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《2.4一元二次方程根与系数的关系》学案
课题
2.4一元二次方程根与系数的关系
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
掌握一元二次方程根与系数的关系，体会数学知识内在的和谐性；能够利用根与系数的关系求方程根的代数式的值；3.已知方程的一根，根据根与系数的关系求另一根．
重点
了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用．
难点
能够利用根与系数的关系求方程根的代数式的值.
教学过程
导入新课
创设情景，引出课题议一议
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；2.一元二次方程根的判别式是什么？b2－4ac3.一元二次方程的求根公式是什么？4.一元二次方程的根的情况怎样确定？b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
新知讲解
提炼概念
下面我们来探索一元二次方程根与系数有什么关系：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
典例精讲
例1
设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，
求
x12+x22和的值.解：有一元二次方程的根与系数的关系，得【总结归纳】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和或两根之积的形式，再整体代入．例2
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1写出这个方程.解
设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.
课堂练习
巩固训练
1.下列一元二次方程中，两实数根和为－4的是
(
)A．x2＋2x－4＝0
B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0
D．x2＋4x－5＝0D，是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根，则b值为________．设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：
(3)(x1－3)(x2－3)；(4)x1－x2.解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝3.
(1)＋＝＝÷3＝；(2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×3＝；(3)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝3－3×＋9＝－；(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－4×3＝，∴x1－x2＝±.4.已知关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由Δ＝(k＋2)2－4×k×＞0，得k>－1.又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞－1且k≠0；(2)不存在符合条件的实数k.理由：设方程kx2＋(k＋2)x＋＝0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.又∵＋＝＝0，∴－＝0，∴k＝－2.由(1)，知k＝－2时，Δ＜0，原方程无实数根，∴不存在符合条件的实数k.
课堂小结
小一元二次方程根与系数的关系关系：一般地，如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，那么x1＋x2＝______，x1x2＝_______．语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的____________，两根的积等于常数项与二次项系数的______．比的相反数
比易忽略点：一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：①a≠0；②Δ≥0.
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2.4一元二次方程根与系数的关系
浙教版
八年级下
新知导入
回顾思考
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程根的判别式是什么？
3.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
b2－4ac
4.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
下面我们来探索一元二次方程根与系数有什么关系：
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
典例精讲
新知讲解
例1
设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，
求
x12+x22和的
值.
解：有一元二次方程的根与系数的关系，得
【总结归纳】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和或两根之积的形式，再整体代入．
几种常见的求值:
例2
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是
，1写出这个方程.
解
设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得
所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.
课堂练习
1.下列一元二次方程中，两实数根和为－4的是
(
)
A．x2＋2x－4＝0
B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0
D．x2＋4x－5＝0
D
3.设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各
式的值：
(3)(x1－3)(x2－3)；(4)x1－x2.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
课堂总结
一元二次方程根与系数的关系
关系：一般地，如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝
0(a≠0)的两个根，那么x1＋x2＝______，x1x2＝_______．
语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的____________，两根的积等于常数项与二次项系数的
______．
易忽略点：一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：①a≠0；②Δ≥0.
比的相反数
比
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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《2.4一元二次方程根与系数的关系》教案
课题
2.4一元二次方程根与系数的关系
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
掌握一元二次方程根与系数的关系，体会数学知识内在的和谐性；能够利用根与系数的关系求方程根的代数式的值；3.已知方程的一根，根据根与系数的关系求另一根．
重点
了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用．
难点
能够利用根与系数的关系求方程根的代数式的值.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题议一议
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；2.一元二次方程根的判别式是什么？b2－4ac3.一元二次方程的求根公式是什么？4.一元二次方程的根的情况怎样确定？b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
思考自议?掌握一元二次方程根与系数的关系．
已知方程的一根，根据根与系数的关系求另一根．
讲授新课
提炼概念下面我们来探索一元二次方程根与系数有什么关系：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
三、典例精讲例1
设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，
求
x12+x22和的值.解：有一元二次方程的根与系数的关系，得【总结归纳】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和或两根之积的形式，再整体代入．例2
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1写出这个方程.解
设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.
利用一元二次方程的根的定义可以求得方程的未知系数的值．
利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根和系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出代数式的值．
课堂检测
四、巩固训练1.下列一元二次方程中，两实数根和为－4的是
(
)A．x2＋2x－4＝0
B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0
D．x2＋4x－5＝0D，是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根，则b值为________．设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：
(3)(x1－3)(x2－3)；(4)x1－x2.解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝3.
(1)＋＝＝÷3＝；(2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×3＝；(3)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝3－3×＋9＝－；(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－4×3＝，∴x1－x2＝±.4.已知关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由Δ＝(k＋2)2－4×k×＞0，得k>－1.又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞－1且k≠0；(2)不存在符合条件的实数k.理由：设方程kx2＋(k＋2)x＋＝0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.又∵＋＝＝0，∴－＝0，∴k＝－2.由(1)，知k＝－2时，Δ＜0，原方程无实数根，∴不存在符合条件的实数k.
课堂小结
一元二次方程根与系数的关系关系：一般地，如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，那么x1＋x2＝______，x1x2＝_______．语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的____________，两根的积等于常数项与二次项系数的______．比的相反数
比易忽略点：一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：①a≠0；②Δ≥0.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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