5.3正方形-2020-2021学年浙教版八年级数学下册同步提升训练（Word版含解析）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步提升训练（附答案）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
2．如图，将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为（3，9），（12，9），则顶点P的坐标为（　　）
A．（13，7） B．（14，6） C．（15，5） D．（15，3）
3．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（　　）
A．4 B．8 C． D．
4．下列说法不正确的是（　　）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．四条边都相等的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
5．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（6，4）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）
A．（2，12） B．（﹣2，0）
C．（2，12）或（﹣2，0） D．（12，2）或（﹣2，0）
6．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤PD＝EC．其中有正确有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．则HE的长为（　　）
A．2 B． C．2 D．或2
8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
9．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
11．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度　 　．
12．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点，过E作EF⊥BC于F，作EG⊥CD于G，若正方形ABCD的周长为24cm，FG＝5cm，则四边形EFCG的面积为　 　．
13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，BE和DG相交于点H，连接HC，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论是　 　．
14．如图，已知正方形ABOC的顶点B（2，1），则顶点C的坐标为　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E、F分别在CD、AD上，CE＝DF，BE，CF相交于G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．
16．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为　 　，点E到CF的距离为　 　．
17．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF分别交AB，BC于E，F两点，AE＝4，CF＝2，则EF的长为　 　．
18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是CD、BC的中点，AE与DF交于点P，连接CP，则CP＝　 　．
19．如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有　 　．
20．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，点F在边DE上，EF＝DF，CE＝7，△CEF的周长为32，则OF的长度为　 　．
21．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为6，则正方形ABCD的边长为　 　．
22．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）直接写出GF与GC的数量关系：　 　；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
23．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．
24．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形．
注：（2）、（3）小题直接填写条件，不需要写出理由．
25．如图，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），正方形ADEF的顶点D在边AB上，且点F的坐标为（2a+4，0）．
（1）长方形OABC的面积为　 　；（用含a的式子表示）
（2）正方形ADEF的边长为　 　；
（3）求阴影部分的面积．（用含a的式子表示）
26．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC中点，CE，DF交于M，CE与DA的延长线相交于点P，求证：
（1）△EBC≌△FCD；
（2）CP⊥DF；
（3）AM＝AD，
27．已知：正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E是线段OC上的一动点，过点A作AG⊥BE交G，交BD于F．
（1）若动点E在线段OC上（不含端点），如图（1），求证：OF＝OE；
（2）若动点E在线段OC的延长线上，如图（2），试判断△OEF的形状，并说明理由．
参考答案
1．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故选：C．
2．解：如图：
∵顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），
∴MN∥x轴，MN＝9，BN∥y轴，
∴正方形的边长为3，
∴BN＝6，
∴点B（12，3），
∵PB∥MN，
∴PB∥x轴，
∴点P（15，3）
故选：D．
3．解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠CND，
在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，
∴∠DPM＝90°'
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
在△ANB中AN＝＝2，
故选：C．
4．解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，故A选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故B选项不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，故C选项符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．解：∵点D（6，4），
∴BC＝6，BD＝2．
分两种情况讨论：
①当△CDB绕点C顺时针旋转90°时，如图所示，B点与O点重合，D点落在x轴负半轴D1处，
此时D1点坐标为（﹣2，0）；
②当△CDB绕点C逆时针旋转90°时，得到△CB2D2，且CB2在y轴上，
所以D2点坐标为（2，12）．
故选：C．
6．解：过P作PG⊥AB于点G，如图所示：
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP＝EP，
在△GPB中，∠GBP＝45°，
∴∠GPB＝45°，
∴GB＝GP，
同理：PE＝BE，
∵AB＝BC＝GF，
∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，
∴AG＝PF，
在△AGP和△FPE中，，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，①正确，∠PFE＝∠GAP，
∴∠PFE＝∠BAP，④正确；
延长AP到EF，交EF于一点H，
∴∠PAG＝∠PFH，
∵∠APG＝∠FPH，
∴∠PHF＝∠PGA＝90°，
∴AP⊥EF，②正确，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上不与点B、D重合的任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③正确．
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
又∵∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP＝EC，
即PD＝EC，⑤正确．
∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．
故选：D．
7．解：∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
又∵H是AF的中点，
∴CH＝HF，
∵EC＝EF，
∴点H和点E都在线段CF的中垂线上，
∴HE是CF的中垂线，
∴点H和点O是线段AF和CF的中点，
∴OH＝AC，
在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3，
∴AC＝，
∴CF＝3，
又OE是等腰直角△CEF斜边上的高，
∴OE＝，
∴HE＝HO+OE＝2．
故选：C．
8．解：A．∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴不能判定四边形ABCD是正方形；
C．∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
D．∵AO＝BO＝CO＝DO，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形；
故选：D．
9．解：如图，AC，BE交于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵2∠ABE＝3∠ACB，
∴∠ABE＝＝67.5°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ABE＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵AB∥CE，
∴∠ABF＝∠CEF＝67.5°，
∵∠CFE＝∠AFB＝67.5°，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
设AB＝x，则AC＝x+1，在Rt△ABC中，AC＝，
∴x+1＝，
解得x＝+1，
故选：B．
10．解：延长BE交CF于G，如图：
∵AB＝5，AE＝4，BE＝3，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得△DFC是直角三角形，
可得△BCG是直角三角形，
∴∠ABE+∠BAE＝∠GBC+∠ABE，
∴∠GBC＝∠BAE，
同理可得：∠BCG＝∠ABE，
在△CBG和△BAE中，
，
∴△CBG≌△BAE（ASA），
∴AE＝BG＝4，CG＝BE＝3，
∴EG＝4﹣3＝1，
同理可得：GF＝1，
∴EF2＝EG2+GF2＝2，
故选：A．
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∵AB＝2，点E是AB的中点，
∴BE＝AB＝1，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝90°，
∴EF＝BE＝，
故答案为：．
12．解：连接FG．
∵ABCD为正方形，周长为24cm，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD＝6cm，
又∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EFC＝∠EGC＝90°，又∠C＝90°，
∴四边形EFCG为矩形，
∴EG＝FC，EF＝GC，
∵△BEF和△EDG都为等腰直角三角形，
∴DG＝EG，EF＝BF，
∴EG+EF＝BF+CF＝BC＝6cm，
设EG＝xcm，EF＝ycm，
则有，
①2﹣②可得2xy＝11，
∴xy＝5.5，
∴四边形EFCG的面积为5.5cm2
故答案为5.5cm2．
13．解：如图，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCE+∠DCE＝∠ECG+∠DCE＝90°+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∵，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠4＝∠3+∠1＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠BHG＝90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DH2+BH2＝BD2＝BC2+CD2＝2a2，EH2+HG2＝EG2＝CG2+CE2＝2b2，
则BG2+DE2＝DH2+BH2+EH2+HG2＝2a2+2b2，故③正确．
故答案为：①②③．
14．解：如图，过B作BF⊥x轴于F，过C作CE⊥y轴于E，
则∠CEO＝∠BFO＝90°，
∵四边形ABOC是正方形，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOE＝∠BOF+∠BOE＝90°，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，
∴△COE≌△BOF（AAS），
∴CE＝BF，OE＝OF，
∵B（2，1），
∴OF＝2，BF＝1，
∴CE＝1，OE＝2，
∴C（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCE＝∠D＝90°，BC＝CD，
∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，正方形ABCD的面积＝62＝36，
∴阴影部分的面积为×36＝24，
∴空白部分的面积为36﹣24＝12，
在△BCE和△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×12＝6，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝6，
又∵a2+b2＝62，
∴a2+2ab+b2＝36+24＝60，
即（a+b）2＝60，
∴a+b＝2，即BG+CG＝2，
∴△BCG的周长＝6+2，
故答案为：6+2．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝＝＝3，
同理DF＝3，
∴AE＝AF＝1，
∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×4﹣×1×1﹣2××4×3＝；
作EH⊥CF于H，如图：
∵△CEF的面积＝CF×EH＝3.5，
∴EH＝＝，
即点E到CF的距离为；
故答案为：；．
17．解：∵正方形ABCD中，OB＝OC，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴CF＝BE＝2，
∵AB＝BC，
∴BF＝AE＝4，
在Rt△BEF中，BF＝4，BE＝2，
∴EF＝＝＝2．
故答案为2；
18．解：如图，作CG⊥CP交DF的延长线于G．
则∠PCF+∠GCF＝∠PCG＝90°，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB＝2，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵E、F分别为CD、BC中点，
∴DE＝CE＝CF＝BF＝1，
∴AE＝DF＝，
∴DP＝＝，
∴PE＝，PF＝，
在△ADE和△DCF中：
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠AED＝∠DFC，
∴∠CEP＝∠CFG，
∵∠ECP+∠PCF＝∠DCB＝90°，
∴∠ECP＝∠FCG，
在△ECP和△FCG中：
∴△ECP≌△FCG（ASA），
∴CP＝CG，EP＝FG，
∴△PCG为等腰直角三角形，
∴PG＝PF+FG＝PF+PE＝＝CP，
∴CP＝．
故答案为．
19．解：①如图，连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴AP＝EF，故①正确；
②延长AP交BC于点G，
由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，
∵PE∥AB，
∴∠EPG＝∠BAP，
∴∠EPG＝∠PFE，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③当AP⊥BD时，AP有最小值为，此时P为BD的中点，
由①可知EF＝AP，
∴EF的最短长度为，
故③正确；
④当点P在点B或点D位置时，AP＝AB＝2，
∴EF＝AP≤2，
∴当∠BAP＝30°时，AP＜2，
即EF的长度不可能为2，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
20．解：∵CE＝7，△CEF的周长为32，
∴CF+EF＝32﹣7＝25．
∵DF＝EF．∠BCD＝90°，
∴CF＝DE，
∴EF＝CF＝DE＝12.5，
∴DE＝2EF＝25，
∴CD＝＝＝24．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝24，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF＝（BC﹣CE）＝（24﹣7）＝．
故答案为：．
21．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∠FAF'＝90°，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，AF＝AF'，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△F'AE中，
∵，
∴△FAE≌△F'AE（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长为6，
∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝DF+FC+BC＝6，
∴2BC＝6，
∴BC＝3．
故答案为：3．
22．证明：（1）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠DFG＝90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴GF＝GC；
（2）BH＝AE，理由是：
证法一：如图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，
∵AD＝AB，
∴DM＝BE，
由（1）知：∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠GDC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠EDF+∠FDG+∠GDC＝90°，
∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，
∴∠EDF+∠FDG＝45°，
即∠EDG＝45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH＝90°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠ADE＝90°，DE＝EH，
∴∠ADE＝∠BEH，
在△DME和△EBH中，
，
∴△DME≌△EBH（SAS），
∴EM＝BH，
Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，
∴EM＝AE，
∴BH＝AE；
证法二：如图，过点H作HN⊥AB于N，
∴∠ENH＝90°，
由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，
在△DAE和△ENH中，
，
∴△DAE≌△ENH（AAS），
∴AE＝HN，AD＝EN，
∵AD＝AB，
∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，
∴AE＝BN＝HN，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴BH＝HN＝AE．
23．证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
24．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
又∵AF∥DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵∠BAC＝90°，AD是BC边的中线，
∴AD＝BC＝DC，
由（1）知四边形ADCF为平行四边形，
∴当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
由（2）知当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是菱形，
∴当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是正方形．
25．解：（1）∵长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），
∴OA＝2a+2，OC＝2a﹣2，
长方形OABC的面积＝OA?OC＝（2a+2）（2a﹣2）＝4a2﹣4，
故答案为：4a2﹣4；
（2）∵A的坐标为（2a+2），点F的坐标为（2a+4，0），
∴AF＝OF﹣OA＝2a+4﹣（2a+2）＝2，
故答案为：2；
（3）解：S＝S长方形OABC+S正方形ADEF﹣S△COF
＝（2a+2）（2a﹣2）+22﹣（2a﹣2）（2a+4）＝4a2﹣4+4﹣（2a2+2a﹣4）
＝2a2﹣2a+4．
26．解：（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别为AB，BC中点，
∴AE＝BE＝CF＝BF，
在△EBC和△FCD中，
，
∴△EBC≌△FCD（SAS）；
（2）∵△EBC≌△FCD，
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠CMF＝90°，
∴CP⊥DF；
（3）∵AD∥BC，
∴∠P＝∠BCE，
在△APE和△BCE中，
，
∴△APE≌△BCE（AAS），
∴AP＝BC，
∴AP＝AD＝PD，
∵DM⊥PM，
∴AM＝PD，
∴AM＝AD．
27．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，
∵AG⊥BE于点G，
∴∠AGE＝90°，
∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠BEO＝90°，
∴∠GAE＝∠OBE，
在△AOF和△BOE中，，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OF＝OE；
（2）△OEF是等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接EF，
与（1）同理可证明△AOF≌△BOE（ASA）
∴OF＝OE；
又∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形