第5章特殊的平行四边形 单元综合提升训练-2020-2021学年浙教版八年级数学下册（Word版 含解析）

2021年度浙教版八年级数学下册《第5章特殊的平行四边形》单元综合提升训练（附答案）
1．下列说法中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（　　）
A．50 B．48 C．24 D．12
3．在菱形ABCD中，若添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是（　　）
A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
4．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（　　）
A．20.5° B．30.5° C．21.5° D．22.5°
5．如图，?ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（　　）
A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF
6．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为（　　）
A．60° B．75° C．72° D．90°
7．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为　 　°．
8．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　 　．
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，菱形ABCD的对角线交于点O，则△ABO的面积为　 　．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，若AB＝6，OD＝5，则AE＝　 　．
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若OM＝1，BC＝4，则OB的长为　 　．
12．如图，正方形ABCD中，AE＝2cm，CG＝5cm．长方形EFGD的面积是11，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积是　 　cm2．
13．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为　 　．
14．如图，四边形ABCD是正方形，BC＝，点G为边CD上一点，CG＝1，以CG为边作正方形CEFG，对于下列结论：
①正方形ABCD的面积是3；
②BG＝2；
③∠FED＝45°；
④BG⊥DE．其中正确的结论是　 　（请写出所有正确结论的序号）．
15．如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝　 　．
16．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，联结AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为　 　．
17．如图，正方形ABCD中，点E在BC上，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，若AC＝4，则EF+EG＝　 　．
18．矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE＝OD，则∠AOB的度数为　 　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是　 　．
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．
21．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；
（3）（填空）在（2）中再增加条件　 　．则四边形AFBD是正方形．
22．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：AG＝FG．
（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．
（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．
23．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
24．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．
25．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．
（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．
26．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为2，∠AGF＝105°．
（1）求∠BAG的度数；
（2）线段EF的长．
27．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．
（1）若AD＝2，DE＝1，求EG的长度；
（2）求证：FG＝AB．
28．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面积．
参考答案
1．解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法正确；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，选项说法正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，选项说法错误；
故选：D．
2．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为10，
∴（3x）2+（4x）2＝102，
解得：x＝2，
∴矩形的两邻边长分别为：6，8；
∴矩形的面积为：6×8＝48．
故选：B．
3．解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC＝90°，即AB⊥BC；
故添加的条件为：AC＝BD或∠ABC＝90°或AB⊥BC．
故选：B．
4．解：设AC与BD交于点O，
在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．
∵BE＝BC，
∴∠3＝∠ECB＝67.5°．
∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；
B、EO＝AC时，EF＝AC，
∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；
C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；
D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；
故选：B．
6．解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠OBE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
8．解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
9．解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠ABC＝45°，AE⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAE＝45°，
∴AE＝BE，
∵AE2+BE2＝AB2＝16，
∴AE＝BE＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，S△ABO＝S菱形ABCD，
∵菱形ABCD的面积＝BC×AE＝4×2＝8，
∴S△ABO＝S菱形ABCD＝2，
故答案为：2．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝5，∠BAD＝90°，
∴BD＝10，
∴AD＝＝＝8，
∵S△ABD＝×AB×AD＝×BD×AE，
∴AE＝＝，
故答案为：；
11．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OA＝OC，AD＝BC＝4，∠ABC＝90°，
又∵点M是AD的中点，
∴CD＝2OM＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵∠ABC＝90°，AO＝CO，
∴BO＝AC＝，
故答案为：．
12．解：设正方形ABCD的边长为xcm，
由题意DE＝x﹣2（cm），DG＝x﹣5（cm），则（x﹣2）（x﹣5）＝11，
∴x2﹣7x＝1
∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形，
∴DE＝ME＝x﹣2（cm），DG＝DH＝x﹣5（cm），
∴MF＝x﹣2+x﹣5＝2x﹣7（cm），
∴图中阴影部分的面积＝（2x﹣7）2＝4x2﹣28x+49＝4（x2﹣7x）+49＝4+49＝53（cm2），
故答案为：53．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，
∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，
∴∠DOA＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OE＝BD＝OD，
∴∠OED＝∠ODE＝20°，
故答案为：20°．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，BC＝，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，正方形ABCD的面积＝BC2＝3，故①正确；
∵BC＝，CG＝1，
∴BG＝＝＝2，故②正确，
如图，连接GE，延长BG交DE于H，
∵四边形CEFG是正方形，
∴CG＝CE，∠GCE＝∠BCG＝90°，∠GEF＝45°，
∵∠FED＜∠GEF，
∴∠FED＜45°，故③错误，
∵CG＝CE，∠GCE＝∠BCG＝90°，BC＝CD，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠GBC+∠DEC＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BH⊥DE，故④正确，
故答案为：①②④．
15．解：过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，如图所示：
∵ABCD是正方形，
∴AG∥H′H，BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴∠H′AD+∠AH′D＝90°，
∵GH⊥BE，AH′∥GH，
∴AH′⊥BE，
∴∠H′AD+∠BEA＝90°，
∴∠BEA＝∠AH′D，
在△BAE和△ADH′中，，
∴△BAE≌△ADH′（AAS），
∴BE＝AH′，
∵AG∥H′H，AH′∥GH，
∴四边形AH′HG是平行四边形，
∴GH＝AH′，
∴GH＝BE＝6，
故答案为：6．
16．解：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵CE＝BD，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E＝15°，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°，
∴∠AFB＝∠OBC+∠E＝30°+15°＝45°；
故答案为：45°．
17．解：∵正方形ABCD，AC＝4，
∴∠ACB＝45°，BD⊥AC，OC＝＝2，
∵EF⊥AC，EG⊥OB，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠BOC＝90°，
∴四边形GEFO为矩形，△CEF为等腰直角三角形，
∴EF＝CF，EG＝OF，
∴EF+EG＝CF+OF＝OC＝2．
故答案为：2．
18．解：∵矩形ABCD，
∴OB＝OD，
∵AE⊥BD于点E，OE＝OD，
∴OE＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
180°﹣60°＝120°，
故答案为：60°或120°．
19．解：连接AP，
∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BAC＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最小，
在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
由勾股定理得：AC＝＝＝8，
由三角形面积公式得：△ABC的面积＝×AB×AC＝×BC×AP，
∴AP＝＝＝4.8，
即EF＝4.8，
故答案为：4.8．
20．解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2EC．
∴E为BC的中点
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝2AE
∴AE＝EC，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形；
（2）解：连接DE，
∵AB＝AE＝2，AE＝BE，
∴AB＝AE＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B＝60°．
∵AD＝BE，AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形．
∴DE＝AB＝2，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，
∴BC＝4．
∴．
∴SAECD＝＝2．
21．（1）证明：∵点D是BC边的中点，点E是AD的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥BF，
∴AD∥BF，
∵AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形；
（2）证明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB＝90°．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形；
（3）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：
∵四边形AFBD为平行四边形，
又∵等腰直角三角形ABC，且D为BC的中点，
∴AD＝BD，∠ABD＝90°，
∴四边形AFBD为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
22．证明：（1）连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，
∴∠BAG+∠BFG＝180°，
∴∠BCG+∠BFG＝180°，
∵∠BFG+∠GFC＝180°，
∴∠BCG＝∠GFC，
∴GC＝GF，
∴AG＝FG；
（2）如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵AB＝10，BF＝4，
∴AF2＝AB2+BF2＝AG2+GF2，
∴GF2＝58，
∵∠DBC＝45°，GH⊥BC，
∴BH＝GH，BG＝GH，
∵GF2＝GH2+FH2，
∴58＝GH2+（GH﹣4）2，
∴GH＝7，（负值舍去），
∴BG＝7；
（3）如图，在AB上截取BF＝BN，连接NF，
∵AG＝GF，AG⊥GF，
∴∠EAF＝45°，
∵AE＝AF，AB＝AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，
∴CF＝CE，
∵BF＝BN，∠ABC＝90°，
∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°，
∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，
∴AN＝NF＝BF，
∵AB＝BC，
∴BN+AN＝BF+FC，
∴FC＝BF，
∴BC＝（+1）BF，
∴正方形ABCD与△CEF的面积之比＝BC2：FC2＝3+2：1．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC＝CD．
又∵CE＝BC，
∴BE＝2BC，
∴BE＝2CD；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
又∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
又∵CA＝CB，
∴CA＝CE，
∴矩形ACED是正方形．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E、点F分别是OB、OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴OA＝OB＝OE，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF为矩形；
（2）解：由（1）得：OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°，
∴△OAE是等边三角形，∠OFA＝∠OAF＝30°＝∠ABO，
∴AE＝OA，AF＝AB＝3，
∵AC⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴AE＝OA＝AB＝，
∴矩形AECF的面积＝AF×AE＝3．
25．（1）解：BE+DF＝EF；理由如下：
如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵在△GDA和△EBA中，
，
∴△GDA≌△EBA（SAS），
∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，
故∠GAF＝45°，
在△GAF和△EAF中，
∵，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF＝EF，
即GD+DF＝BE+DF＝EF；
（2）AH＝AB，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，如图2，
∴AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，
而∠ABC＝90°，
∴点Q在CB的延长线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠QAE，
在△AEQ和△AEF中，
，
∴△AEQ≌△AEF（SAS），
∴EQ＝EF，
∵AB⊥EQ，AH⊥FE，
∴AB＝AH．
26．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠ABG＝45°，AB＝BC＝CD＝2，
∵GF⊥BC，
∴∠GBF＝45°＝∠BGF，
∵∠AGF＝105°，
∴∠AGB＝60°，
∵∠AGB+∠BAG+∠ABG＝180°，
∴∠BAG＝180°﹣45°﹣60°＝75°；
（2）如图，连接CG，过点A作AH⊥BD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴EF＝GC，
∴AG＝EF，
∵AB＝2，∠ABH＝45°，AH⊥BG，
∴BH＝AH＝，
∵∠AGB＝60°，AH⊥BG，AH＝，
∴，AG＝2HG＝，
∴EF＝．
27．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴BE＝BD﹣DE＝2﹣1，
∵EG⊥BD，∠DBG＝45°，
∴∠DBG＝∠EGB＝45°，
∴EB＝EG＝2﹣1；
（2）∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠BEG＝90°，
∴∠AEB＝∠GEF，
又∵BE＝EG，∠ABD＝∠FGE＝45°，
∴△ABE≌△FGE（AAS），
∴FG＝AB．
28．（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝3，AD＝4，
∴BD＝5，
∵S△ABD＝AB?AD＝BD?AE，
∴3×4＝5AE，
∴AE＝，
∵AC＝BD＝5，
∴AO＝AC＝，
∵AE⊥BD，
∴OE＝＝＝，
∴△AEO的面积＝＝．