=OE,∴DE:BE=1：3，
∴S△ADE：S△ABE=1：3，∴S△ABE：S△ABD=1：4，
∵S平行四边形ABCD=2S△ABD,∴与的面积比为3:8，故选：C.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练运用解题是关键.
7．（2020·明水县第二中学八年级期中）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花，白花种植面积一定相等
B．红花，蓝花种植面积一定相等
C．蓝花，黄花种植面积一定相等
D．紫花，橙花种植面积一定相等
【答案】B
【分析】由题意得出四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形，得出△ABD的面积＝△CBD的面积，△DOE的面积＝△DOH的面积，△BOG的面积＝△BOF的面积，得出四边形AGOE的面积＝四边形CHOF的面积，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，
∴四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形，
∴△ABD的面积＝△CBD的面积，△DOE的面积＝△DOH的面积，△BOG的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AGOE的面积＝四边形CHOF的面积，∴A、C、D正确，B不正确；故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便．
8．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD=AD?BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．
【详解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，，
∴E是AB的中点，∴DE=BE，，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S?ABCD=AD?BD，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE
∵OE
=OE
∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·南京师范大学附属中学树人学校八年级月考）用反证方法证明“在中，，则必为锐角”的第一步是假设______．
【答案】
【分析】根据反证法的定义，找出结论的即可得出结论．
【详解】解：“必为锐角”的反面为
故答案为：．
【点睛】此题考查的是反证法，找出“必为锐角”的反面是解决此题的关键．
10．（2021·江苏苏州市·九年级零模）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是
。
【答案】1080°
【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．
【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得：，
∴这个多边形的内角和为：，故选A．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键．
11．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在直角坐标系中．点和点关于原点成中心对称，则的值为_____．
【答案】
【分析】直接利用关于原点成中心对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点和点关于原点成中心对称，∴a=，b=，
则a-b的值为：a-b==．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
12．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．
【答案】
【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案．
【详解】解：探究规律：
AB=8，BC=6，AC=7，
分别为的中点，
同理：
总结规律：
运用规律：当时，故答案为：
【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键．
13．（2020·浙江杭州市·八年级开学考试）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________．
【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2）
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2），
故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况．
14．（2021·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在?ABCD
中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点
E、F
分别是边
AB、CD
上的动点，将该四边形沿折痕
EF
翻折，使点
A
落在边
BC
的三等分点处，则
AE
的长为
．
【答案】或
【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，
在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．
在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；
②如图2，当A′B=BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，
在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．
在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．
即AE=；所以AE的长为5.6或．故答案为5.6或．
【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．
15．（2021·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
【答案】12
【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．
【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，
∵∴
∵是边的中点，，∴是的中位线，∴，
又∵，即有，∴，
∴，∴，故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
16．（2021·广东梅州市·九年级期末）点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________．
【答案】
【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S△AOB=S△BOC=S平行四边形ABCD=S，
∵EF=AB，GH=BC，∴S1=S，S2=S，∴，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．
【详解】证明：取的中点，连接，
∵是边的中线，∴是边的中点，∴，．
∴，．
∵是的中点，∴，
在△MDE和△FCE中，∴．
∴，∴．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
18．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2、图3中各画一个以A，B为顶点的四边形，满足以下要求：
（1）在图1中画出一个面积为6，且是中心对称的四边形；
（2）在图2中画出一个面积为9，且是轴对称的四边形；
（3）在图3中画出一个既是轴对称又是中心对称的四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）画一个底为2，高为3的平行四边形即可；
（2）画一个上底为2，下底为4，高为3的梯形即可；
（3）以AB为边画一个正方形即可．
【详解】解：（1）如图，四边形ABCD即为所作；
（2）如图，四边形ABCD即为所作；
（3）如图，四边形ABCD即为所作．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握相应图形的性质，以及网格的性质．
19．（2021·全国八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，
∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
20．（2021·安徽九年级一模）如图，在□
ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，AP，BD．（1）求证：
△ADP≌△BCM；（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，∠ADC+∠BCD=，由PM//DC，且PM=DC，证得四边形PMCD是平行四边形，得到PD=CM，∠PDC+∠DCM=，推出∠ADP=∠BCM，即可证得结论；（2）作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，根据四边形ABCD是平行四边形，得到△ABC≌△CDA，BH=DG，求得，，利用△ADP≌△BCM，得到，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ADC+∠BCD=，
∵PM//DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM=，∴∠ADP=∠BCM，∴△ADP≌△BCM；
（2）解：作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABC≌△CDA，∴BH=DG，
∴，即，，即，
∵△ADP≌△BCM，∴，∴=．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，同底等高或同高的三角形的面积关系，证明△ADP≌△BCM并利用其全等的性质解决问题是解题的关键．
21．（2020·石嘴山市第八中学八年级期中）如图，矩形OABC的边OA，OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为．将该矩形沿OB折叠，使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D．
（1）求证：为等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)
E点坐标为；(3)存在三点，，，
【分析】（1）分析题目，证明OD=BD即可证明为等腰三角形，根据折叠的性质即可得到；
（2）根据矩形的性质先把OD的长度计算出来，再证明DE=CD，根据面积公式即可得到答案；
（3）分情况讨论点F所在的象限，根据平行四边形的性质计算即可得到．
【详解】解：（1）∵是由折叠所得，∴≌，∴，
又∵四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，∴，∴OD=BD∴为等腰三角形
（2）过点E作EF⊥轴于F交BC于G，设CD的长为，则BD=BC-CD=8-，由（1）知OD=BD=8-，
∵四边形ABCD是矩形，,∴∠OCD=∠OAB=90°，CA=AB，
∴在中，,即，解得，即CD=3，OD=BD=8-=5，
由(1)知，≌，∴∠OEB=∠OAB=90°∴∠OCD=∠BED=90°，
在和中，,∴≌（AAS），∴DE=CD=3
，BE=OC=4，
∵EF⊥轴，∴∠OFB=90°，∵OA∥BC，∴∠CGE=∠OFB=90°,∴CG⊥BD，
∴，即，∴在中，，
∵∠OCG=∠OFE=∠CGF
=90°，∴四边形OFGC是矩形，∴OF=CG=CD+DG=3+=，
∴EF=GE+GF=+4=，故E点坐标为；
(3)
存在三点，，（附答案）可分三种情况：
1．点F在第二象限，如图1：∵，，，∴，即；
2．点F在第四象限，如图2：∵，，，∴，即；
3．点F在第一象限，如图3：∵，，，∴，即；
故存在三点，，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查矩形、勾股定理、全等三角形的判定、平行四边形的性质和点的坐标的综合应用，重点考查了对性质的联合应用，要特别注意的是点E的位置的确定，根据平行四边形的性质考虑全面一些．
22．（2020·吉林长春市·八年级期中）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．
【答案】（1）BQ＝5﹣t;（2）秒;（3）t＝.
【分析】（1）利用平行四边形的性质可证△APO≌△CQO，则AP＝CQ，再利用即可得出答案；（2）由平行四边形性质可知AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，建立一个关于t的方程，解方程即可求出t的值；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长度，进而求出AO的长度，然后利用的面积求出EF的长度，进而求出OE的长度，而AE可以用含t的代数式表示出来，最后在中利用勾股定理即可求值.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝t，∵BC＝5，∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5﹣t，t＝
，
∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）t＝
，如图，
在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC=
∴AO＝CO＝AC＝2，
∴3×4＝5×EF，∴，∴，
∵OE是AP的垂直平分线，∴AE＝AP＝t，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，
或（舍去）
∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题，掌握平行四边形的判定及性质，以及勾股定理是解题的关键.
23．（2020·广东深圳市·八年级期末模拟
）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
（3）如图2，点N为线段BC上的动点且CM=CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；（3）EP的值为3或6﹣或5．
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；（3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD
=2，∴A（﹣2，2），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；
（2）如图1中，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）．
（3）如图2中，当PM=PN=时，∵AOCB是平行四边形，∴∠MCN=∠A=60°．
∵MC=CN，∴△MNC是等边三角形，∴∠CMN=∠CNM=60°．
∵PM⊥OC，∴∠PMN=∠PNM=30°，∴∠PNF=30°+60°=90°，
∵∠PFN=∠BCO=60°，∴∠NPF=30°，NF=1，∴PF=2NF=2，∵EF==5，∴PE=5﹣2=3．
如图3中，当PM=MN时，
∵PM=MN=CM=，∴EP=OM=6﹣．
如图4中，当点P与F重合时，NP=NM，此时PE=EF=5．
综上所述：满足条件的EP的值为3或6﹣或5．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
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专题05
平行四边形的性质与判定
知识点精讲
知识点1
多边形的相关概念
1）多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．
其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2）相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，
一个n边形有n个内角.n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角.
多边形的外角和：多边形的外角和为360°．
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为．
1．（2021·邢台市第六中学九年级零模）嘉淇用一些完全相同的纸片，已知六个纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用个纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（
）
A．正十二边形
B．正十边形
C．正九边形
D．正八边形
2．（2021·江苏苏州市·九年级零模）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（
）
A．1080°
B．540°
C．2700°
D．2160°
3．（2021·广西河池市·八年级期末）已知一个边形的每一个外角都相等，一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是，则的值是（
）
A．8
B．9
C．10
D．12
4．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是________边形．
5．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级一模）从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是_____．
6．（2021·河北沧州市·八年级期末）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形的对角线的条数是（
）
A．9条
B．54条
C．27条
D．6条
知识点2
平行四边形的性质
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“?”表示，平行四边形ABCD表示为“?ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。平行线间距离处处相等。
4）平行四边形的性质，讨论：边、角、对角线，有时会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：
性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；
②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）
5）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
1．（2020·福建南平市·七年级期中）如图，点为定点，直线是直线上一动点．对于下列各值：①线段的长；②的度数；③的周长；④的面积．其中不会随点的移动而变化的是（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
2．（2020·广东清远市·八年级期末）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（
）
A．对边相等
B．对边平行
C．对角相等
D．对角线相等
3．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（、重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（
）
A．26
B．29
C．
D．
4．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·广东梅州市·九年级期末）点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________．
6．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
7．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．（1）求证：FG=EH．（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
知识点3
平行四边形的判定定理
平行四边形的判定，主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC
2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即
3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即或
4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即
5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。
1．（2021·山东东营市·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
2．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AD∥BC，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD
D．AB＝CD，AD＝BC
3．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级月考）点、、、在同一平面内，从①；②；③；④四个条件中任意选两个，能使四边形平行四的选法有（
）.
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2020·黑龙江大庆市·八年级期末）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．
5．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级月考）如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．
知识点4中心对称图形
1.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称
中心对称图形
区别
针对两个图形
针对一个图形
两个图形位置上的关系
具有某种性质的一个图形
对称点在两个图形上
对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间
对称中心在图形上或图形内部
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
1．（2020·上海市闵行区初一月考）下列说法中正确的是（
）
A．如果把一个图形绕着一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称;
B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应顶点之间距离相等;
C．如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形；
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形。
2．（2020·山东阳谷·初二期末）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江苏淮安市·八年级期中）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是
．
4．（2020·江苏淮安市·八年级期中）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
知识点5
三角形的中位线定理
1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则
1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
3．（2021·江西抚州市·九年级期末）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．
4．（2021·江苏盐城市·八年级期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点D；
②作边的中点E，连接；
（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．
5．（2020·浙江八年级期末）已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点O．求证：与互相平分．
6．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
知识点6
反证法
在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由假设出发推导出矛盾的结果，从而得到假设是错误的，可间接得到命题的结论是成立的，这种证明方法称为假设法.
1）.提出的假设要能列出所有的反面，有些结论的反面不止一个，如的反面就有两个，；
2）.推导的矛盾结果有以下两类：①与已知条件相矛盾；②与已知的公理、定理相矛盾.
1．（2020·江苏扬州市·七年级期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．
B．0
C．﹣1
D．﹣2
2．（2020·江苏南通市·南通第一初中）已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾,②因此假设不成立．∴,③假设在中，,④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②①
B．③④①②
C．①②③④
D．④③①②
3．（2020·江苏泰州市·八年级期中）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF
B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行
D．假设AB和EF不平行
4．（2020·江苏盐城市·汇文实验初中八年级月考）“一个三角形中不可能有两个角是直角”用反证法证明时，首先应假设这形：
_______．
5．（2020·南京师范大学附属中学树人学校八年级月考）用反证方法证明“在中，，则必为锐角”的第一步是假设______．
6．（2020·南京师范大学附属中学树人学校八年级期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____．
重难点题型
考点1中心对称图形的识别
满分技巧：中心对称图形是关于某一点对称的图形，图形绕对称中心旋转180°后，与原来图形重合。
1．（2020·扬州市梅岭中学八年级期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·江苏南京市·八年级期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江苏徐州市·八年级期末）在以下标志中，是中心对称图形的是（
）
A．绿色食品
B．响应环保
C．可回收物
D．节水
4．（2021·江苏南通市·九年级期末）下列图形是疫情导视标识牌，在这些导视标识牌中，是中心对称图形的是(
)
A．
B．
C．
D．
考点2
与平行四边形性质有关的计算
满分技巧：1）平行四边形的性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等，邻角互补；③对角线：对角线互相平分.2）利用平行四边形的定义及其边和角的性质来解题，必要的时需要列方程或方程组来求出其解。
1．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（
）
A．
B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
2．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，已知的面积为点在线段上，点在线段的延长线上，且四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·辽宁锦州市·九年级期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（
）
A．3
B．
C．4
D．
4．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
考点3
平行四边形的判定
满分技巧：平行四边形的判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1．（2021·上海九年级专题练习）四边形中，对角线交于点．给出下列四组条件：
①∥，∥；②，；
③，；④∥，．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（
）
A．1组；
B．2组；
C．3组；
D．4组．
2．（2020·重庆江北区·字水中学九年级月考）下列命题是假命题的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．（2020·四川巴中市·八年级期末）下列说法，属于平行四边形判定方法的有（
）．
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平行四边形的每组对边平行且相等；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
4．（2020·河北石家庄市·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条、的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形，这种方法的依据是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
考点4
平行四边形相关的证明
满分技巧：1）平行四边形的证明，有5种方法，主要通过边、角、对角线的性质进行证明，选用其中任何一种方法证明即可。平行四边形的性质与判定是互逆的过程。
2）利用平行四边形的性质，可非常简捷地证明线段相等、角相等,只有遇到利用平行四边形的性质无法解决的问题时，才转化为三角形全等来处理.
3）经过平行四边形对角线交点的任意直线，把平行四边形分成面积相等的两部分.
1．（2021·上海九年级专题练习）如图，中，、是直线上两点，且．
求证：（1）；（2）．
2．（2020·天津八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G，且DG与CF交于点E．（Ⅰ）求证：AF＝GB；（Ⅱ）求证：△EFG是直角三角形；（Ⅲ）在?ABCD中，添上一个什么条件，使△EFG是等腰直角三角形．
3．（2021·上海九年级专题练习）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．（1）求证：∥；（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．
4．（2020·吉林长春市·长春外国语学校八年级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长．
考点5
三角形的中位线的应用
满分技巧：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在中，，，点D是边的中点，点E在边上，若，那么的长是__________．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
3．（2020·四川遂宁市·射洪中学九年级月考）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，
CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．
4．（2020·山西晋中市·八年级期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为_____．
5．（2021·全国九年级）如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（
）
A．线段的长逐渐增大
B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变
D．以上说法都不对
考点6
平行四边形的存在性（探索性）问题
满分技巧：探索性问题，可以先凭借特殊情况猜出答案，然后在通过严格的论证求解出来。
1．（2020·北京西城区·九年级期中）如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AD=AE.（1）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF；求证：DF-EF=；
（2）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.
2．（2021·山东烟台市·八年级期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）在中，，，点D为的中点．
（1）如图1，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转90°得到线段，连结，过点F作，交直线于点H．判断与的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，给出证明．
4．（2021·山东淄博市·八年级期末）如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
考点7
平行四边形中的动态问题
满分技巧：通过点的运动，利用平行四边形的性质进行线段、周长、面积、运动时间及其他的相关计算。
1．（2021·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在?ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
2．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形是平行四边形．（2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
3．（2020·陕西榆林市·八年级期末）如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形是平行四边形时，求的值；（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．
4．（2020·江西宜春市·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，.（三角形可用符号表示，面积用符号表示）
（1）直接写出点，的坐标.（2）在轴上是否存在点，连接，，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）点在直线上运动，连接，.
①若在线段之间时（不与，重合），求的取值范围；
②若在直线上运动，请直接写出，，的数量关系.
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平行四边形的性质与判定
知识点精讲
知识点1
多边形的相关概念
1）多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．
其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2）相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，
一个n边形有n个内角.n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角.
多边形的外角和：多边形的外角和为360°．
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为．
1．（2021·邢台市第六中学九年级零模）嘉淇用一些完全相同的纸片，已知六个纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用个纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（
）
A．正十二边形
B．正十边形
C．正九边形
D．正八边形
【答案】C
【分析】由题意可得∠ACB=40°，由此可求解问题．
【详解】解：由图1可得：图案是一个正六边形，由正六边形的每个内角为720°÷6=120°，
∴∠ACB=40°，∴∠BAC=60°，∴图2中每个内角为80°+60°=140°，
∴用个纸片按图2所示的方法拼接，可得这个正多边形的每一个外角为40°，
∴这个正多边形的边数为360°÷40°=9；故选C．
【点睛】本题主要考查正多边形，熟练掌握正多边形的概念是解题的关键．
2．（2021·江苏苏州市·九年级零模）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（
）
A．1080°
B．540°
C．2700°
D．2160°
【答案】A
【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．
【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得：，
∴这个多边形的内角和为：，故选A．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键．
3．（2021·广西河池市·八年级期末）已知一个边形的每一个外角都相等，一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是，则的值是（
）
A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】B
【分析】根据题意利用内角与外角的比值可以求出这个外角，再利用外角和公式即可计算出n的值．
【详解】设这个n边形的一个内角为7x，则与这个内角相邻的外角的度数为2x，
根据题意可知，解得：．
则与这个内角相邻的外角的度数为．
∴，．解得：．故选：B．
【点睛】本题考查多边形内角与其相邻外角的关系，多边形外角和公式．掌握多边形外角和为是解答本题的关键．
4．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是________边形．
【答案】七
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值，再由多边形的内角和为：（n-2）×180°，可求出其内角和．
【详解】解：由题意得，n-2=5，解得：n=7，故答案为：七．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
5．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级一模）从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是_____．
【答案】144°
【分析】先由n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的内角和定理可得答案．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则：n﹣3=7解得：n=10
∴这个多边形有10条边，∴此正多边形的内角和为：（10﹣2）×180°＝1440°，
∴这个正多边形每个内角的大小是：144°．故答案为：144°．
【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．熟记n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
6．（2021·河北沧州市·八年级期末）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形的对角线的条数是（
）
A．9条
B．54条
C．27条
D．6条
【答案】C
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，∴每个外角是180°-140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴这个多边形所有对角线的条数是：n(n-3)÷2=9×(9-3)÷2=27．故选：C．
【点睛】本题考查多边形的外角和，外角和，以及对角线的考点，找出之间的关系是本题解题关键．
知识点2
平行四边形的性质
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“?”表示，平行四边形ABCD表示为“?ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。平行线间距离处处相等。
4）平行四边形的性质，讨论：边、角、对角线，有时会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：
性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；
②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）
5）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
1．（2020·福建南平市·七年级期中）如图，点为定点，直线是直线上一动点．对于下列各值：①线段的长；②的度数；③的周长；④的面积．其中不会随点的移动而变化的是（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】B
【分析】由A、B为定点可得AB长为定值，进而可判断①；当P点移动时，∠APB的度数发生变化，PA+PB的长也发生变化，于是可判断②、③；由直线l∥AB可得P到AB的距离为定值，于是可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵A、B为定点，∴AB长为定值，∴①线段AB的长不会随点P的移动而变化；
当P点移动时，∠APB的度数发生变化，∴②∠APB的度数会随点P的移动而变化；
当P点移动时，PA+PB的长发生变化，∴③△PAB的周长会随点P的移动而变化；
∵点A，B为定点，直线l∥AB，∴P到AB的距离为定值，∴④△APB的面积不会随点P的移动而变化；
综上，不会随点P的移动而变化的是①④．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、同底等高的三角形的面积相等以及平行线间的距离等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
2．（2020·广东清远市·八年级期末）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（
）
A．对边相等
B．对边平行
C．对角相等
D．对角线相等
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到，平行四边形对边平行且相等，对角相等，而对角线可以相等也可以不相等．
【详解】根据平行四边形性质可知：A、B、C均是平行四边形的性质，只有D选项不是．故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
3．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（、重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（
）
A．26
B．29
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．
【详解】解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，∴BC=AD=20，EF×AD=×120，∴EF=6，
又AD=20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出?ABCD的周长．
【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，
∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，
∴?ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．
5．（2021·广东梅州市·九年级期末）点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________．
【答案】
【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S△AOB=S△BOC=S平行四边形ABCD=S，
∵EF=AB，GH=BC，∴S1=S，S2=S，∴，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
6．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD=AD?BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．
【详解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，，
∴E是AB的中点，∴DE=BE，，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S?ABCD=AD?BD，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE
∵OE
=OE
∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．
7．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．（1）求证：FG=EH．（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）77°
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，通过证明≌即可得证；
（2）利用角平分线的定义可得，再根据平行四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，∴，
∵，∴，即，
在和中，，∴≌，∴FG=EH；
（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，∴，
∵FG//AB，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．
知识点3
平行四边形的判定定理
平行四边形的判定，主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC
2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即
3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即或
4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即
5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。
1．（2021·山东东营市·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AD∥BC，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD
D．AB＝CD，AD＝BC
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
3．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级月考）点、、、在同一平面内，从①；②；③；④四个条件中任意选两个，能使四边形平行四的选法有（
）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定定理，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；所以能推出四边形为平行四边形的有四组，故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
4．（2020·黑龙江大庆市·八年级期末）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】连接AC，根据三角形的中位线定理得到，，同理推出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形
【详解】证明：连接AC．
是DC的中点，H是AD的中点，，且，
同理可知，且，，且，四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理，难度不大．
5．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级月考）如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．
【答案】（1）见解析；（2）∠CHB；∠BCH；∠BAD；∠FCA；∠CFA
【分析】（1）由题意易得∠FEA=∠FEC=90°
，∠FAC=∠EFA=45°，进而可证Rt△AEB≌Rt△FEC，则有BE=CE，然后可证BC∥AD，最后求解问题即可；
（2）由（1）及题意可直接进行解答．
【详解】（1）证明：∵FE⊥AC，∴∠FEA=∠FEC=90°
，
∵∠FAC=45°，∴∠FAC=∠EFA=45°
∴AE=EF，
∵AB=FC，∴Rt△AEB≌Rt△FEC
(HL)
，∴BE=CE，
∵AD⊥
AF，∴∠FAD=90°
，∴∠CAD=90°-45°=45°，
∴∠CBE=∠BCE=∠CAD=45°
，∴BC∥AD，
∵BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：∠CBE=∠BCE=∠CAD=∠BFA=
45°
，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CHB，∠BAC=∠DCA，
∵AB平分∠FAC，∴∠BAC=∠BAF，
∵∠ABE=∠BFA+∠BAF，∠BCH=∠BCE+∠DCA，∴∠ABE=∠BCH=∠BAD，
∵∠CFA=∠CFH+∠BFA，∠HCE=∠CFE，∴∠ABE=∠CFA，
∵∠DCA+∠FCA=90°，∴∠ABE=∠FCA，
∴与∠ABE相等的角有：
∠CHB；∠BCH；∠BAD；∠FCA；∠CFA．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及角的和差关系，熟练掌握平行四边形的性质与判定及角的和差关系是解题的关键．
知识点4中心对称图形
1.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称
中心对称图形
区别
针对两个图形
针对一个图形
两个图形位置上的关系
具有某种性质的一个图形
对称点在两个图形上
对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间
对称中心在图形上或图形内部
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
1．（2020·上海市闵行区初一月考）下列说法中正确的是（
）
A．如果把一个图形绕着一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称;
B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应顶点之间距离相等;
C．如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形；
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形。
【答案】C
【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可.
【解析】A：只有旋转180°后重合才是中心对称，故此选项错误；
B：对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故错误；
C：如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形，正确；
D：如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它不一定是中心对称图形，故错误；故选:C.
【点睛】此题考察中心对称图形，掌握中心对称图形的定义及性质即可正确判断.
2．（2020·山东阳谷·初二期末）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.
【解析】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.故选：B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.
3．（2020·江苏淮安市·八年级期中）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是
．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，∴AD＝2，
∵∠D＝90°，∴AE2，故答案为2．
【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握性质定理是解题的关键．
4．（2020·江苏淮安市·八年级期中）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【答案】（1）△AB
1C
1如图所示；见解析；（2）△A
2B
2C
2如图所示；见解析．
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1；
（2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
【详解】（1）△AB
1C
1如图所示；
（2）△A
2B
2C
2如图所示．
【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
知识点5
三角形的中位线定理
1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则
1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．
【详解】∵，∴△ACD为等腰三角形，
∵，∴E为CD的中点，（三线合一）
又∵点是的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴，故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．
2．（2021·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
【答案】12
【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．
【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，
∵∴
∵是边的中点，，∴是的中位线，∴，
又∵，即有，∴，
∴，∴，故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
3．（2021·江西抚州市·九年级期末）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．
【答案】1
【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得CF的长度．
【详解】如图，作OG∥BC交DC于G点，
∵O为BD的中点，∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，∴，
又∵，∴，即C为EG的中点，
∵CF∥OG，∴CF为△OGE的中位线，∴，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查中位线定理，熟练掌握中位线的判断以及灵活运用中位线定理是解题关键．
4．（2021·江苏盐城市·八年级期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点D；
②作边的中点E，连接；
（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）6.5
【分析】（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到的平分线，再画出它与BC的交点D；
②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；
（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得，，用勾股定理求出AB的长，再根据中位线的性质得到DE的长．
【详解】解：（1）①如图所示：
②如图所示：
（2）∵，AD平分，∴，，
在中，，
∵E、D分别是AC和BC的中点，∴，故答案是：6.5．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．
5．（2020·浙江八年级期末）已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点O．求证：与互相平分．
【答案】见解析
【分析】连接DF、EF，根据DE是中位线、AF是中线证DF、EF是△ABC的中位线，据此知DF∥AC，EF∥AB，从而得出四边形ADFE是平行四边形，即可得证．
【详解】解：证明：如图所示，连接DF、EF，
∵DE是△ABC的中位线，∴点D是AB中点、点E是AC中点，
又∵AF是BC边上的中线，∴F是BC中点，∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DE与AF互相平分．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及三角形中位线定理的运用．
6．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．
【详解】证明：取的中点，连接，
∵是边的中线，∴是边的中点，∴，．
∴，．
∵是的中点，∴，
在△MDE和△FCE中，∴．
∴，∴．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
知识点6
反证法
在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由假设出发推导出矛盾的结果，从而得到假设是错误的，可间接得到命题的结论是成立的，这种证明方法称为假设法.
1）.提出的假设要能列出所有的反面，有些结论的反面不止一个，如的反面就有两个，；
2）.推导的矛盾结果有以下两类：①与已知条件相矛盾；②与已知的公理、定理相矛盾.
1．（2020·江苏扬州市·七年级期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．
B．0
C．﹣1
D．﹣2
【答案】D
【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答．
【详解】解：﹣2＜1，，∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，故选：D．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题的关键．
2．（2020·江苏南通市·南通第一初中）已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾,②因此假设不成立．∴,③假设在中，,④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②①
B．③④①②
C．①②③④
D．④③①②
【答案】B
【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
(3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
(4)因此假设不成立．∴∠B＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B．
【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.
3．（2020·江苏泰州市·八年级期中）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF
B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行
D．假设AB和EF不平行
【答案】C
【详解】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，
所以当用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.故选C.
4．（2020·江苏盐城市·汇文实验初中八年级月考）“一个三角形中不可能有两个角是直角”用反证法证明时，首先应假设这形：
_______．
【答案】一个三角形中有两个角是直角
【分析】根据反证法的定义，假设有两个角是直角即可.
【详解】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即应首先假设一个三角形中有两个角是直角，
故答案为：一个三角形中有两个角是直角.
【点睛】此题考查反证法，掌握反证法假设的特点是解题的关键.
5．（2020·南京师范大学附属中学树人学校八年级月考）用反证方法证明“在中，，则必为锐角”的第一步是假设______．
【答案】
【分析】根据反证法的定义，找出结论的即可得出结论．
【详解】解：“必为锐角”的反面为
故答案为：．
【点睛】此题考查的是反证法，找出“必为锐角”的反面是解决此题的关键．
6．（2020·南京师范大学附属中学树人学校八年级期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____．
【答案】至少有两个内角是钝角
【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确．
【详解】用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设至少有两个内角是钝角，
故答案为：至少有两个内角是钝角．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．
重难点题型
考点1中心对称图形的识别
满分技巧：中心对称图形是关于某一点对称的图形，图形绕对称中心旋转180°后，与原来图形重合。
1．（2020·扬州市梅岭中学八年级期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A错误；
B、是中心对称图形，符合题意，故选项B正确；
C、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C错误；
D、不是中心对称图形，符合题意，故选项D错误；故选B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
2．（2020·江苏南京市·八年级期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，进而判断出答案．
【详解】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，故此选项正确；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解决问题的关键．
3．（2020·江苏徐州市·八年级期末）在以下标志中，是中心对称图形的是（
）
A．绿色食品
B．响应环保
C．可回收物
D．节水
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2021·江苏南通市·九年级期末）下列图形是疫情导视标识牌，在这些导视标识牌中，是中心对称图形的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的意义求解．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，
【详解】A、如图，
绕着十字中心旋转180°，与自身重合，是中心对称图形所以A符合题意；
B、如图，绕圆心旋转180°后，与原图形不重合所以B不合题意；
C、如图，绕圆心旋转180°后，与原图形不重合所以C不合题意；
D、如图，绕圆心旋转180°后，与原图形不重合所以D不合题意；故选择：A
．
【点睛】本题考查中心对称图形的应用，熟练掌握中心对图形的意义在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．
考点2
与平行四边形性质有关的计算
满分技巧：1）平行四边形的性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等，邻角互补；③对角线：对角线互相平分.2）利用平行四边形的定义及其边和角的性质来解题，必要的时需要列方程或方程组来求出其解。
1．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（
）
A．
B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，，
于点，于点，
，；
平行四边形的面积，，，
，；若，则，
，，，
，，平行四边形的周长；
的面积，的面积，平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，已知的面积为点在线段上，点在线段的延长线上，且四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决问题；
【详解】解：如图,连接AF、EC．∵BC=4CF，S△ABC=24，∴S△ACF=
×24=6，
∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB=S△DEC，∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，
∵EF∥AC，∴S△AEC=S△ACF=6，∴S阴=6．故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．（2021·辽宁锦州市·九年级期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（
）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】先根据题目描述可确定CG⊥BD，再由平行确定∠EBC=30°，从而在Rt△BEC中计算即可
【详解】根据题意描述，CG垂直平分线段DF，即∠BEC=90°，
∵，四边形为平行四边形，∴AD//BC，AD=BC=6∴∠EBC=30°，
∴在Rt△BEC中，，∴，故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定，以及勾股定理，充分理解题中描述的作图过程是解题关键．
4．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证?AEF??DHF，再证?ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④．
【详解】∵点F是AD的中点，∴2FD=AD，
∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正确；
∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴?AEF??DHF（AAS），∴EF=HF，
∵，∴CE⊥CD，即：?ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正确；
∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在线段上，
∴,∴,∴，∴③错误；
设∠AEF=x，则∠H=x，∵在Rt?ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，
∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵点F，G分别是EH，EC的中点，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，
∴．∴④正确．故选C．
【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
考点3
平行四边形的判定
满分技巧：平行四边形的判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1．（2021·上海九年级专题练习）四边形中，对角线交于点．给出下列四组条件：
①∥，∥；②，；
③，；④∥，．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（
）
A．1组；
B．2组；
C．3组；
D．4组．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．
【详解】①∥，∥，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；②，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；③，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；④∥，，无法判定四边形是平行四边形．故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键．
2．（2020·重庆江北区·字水中学九年级月考）下列命题是假命题的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，A是真命题；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B是真命题；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，C是假命题
对角线互相平分的四边形是平行四边形，D是真命题；故选：C
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握平行四边形的判定是解本题的关键
3．（2020·四川巴中市·八年级期末）下列说法，属于平行四边形判定方法的有（
）．
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平行四边形的每组对边平行且相等；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法分析即可；
【详解】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；
平行四边形的对角线互相平分，是平行四边形的性质，故②错误；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；
平行四边形的每组对边平行且相等，是平行四边形的性质，故④错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；故正确的是①③⑤⑥；故答案选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．
4．（2020·河北石家庄市·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条、的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形，这种方法的依据是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
【详解】由已知可得AO=CO，BO=DO，∴四边形是平行四边形，
依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选：A.
【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的五种判定定理并运用解决问题是解题的关键.
考点4
平行四边形相关的证明
满分技巧：1）平行四边形的证明，有5种方法，主要通过边、角、对角线的性质进行证明，选用其中任何一种方法证明即可。平行四边形的性质与判定是互逆的过程。
2）利用平行四边形的性质，可非常简捷地证明线段相等、角相等,只有遇到利用平行四边形的性质无法解决的问题时，才转化为三角形全等来处理.
3）经过平行四边形对角线交点的任意直线，把平行四边形分成面积相等的两部分.
1．（2021·上海九年级专题练习）如图，中，、是直线上两点，且．
求证：（1）；（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．
【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，，，，
在和中，，，；
（2），，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD≌△ECB是解题的关键．
2．（2020·天津八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G，且DG与CF交于点E．（Ⅰ）求证：AF＝GB；（Ⅱ）求证：△EFG是直角三角形；（Ⅲ）在?ABCD中，添上一个什么条件，使△EFG是等腰直角三角形．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）添加四边形ABCD为矩形等．
【分析】（Ⅰ）由角平分线知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，则有AF=GB；
（Ⅱ）由于DG、CF是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG已经是直角三角形了；
（Ⅲ）要成为等腰直角三角形，则必须有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．
【详解】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC．
∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC．
∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF．
∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF∴AD＝AG，BF＝BC．∴AF＝BG；
（Ⅱ）解：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠FEG＝90°，∴△EFG是直角三角形；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：我们只要保证添加的条件使得EF＝EG就可以了．
我们可以四边形ABCD为矩形等．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和直角三角形的判定，解答关键是根据条件找到图中的等腰三角形．
3．（2021·上海九年级专题练习）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．（1）求证：∥；（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，又由点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，即可得CM=AN，继而可判定四边形ANCM是平行四边形，则可证得AM∥CN．（2）由AM∥CN，BH⊥AM，点N为边AB的中点，可证得BH⊥CN，ME是△BAH的中位线，则可得CN是BH的垂直平分线，继而证得△BCH是等腰三角形．
【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥且．
∵点、分别是边、的中点，∴，．
∴．
又∵∥，∴四边形是平行四边形
∴∥．
（2）设BH与CN交于点E，
∵AM∥CN，BH⊥AM，∴BH⊥CN，∵N是AB的中点，∴EN是△BAH的中位线，
∴BE=EH，∴CN是BH的垂直平分线，∴CH=CB，∴△BCH是等腰三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（2020·吉林长春市·长春外国语学校八年级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接证明可得：
再证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得答案；（2）由BE=8，FC=2，结合
AC=BF，求解
再利用AB⊥AC，由勾股定理可得答案．
【详解】证明：（1）连接
在与中，
四边形是平行四边形，
AD与BE互相平分；
（2）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
考点5
三角形的中位线的应用
满分技巧：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在中，，，点D是边的中点，点E在边上，若，那么的长是__________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∴∠DFC＝∠A＝90°，∴AB∥DF，
∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC，∴AF＝CF，∴DF=AB＝1，
∵∠DEC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=DF=，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
【答案】
【分析】结合题意，通过证明，得到，即可得到；过点F作于点H，延长AD交FH于点G，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得，从而得CH的值；再根据勾股定理计算，得FH和BC的值，结合平行四边形ABCD
性质以及，DG是中位线，从而得到DG，通过计算即可得到答案．
【详解】∵E是边上的中点∴
∵平行四边形ABCD∴
∴
∵
∴
∴
∵∴
过点F作于点H，延长AD交FH于点G
∵∴
∴，即
∵，且∴
∴∴
∴
∵平行四边形ABCD∴
∴
∴∴
∴
∴
∵，∴DG是中位线∴
∴故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．
3．（2020·四川遂宁市·射洪中学九年级月考）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，
CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．
【答案】2.5
【分析】延长CF交AB于H，证明△AFH≌△AFC，根据全等三角形的性质得到AH=AC=7，CF=FH，求出HB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长CF交AB于H，
∵AE平分∠BAC，∴∠HAF=∠CAF,
在△AFH和△AFC中，
，
∴△AFH≌△AFC（ASA），∴AH=AC，CF=FH，
∵AB=13，AC=8，∴AH=AC=8，∴HB=AB-AH=13-8=5，
∵CF=FH，CD=DB，∴DF=HB=2.5，故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．（2020·山西晋中市·八年级期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为_____．
【答案】3
【分析】先根据三角形中位线定理求得DE，然后再根据直角三角形的性质求出DF，最后运用线段的和差计算即可．
【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB
的中点，∴DF＝AB＝2，∴EF＝DE﹣DF＝3．故答案为3．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．
5．（2021·全国九年级）如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（
）
A．线段的长逐渐增大
B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变
D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】连接AR，E、F分别是、的中点，AR不变，根据中位线定理可得，据此解题．
【详解】连接AR，如图，
因为AR不变，E、F分别是、的中点，由中位线的性质得，
当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点6
平行四边形的存在性（探索性）问题
满分技巧：探索性问题，可以先凭借特殊情况猜出答案，然后在通过严格的论证求解出来。
1．（2020·北京西城区·九年级期中）如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AD=AE.（1）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF；求证：DF-EF=；
（2）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.
【答案】（1）见解析（2）
【分析】(1)
将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，可证得△AFG是等腰直角三角形，则,据此即可证得；（2）仿照（1）即可得到结论：
【详解】（1）证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，
AE⊥BC于E
∴AE⊥AD于A，∠FPE=∠ADP
∵AD=AE，∠EAD=90°∴将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG
∴△AEF≌△ADG，∠FAG=
90°
∴AG=AF，∠ADG=∠AEF
∵EF⊥PD，AE⊥BC∴∠AEF+∠PEF=90°，∠FPE+∠PEF=90°∴∠AEF=∠FPE
∵∠ADG=∠AEF，∠FPE=∠ADP∴∠ADG=∠ADP∴点G在PD上
∵AF=AG，∠FAG=90°∴
∵FG=DF-DG=DF-EF∴
（2）
2．（2021·山东烟台市·八年级期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
【答案】）（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）；
（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）．
【详解】证明：（1）∵，．
∴四边形是平行四边形．∴．
∵．∴．∵．∴．
∴．∴．∴．
（2）．
理由：∵，，∴四边形是平行四边形．∴．
∵，∴．∵，∴．
∵，∴．∴．
∴．
（3）
理由：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，∴∠ABC=∠C∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）在中，，，点D为的中点．
（1）如图1，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转90°得到线段，连结，过点F作，交直线于点H．判断与的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，给出证明．
【答案】（1）CF=FH；理由见解析；（2）结论不变，CF=FH；理由见解析．
【分析】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠1=∠2=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，于是证出△CEF≌△FGH．故CF=FH．
（2）类似（1）的证法证明△CEF≌△FGH，故CF=FH．
【详解】解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC．理由如下：如图1，延长DF交AB于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且DC＝AC，
∴DG为△ABC的中位线，∴DG＝BC．
∵AC=BC，∴DC=DG，∴DC-DE=DG-DF，即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，∴△CEF≌△FGH，∴CF=FH．
（2）FH与FC仍然相等．理由如下：
如图2，由题意可得出：DF=DE，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC，∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点，DF∥BC，∴DG=
BC，DC=
AC，
∴DG=DC，∴EC=GF，∵∠DFC=∠FCB，∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中，，∴△FCE≌△HFG（ASA），∴HF=FC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．
4．（2021·山东淄博市·八年级期末）如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）=3．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB?AG）＝（AB?AC）；
(3)
根据△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，得出BDEF的面积为6，设BDEF中BF边上的高为h，由即可求解．
【详解】（1）延长交于点，
，，
又∵平分，∴∠GAE=∠CAE
在和中，，，，
∵点是边的中点，∴为的中位线，，
，四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，，
，分别是，的中点，，
，，
．
（3）如图：
∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，
∴
∵BF∥DE设BDEF中BF边上的高为h，
则
=（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2=DE×h÷2=6÷2=3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及等底同高的平行四边形和三角形的面积之间的关系，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
考点7
平行四边形中的动态问题
满分技巧：通过点的运动，利用平行四边形的性质进行线段、周长、面积、运动时间及其他的相关计算。
1．（2021·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在?ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
【答案】（1）t=2；（2）t=3或．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t的方程，进而即可求解．
（2）根据△PAQ是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：AP=2t（米），AQ=6-t（米）．
∵∠A=60°，∴当△PAQ是等边三角形时，AQ=AP，即2t=6-t，解得：t=2，
∴当t=2时，△PAQ是等边三角形．
（2）∵△PAQ是直角三角形，
∴当∠AQP=90°时，有∠APQ=30°，即AP=2AQ，∴2t=2（6-t），解得：t=3（秒），
当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得（秒），
∴当t=3或时，△PAQ是直角三角形．
【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形是平行四边形．（2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5秒或秒；（2）存在，秒或秒或秒
【分析】（1）由题意已知，AB∥CD，要使四边形MNBC是平行四边形，则只需要让BM=CN即可，因为M、N点的速度已知，AB、CD的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）使△BMN是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN、NM=NB、MN=MB；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【详解】解：（1）设运动时间为t秒．
∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，
当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，
∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，
当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21
∴16-t=2t-21，解得t=，
∴当t=5秒或秒时，四边形MNCB是平行四边形；
（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，
Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，
当N从D运动到C时，∵MH=HB=BM=（16-t），
由AH=DN得2t＝(16?t)+t，解得t＝秒；
当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=（16-t）+t，解得t=秒．
Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，
∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t＝（秒）；
Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，
∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，∴（16-t）2=122+（16-2t）2，即3t2-32t+144=0，
∵△＜0，∴方程无实根，
综上可知，当t=秒或秒或秒时，△BMN是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
3．（2020·陕西榆林市·八年级期末）如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形是平行四边形时，求的值；（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．
【答案】（1）10-t；（2）5秒；（3）见解析
【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，利用三角形面积公式求出EF，得到OE，利用勾股定理求出AE，再说明AP=2AE即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP=CQ=t，∵BC=10，∴BQ=10-t；
（2）∵AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=10-t，解得：t=5，
∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，
在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，∴AC=，∴AO=CO=AC=4，
∵S△ABC＝=，∴AB?AC=BC?EF，∴6×8=10×EF，
∴EF＝，∴OE=，∴AE==，
当时，AP=，∴2AE=AP，即点E是AP中点，
∴点O在线段AP的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
4．（2020·江西宜春市·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，.（三角形可用符号表示，面积用符号表示）
（1）直接写出点，的坐标.（2）在轴上是否存在点，连接，，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）点在直线上运动，连接，.
①若在线段之间时（不与，重合），求的取值范围；
②若在直线上运动，请直接写出，，的数量关系.
【答案】（1），；（2）或；（3）①；②当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，
【分析】（1）根据平移的性质即可解答；（2）设点的坐标为，再利用三角形的面积公式进行计算，即可解答.（3）①分情况讨论：当点运动到点时，；当点运动到点时，；②分情况讨论当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，；
【详解】解：（1）根据题意结合坐标轴可得：，
（2）存在，设点的坐标为
，或或
（3）①，
当点运动到点时，最小，的最小值，
当点运动到点时，最大，的最大值，
②当点在线段上时，
当点在的延长线上时，
当点在的延长线上时，
【点睛】此题考查坐标与图形的性质，三角形的面积，平移的性质，解题关键在于分情况讨论.
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精品试卷·第
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专题05
平行四边形的性质与判定
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山西八年级期末）如图所示，直线的顶点A在直线a上，顶点B，C在直线b上，点D是直线a上的一动点，连接BD，CD若，则等于（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
2．（2020·江苏盐城市·八年级期中）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·湖北随州市·八年级期末）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC
B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．AB∥DC，AB＝DC
5．（2020·江苏扬州市·七年级期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．
B．0
C．﹣1
D．﹣2
6．（2020·西工大附中分校九年级期末）如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·明水县第二中学八年级期中）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花，白花种植面积一定相等
B．红花，蓝花种植面积一定相等
C．蓝花，黄花种植面积一定相等
D．紫花，橙花种植面积一定相等
8．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·南京师范大学附属中学树人学校八年级月考）用反证方法证明“在中，，则必为锐角”的第一步是假设______．
10．（2021·江苏苏州市·九年级零模）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是
。
11．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在直角坐标系中．点和点关于原点成中心对称，则的值为_____．
12．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．
13．（2020·浙江杭州市·八年级开学考试）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________．
14．（2021·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在?ABCD
中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点
E、F
分别是边
AB、CD
上的动点，将该四边形沿折痕
EF
翻折，使点
A
落在边
BC
的三等分点处，则
AE
的长为
．
15．（2021·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
16．（2021·广东梅州市·九年级期末）点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
18．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2、图3中各画一个以A，B为顶点的四边形，满足以下要求：
（1）在图1中画出一个面积为6，且是中心对称的四边形；
（2）在图2中画出一个面积为9，且是轴对称的四边形；
（3）在图3中画出一个既是轴对称又是中心对称的四边形．
19．（2021·全国八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
20．（2021·安徽九年级一模）如图，在□
ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，AP，BD．（1）求证：
△ADP≌△BCM；（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
21．（2020·石嘴山市第八中学八年级期中）如图，矩形OABC的边OA，OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为．将该矩形沿OB折叠，使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D．
（1）求证：为等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2020·吉林长春市·八年级期中）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．
23．（2020·广东深圳市·八年级期末模拟
）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
（3）如图2，点N为线段BC上的动点且CM=CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由．
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精品试卷·第
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