5.1矩形-2020-2021学年浙教版八年级数学下册同步提升训练（Word版 含解析）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册《5.1矩形》同步提升训练（附答案）
1．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（　　）
A．20° B．40° C．80° D．100°
3．已知矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，则所得任一多边形的内角和度数不可能是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
4．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
5．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　）
A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0），（0，4），OD＝5，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（　　）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
9．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　）
A．OD＝OC B．∠DAB＝90° C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD
10．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．
11．矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为　 　．
12．已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝　 　．
13．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF，连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG对称，若AD＝6，则AB的长为　 　．
14．已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的动点，点B和点B'关于EF对称，则B'D的最小值是　 　．
15．矩形两条对角线夹角的度数为60°，一条对角线与短边的和为15，则对角线长为　 　．
16．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F和G，则PF+PG一定与图中哪条线段的长度相等：　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的周长是　 　．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△APQ的面积为2cm2时，t的值为　 　．
19．如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为　 　．
20．如图，将长方形OABC放置在平面直角坐标系中，点P是折线A﹣B﹣C上的动点（点P不与A、C重合），连接OP，将OP绕点P顺时针旋转90°，点O落到点Q处．已知点B坐标为（24，15），当OP＝25时，则点Q坐标为　 　．
21．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是　 　．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△BOF≌△DOE；
（2）当EF⊥BD时，求AE的长．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠AOB＝60°，求BC的长．
24．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC边上，且BC＝3AD．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．
（2）当AB＝DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形．
26．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BE平分∠ABC交AC于点F，交AD于点E，且∠DBF＝15°，
求证：（1）AO＝AE；
（2）∠FEO的度数．
27．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝BE；
（2）连接OE，若AB＝4，BC＝6，求OE的长．
参考答案
1．解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
2．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB＝OA＝OC，
∵∠OAD＝40°，
∴∠ODA＝∠OAD＝40°，
∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°﹣40°＝80°，
故选：C．
3．解：不同的划分方法有4种，见图：
所得任一多边形内角和度数可能是360°或540°或180°．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
5．解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．
综上所知，DE＝2或18．
故选：D．
6．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
7．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）（舍弃）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）；
故选：C．
8．解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝＝4.8．
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
A、OD＝OC时，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ODA＝∠OAD，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
10．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，
∵DF＝BC，
∴DA＝DF，
∴AH＝FH，
∵AF⊥BE，
∴DG∥BE，
∴AG＝BG＝，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE＝BG＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．
故选：C．
11．解：在矩形ABCD中A（﹣3，2），C（0，4），B（0，2）．
∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为4．
∴点D的坐标为（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
12．解：过点P作GH∥BC交AB、CD于点G、H，
过P作EF∥AB交AD、BC于点E、F，
设AE＝BF＝c，AG＝DH＝a，
GB＝HC＝b，ED＝FC＝d，
∴AP2＝a2+c2，
CP2＝b2+d2，
BP2＝b2+c2，
DP2＝d2+a2，
∵AP＝1，BP＝2，CP＝3，
∴AP2+CP2＝BP2+DP2，
1+9＝4+DP2，
DP2＝6，
DP＝．
故答案为：．
13．解：连接EF、EG、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥AD，
∵AF＝BF，点E是AB的中点，
∴EF⊥AB，
∴EF∥AD∥BC，
∴EF是梯形ABGD的中位线，∠EFG＝∠CGF，
∴EF＝（AD+BG），
设BG＝x，则CG＝6﹣x，EF＝（6+x），
∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，
∴EG＝CG，∠CGF＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EG＝EF，
∴EF＝CG，
∴（6+x）＝6﹣x，
解得：x＝2，
∴BG＝2，EG＝CG＝4，
∴BE＝＝＝2．
∴AB＝2BE＝4；
故答案为：4．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点B和点B'关于EF对称，
∴AE＝BE＝B'E＝2，∠A＝90°，
∴DE＝＝2，
∴当点B'在线段DE上时，B'D取得最小值，此时B'D＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OB＝OA＝×15＝5，
∴AC＝BD＝2×5＝10．
故答案为：10．
16．证明：连接PE，如图
∵BE＝ED，PF⊥BE，PG⊥AD，
∴S△BDE＝S△BEP+S△DEP＝＝，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BA⊥AD，AB＝CD，
∴S△BED＝，
∴，
∴PF+PG＝AB＝CD．
故答案为：AB或CD．
17．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．
在Rt△ADE中，
∵∠A＝90°，∠ADE＝30°，DE＝4，
∴AE＝DE＝2，AD＝AE＝2．
∵DE⊥CE，∠A＝90°，
∴∠BEC＝∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°．
在Rt△BEC中，
∵∠B＝90°，∠BEC＝30°，BC＝AD＝2，
∴BE＝BC＝6，
∴AB＝AE+BE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（8+2）＝16+4．
故答案为：16+4．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝2cm，
分两种情况：
①点P在AB上时，点Q在D处，如图1所示：
∵△APQ的面积为2cm2，
∴×t×2＝2，
解得：t＝2；
②点P在BC上时，如图2所示：
∵△APQ的面积为2cm2，
∴×AQ×3＝2，
解得：AQ＝，
∴DQ＝AD﹣AQ＝2﹣＝＝2（t﹣3），
解得：t＝；
综上所述，当△APQ的面积为2cm2时，t的值为2或；
故答案为：2或．
19．解：根据题意可知：
MN＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，DC⊥AD，CD＝AB＝6，
∴MF⊥AD，MN＝6，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AB＝6，
∴AD＝AB＝6，
∵DF⊥AF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∴点M是AD的中点，
∴FM＝AD＝3，FN为△BCH的中位线，
∴FN＝MN﹣FM＝6﹣3，FN＝CH，
∴CH＝2FN＝12﹣6．
故答案为：12﹣6．
20．解：如图1，当点P在AB上，过点Q作QE⊥AB于E，
∵点B坐标为（24，15），
∴AB＝OC＝24，AO＝BC＝15，
∴AP＝＝＝20，
∵将OP绕点P顺时针旋转90°，
∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，
∴∠QPE+∠OPA＝90°＝∠APO+∠AOP，
∴∠QPE＝∠AOP，
在△EPQ和△AOP中，
，
∴△EPQ≌△AOP（AAS），
∴EP＝AO＝15，QE＝AP＝20，
∴AE＝AP﹣EP＝5，
∴点Q（5，35）；
当点P在BC上时，过点Q作QF⊥BC，交CB的延长线于F，
∴CP＝＝＝7，
∵将OP绕点P顺时针旋转90°，
∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，
∴∠QPF+∠OPC＝90°，∠OPC+∠POC＝90°，
∴∠POC＝∠QPF，
在△OPC和△PQF中，
，
∴△OPC≌△PQF（AAS），
∴QF＝CP＝7，PF＝OC＝24，
∴CF＝31，
∴点Q（17，31），
综上所述：点Q坐标为：（5，35）或（17，31），
故答案为：（5，35）或（17，31）．
21．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝20°，
∴∠GAF＝∠F＝20°，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，
又∵O是BD中点，
∴OB＝OD，
∴△BOF≌△DOE（ASA）．
（2）连接BE．
∵EF⊥BD，O为BD中点，
∴EB＝ED，
设AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，
在Rt△ABE中，AB＝3cm，
根据勾股定理得：AB2+AE＝BE2，即9+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE的长是 cm．
23．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
又∵OA＝OB
∴OA＝OB＝OC＝OD
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形
证法二：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
又∵OA＝OB
∴△ABD是以∠BAD为直角的直角三角形，
∴∠BAD＝90°
根据矩形的定义知，四边形ABCD是矩形．
（2）∵OA＝OB，∠AOB＝60°
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2
∴AC＝2OA＝4
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，有AB2+BC2＝AC2
∴BC2＝AC2﹣AB2＝42﹣22＝16﹣4＝12
∴BC＝
24．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE∥OB，CE＝OB，
∴四边形OBCE为平行四边形；
（2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，
∵FM⊥BC，ON⊥BC，
∴ON∥FM，
∵AO＝OC，
∴ON＝AB＝1，
∵OF＝FC，
∴FM＝ON＝，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°，
在 Rt△ABC中：
∵AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2，
∵∠ACB＝30°，FM＝，
∴CM＝，
∴BM＝BC﹣CM＝，
∴BF＝＝．
25．（1）证明：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．
∵AD＝BE，AD＝FC，
∵BC＝BE+EF+FC＝3AD，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE＝AB，AF＝DC．
∵AB＝DC，
∴DE＝AF．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝OD，
∴OA＝OB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝45°，△ABE为等腰直角三角形，
∴AB＝AE．
又∵∠DBF＝15°，
∴∠ABO＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AB，
又∵AB＝AE．
∴AO＝AE．
（2）由（1）知：△AOB是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠OAE＝30°，
又∵AO＝AE
∴∠AEO＝∠AOE＝75°，
∵∠BAE＝90°，∠AEB＝45°，
∴∠FEO＝30°．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，
∴BD＝BE；
（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点O是BD的中点，即OB＝OD，
∴OF为△BCD的中位线，
∴OF＝BC＝3，
又∵四边形ABEC是平行四边形，
∴∠BCD＝90°，AB＝CE＝DC＝4．
∴CF＝DF＝CD＝2，
∴EF＝6．
在直角△OEF中，由勾股定理可得：OE＝＝＝3．